ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ

Новая математическая модель линейной
регрессии между двумя физическими
величинами с учетом их случайных
погрешностей
Щелканов Николай Николаевич
г. Томск
1
Введение в проблему
Y
Y = K0 + K1 X
(1)
K1 
Y
 XY
X
(2)
K1 
Y 1

X XY
(3)
X
Y
XY
X
1
K1 
2  XY

1
K1  Y 
X 2  XY

 
 
  Y  X  
 X Y 



  
  
  Y  X  X  Y  
 X Y Y X 


2

 Y X 


  4  2XY 

 X Y 


(4)
2

 Y X X Y 
2 

  4  XY 



 X Y Y X 


Y
X


 K 0  K1 
Y
X
(5)
(6)
2
Новый подход
Y = K0 + K1 X
•
(1)
где Y=Y0+Y, X=X0+X
Y
 2Y  2Y0
 K 0  K1 
(7)
X
2X   2X 0
Величины X0 и Y0 находятся из решения системы двух уравнений
X0Y0  X0  Y0 
X0
X0
2X0

где X0Y0 находится из соотношения
 2X0
Y0
Y0
XY X Y =X0Y0 X0 Y0

2Y0
 2Y0
(8)
(9)
(10)
3
Y
X


 K 0  K1 
Y  B
X  A
где
(11)
A  1   X 0 Y0
 2X
1   2X  2X
 (1  2 )  1   XY 
X
1   2Y  2Y
(12)
B  1   X 0 Y0
 2Y
1   2Y  2Y
 (1  2 )  1   XY 
Y
1   2X  2X
(13)
Выражение (11) приведем к виду (1)
 Y  B
Y  K 0   Y  B  K1 
 X  K 0  K1  X
X  A

(14)
Результаты
Y B
1
K1 
 
X A 2  XY
2


A
B
 A B 


2 
         4  XY  (15)
 B A
 B A



 4
Анализ
1. X0Y0 = 1
K1 
Y
1

X 2  XY

 Y X X Y 
 
 



 X Y Y X 


2

 Y X X Y 


  4  2XY  (16)



 X Y Y X 


2. X0Y0 = 1, X = 0 и Y  0
3. X0Y0 = 1, Y = 0 и X  0
Y
K1 
  XY
X
(17)
Y 1
K1 

 X  XY
(18)
5
4. X0Y0 = 1, X = Y  0
K1 
5.
1
2   XY
 X Y

 X Y

 Y  X 
 
 

  X Y 



 Y  X 
2  (19)

  4   XY 

  X Y 


Y
K1 
X
2
(20)
Формулу (20) можно рекомендовать к
использованию при отсутствии
информации о величинах случайных
погрешностей X и Y.
6
Границы применимости регрессии Y на X
Y
K1 
  XY
X
10000
1000
|1/ХУ-ХУ|*100, %
Y 1
K1 

 X  XY
100
Y
10
1
0,1
X
0,01
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
При XY>0,99 максимальная погрешность в коэффициенте
регрессии не превышает 1%, при XY>0,9 - 22%, при XY<0,6 >100%, а при XY<0,1 - >1000%.
1,0
ХУ
7
Диапазон изменчивости коэффициента
регрессии


X0Y0 = 1
y
x
y
X0Y0 < 1
x
  xy  K 1 
  xy
y
x

1
 xy
y
1
 K1 

 x  xy
(21)
(22)
Решаемые задачи
Y0
Y0
X0
Y0
X0
X0
8
Сравнение результатов расчета
коэффициента регрессии К1
0,12
0,10
II
I+II
II+III
I+II+III
Shch
=0.33
=0.71
=0.72
=0.84
0,08
(1.06), км
-1
III
0,06
II
0,04
I
0,02
0,00
0,00
0,02
0,04
0,06
(0.48), км
Y B
1
K1 
 
X A 2  XY
0,08
0,10
0,12
-1
2


A
B
A
B




2 
         4  XY 
 B A
 B A




9

1
K1  Y 
X 2  XY

  
  
  Y  X  X  Y  
 X Y Y X 
0,12
0,12
0,10
0,10
0,08
(1.06), км
0,06
0,02
0,04
II
I
0,02
I
0,02
0,06
0,04
II
0,04
III
-1
III
-1
(1.06), км
ORT
STR
0,08
0,00
0,00

 Y X X Y 


  4  2XY 



 X Y Y X 

2
0,06
(0.48), км
1
K1 
2   XY
0,08
0,10
0,12
0,00
0,00
0,02
0,04
0,06
(0.48), км
-1

 
 
  Y  X  
  X Y 
0,08
0,10
0,12
-1

 Y  X 


  4   2XY 

  X Y 

2
10
Y
K1 
X
Y
K1 
 XY
X
0,12
0,12
YX
0,10
I+II+III
II+III
I+II
0,08
(1.06), км
-1
III
0,06
II
0,04
0,02
0,04
III
0,06
II
0,04
I
0,02
0,00
0,00
II
y/x
-1
0,08
(1.06), км
0,10
I
0,02
0,06
(0.48), км
0,08
-1
0,10
0,12
0,00
0,00
0,02
0,04
0,06
(0.48), км
0,08
0,10
0,12
-1
11
Выводы
• 1. Получена обобщенная формула,
позволяющая находить коэффициенты
регрессии линейного уравнения для общего
случая, когда разброс точек в
корреляционной связи двух величин
обусловлен как их случайными
погрешностями так и неконтролируемыми
физическими факторами.
• 2. Показано, что все известные выражения
для коэффициентов регрессии являются
частными случаями полученной формулы.
• 3. Определены условия использования
известных выражений линейной регрессии.
12
Уровень значимости коэффициента корреляции
1,0
0,9
0,8
0,7
99.9%
0,6
0,5
99%
0,4
95%
0,3
0,2
0,1
0,0
10
100
Размерность массива
1000
Зависимости уровня значимости коэффициента корреляции от
размерности массива для трех значений доверительной
вероятности – 95, 99 и 99.9%.
13