МОДУЛЬНЫЙ УРОК ПО ТЕМЕ: «ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ». Г.Краснодар

МОДУЛЬНЫЙ УРОК ПО ТЕМЕ:
«ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ».
Учитель математики О(С)ОШ№3 Шафорост О.А.
Г.Краснодар
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
ФУНКЦИЙ
При изучении явлений окружающего мира и в практической деятельности
нам приходится рассматривать величины различной природы: длину,
площадь, объем, массу, температуру, время и другие. В зависимости от
рассматриваемых условий одни из величин имеют постоянные
числовые значения, у других эти значения переменные. Такие
величины соответственно называются постоянными и переменными.
Математика изучает зависимость между переменными в процессе их
изменения. Например, при изменении радиуса круга меняется и его
площадь, и мы рассматриваем вопрос об изменении площади круга в
зависимости от изменения его радиуса.
Математическим выражением взаимной связи реальных величин является
идея функциональной зависимости. Понятие функции - важнейшее
понятие математики.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ.
1. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ.
Определение.
Функция вида у=кх+в, где к и в
некоторые числа, называется линейной
функцией.
а) Если к=0, тогда у=в.
Графиком является прямая, параллельная оси
ох и отстоящая от нее на в единиц вверх,
если в>0 (рис.1), и вниз, если в<0 (РИС .2);
если в=0, то прямая совпадает с осью ох
(РИС .3).
у
у
У=в
в
х
х
х
в
У=в
Рис .1
Рис.2
у
У=0
Рис.3
х
б) Если в=0, то у=кх.
Линейная функция вида у=кх называется
прямой пропорциональностью. Она
определена на множестве R . Функция
является монотонно возрастающей, если
к>0, и монотонно убывающей, если
к<0.Графиком функции является прямая,
проходящая через начало координат. При к>0
точки графика принадлежат 1 и 3
координатным четвертям(РИС.4). При к<0 точки
графика принадлежат 2 и 4 координатным
четвертям(РИС.5).
У
У
Х
Х
Рис.4
Рис.5
в) Если к=0 и в=0, то у=кх+в.
Функция определена на множестве всех действительных
чисел.
Функция имеет единственный нуль в точке х=-в/к.
Функция является монотонно возрастающей при к>0
(рис.6 ) и монотонно убывающей при к<0 (РИС.7).
у
у
х
Рис.6
х
Рис.7
Коэффициенты к и в в уравнении линейной функции у=кх+в
имеют наглядное геометрическое толкование. Значение
коэффициента в определяет отрезок, отсекаемый графиком
линейной функции на оси ординат, а коэффициент к
определяет тангенс угла α, образованного осью абсцисс и
прямой; угол отсчитывается от положительного направления
оси абсцисс. Если к>0, то образованный угол острый, если
к<0, то угол тупой.
у
у
к>0
в
ᾳ
ᾳ
х
х
К=tgᾳ
Рис.8
к<0
Рис.9
Пример 1.
Построить график линейной функции у=2х-1.
Так как графиком линейной функции является прямая, то для ее
построения достаточно задать координаты двух точек. Составим
таблицу значений.
Х: 0; 2 у :1; 3
Построим на координатной плоскости хоу точки (0;-1) и (2;3) и проведем
через них прямую.
.
.
.
.
Учебный элемент №1
Цель: закрепить умение строить графики линейных функций.
Задание самостоятельной работы (на 15 мин.)
Построить графики функций.
1 вариант.
2 вариант.
У=4х,
у=3х,
У=-2х,
у=-5х,
У=3х+1,
у=2х-3,
У=-1/2х-3.
у=-1/3х+2.
2. ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ.
Определение.
Функция вида х=к/х, к=0, называется обратной пропорциональностью.
Область определения этой функции совпадает с ее областью значений и
представляет собой объединение двух промежутков: (-∞;0)U(0;∞).
Если к>0, то функция монотонно убывает на всей области определения функции
(рис.10). Если к<0, то функция монотонно возрастает на всей области
определения (рис.11).
График обратной пропорциональности называется гиперболой.
у
у
х
Рис.10
х
Рис.11
Пример.
Построить график функции у=3/х.
Составим таблицу значений функции:
Отметим на координатной плоскости точки
с найденными координатами. Соединив
ломаной отмеченные точки, получим
две ветви графика функции у=3/х.
х
-6
-3
-1
1
3
у
-1/2
-1
-3
3
1
у
Учебный элемент №2.
х
Цель: закрепить навык построения графиков
обратно-пропорциональной зависимости.
Задание самостоятельной работы (на 10 мин.)
Построить графики функций.
1 вариант.
у=2/х,
у=-5/х,
у=4/х+1,
2 вариант.
у=4/х,
у=-3/х,
у=2/х-2
3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ.
2
Функция вида у=ах +вх+с, где а,в,с-некоторые числа, а=0,
называется квадратичной.
2
а) Функция вида у=ах – простейшая квадратичная функция. Ее график
называется параболой. Он проходит через начало координат,
симметричен относительно оси ординат, ветви параболы направлены
вверх, если а>0 (Рис.12)
у
у
или вниз, если а<0 (Рис.13).
х
Рис.12
Учебный элемент №3.
Цель: закрепить навык построения графиков
квадратичных функций.
Задания самостоятельной работы (на 15 мин.)
Построить графики.
1 вариант.
2 вариант.
2
2
У=2х2 ,
у=3х
,
2
У=-3х +1
у=-2х - 2.
х
Рис.13
4. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ.
Определение.
х
Функция, заданная формулой у=а , а>0,а=1, называется показательной.
Эта функция определена для любых действительных.
График показательной функции – кривая, проходящая через точку (0;1). Он
неограниченно приближается к оси абсцисс, но не достигает ее.
При а>1 функция монотонно возрастает (Рис14)., а при 0<а<1 – монотонно
убывает (Рис.15).
у
у
х
Рис.14
х
Рис.15
5. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ.
Определение.
Функция вида у=log аx, где а>0, а=1, х>0, называется
логарифмической.
Графиком логарифмической функции является кривая, проходящая через
точку (1;0). Он неограниченно приближается к оси ординат, но не
достигает ее.
При а>1 функция монотонно возрастает (Рис.16),
а при 0<a<1 – монотонно убывает (Рис.17).
у
у
х
Рис.16
х
Рис.17
Учебный элемент №4
Цель : закрепить навыки построения графиков
показательной функции.
Задание для самостоятельной работы (15 мин.).
1 вариант
Построить
графики
х
У=3
х
У=(1/2) +1 х
х
У=2* 4 -2
х
2 вариант
х
у=5
х
у=(1/3) -2
х
У=3* 2 +1
Учебный элемент№5
Цель : закрепить навыки построения графиков
логарифмических функций.
Задание для самостоятельной работы (15 мин).
1 вариант
2 вариант
Построить графики функций.
у=log х
у=log х
2
3
у=log 2x+1
y=log 3x-2
у=2 log2 x
y=3log x
3
6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
1).Функция синус.
Определение
Числовая функция, заданная формулой у=sinx, называется
синусом.
Функция определена и непрерывна на множестве действительных чисел.
Эта функция ограничена:IsinxІ≤1 . Она периодическая, ее период
Т=2пк, кєz. Функция нечетная, ее график симметричен относительно
начала координат.
у
График называется синусоидой.
х
2).Функция косинус.
Определение
Числовая функция, заданная формулой у=cosx, называется
косинусом.
Функция определена и непрерывна при всех действительных значениях х.
Эта функция ограничена:IcosxI≤1. Она периодическая, ее период
Т=2пк,кєZ. Функция четная, и ее график симметричен относительно оси
ординат.
у
График называется косинусоидой.
х
Определение
Числовая функция, заданная формулой у=tgx, называется тангенсом.
Функция определена при х≠П/2+Пк,кєZ. Ее областью значений является интервал (∞;+∞).Она периодическая, ее период Т=Пк, кєz. Функция нечетная, ее график
симметричен относительно начала координат. В
точках х=П/2+Пк, кєz функция терпит разрыв, т. е. она не является непрерывной.
График функции называется тангенсоидой.
у
п/2
х
4).Функция котангенс
Определение
Числовая функция, заданная формулой у=ctgx, называется котангенсом.
Функция определена при х≠Пк,Кєz, ее областью значений является интервал (∞;+∞). Она периодическая, ее период Т=Пк, кєz. Функция нечетная, ее график
симметричен относительно начала координат. В точках х=Пк, кєz функция терпит
разрыв, т. е. функция не является непрерывной. График функции называется
котангенсоидой.
у
п
х
6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ.
1)ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
а) Перенос вдоль оси ординат
Для построения графика функции у=f(х)+с следует график функции
у=f(х) сдвинуть вдоль оси Оу на с единиц в сторону, совпадающую со
знаком с, или перенести параллельно ось Ох в сторону,
противоположную знаку.
Пример 1
Построить график у=sinx+2.
Построение
а) строим график функции у=sinx ;
б) сдвигаем график функции у=sinx на 2 единицы вверх по оси Оу.
у
y=sinx+2
х
y=sinx
в) Перенос вдоль оси абсцисс
Для построения графика функции у=f(х+с) следует график функции
у=f(х) сдвинуть вдоль оси Ох на с единиц в сторону,
противоположную знаку с, или перенести параллельно ось Оу в
сторону, совпадающую со знаком с.
Пример 2
2
Построить график функции у=(х-1) .
Построение
2
а) строим график функции у=х ;
2
б) сдвигаем график у=х на единицу вправо вдоль оси Ох.
у
У=х
2
2
У=(х-1)
х
2) ОТРАЖЕНИЕ
а) Построение графика функции у=f(-х)
Для построения графика функции у=f(-х) следует построить график
функции у=f(х) и отобразить его относительно оси ординат.
Полученный график является графиком функции у=f(-х).
Пример 3
Построить график функции у=2(-х).
Построение
а) строим график у=2х;
б) отобразим график у=2х относительно оси Оу.
у
у
У=2(-х)
У=2х
х
х
б) Построение графика функции у=-f(х).
Для построения графика функции у=-f(х) следует построить график
у=f(х) и отобразить его относительно оси абсцисс.
Пример 4
Построить график функции у=-1/х.
Построение
а) строим график функции у=1/х;
б) отобразим график функции относительно оси Ох.
у
у
У=-1/х
У=1/х
х
х
3). ДЕФОРМАЦИЯ
а). Сжатие графика функции вдоль оси ординат у=а f(х); 0<a<1
Для построения графика функции у=а f(х) следует построить график
функции у=аf(х) и уменьшить его ординаты в 1/а раз при 0<a<1.
Пример 5
Построить график функции у=1/2sinx.
Построение
а) построим график функции у=sinx ;
б) уменьшим его ординаты в 2 раза.
у
у
х
х
У=sinx
у=1/2sinx
б). Растяжение графика вдоль оси ординат у=а f(х); а>0
Для построения графика функции у=аf(х) следует построить график
функции у=f(х) и увеличить его ординаты в а раз при а>1.
Пример 6
у
Построить график функции у=2sinx.
У=2sinх
Построение
а) построим график функции у=sinх;
У=sinх
б) увеличим его ординаты в 2 раза.
в) Растяжение графика вдоль оси абсцисс у=f(ах); 0<a<1.
Для построения графика функции у=f(ах) следует построить
график функции у=f(х) и увеличить его абсциссы в 1/а раз при
0<a<1.
Пример 7
у
Построить график функции у=sin(1/2х).
Построение
У=sinх
а) построим график функции у=sinх;
б) увеличим его абсциссы в 2 раза.
У=sin(1/2х)
х
х
г) Сжатие графика вдоль оси абсцисс у=f(ах); а>1
Для построения графика функции у=f(ах) следует построить график
функции у=f(х) и уменьшить его абсциссы в а раз при а>1. у
Пример 7
Построить график функции у=sin2х.
у
Построение
а) построим график функции у=sinx;
У=sinх
б) уменьшим абсциссы в 2 раза.
х
У=sin2х
Учебный элемент №6
Цель: закрепить навык построения смещенных графиков функций.
Задания самостоятельной работы (на 15 мин)
Построить графики функций
1 вариант
2 вариант
У=2sin(х+п/2)-1
у=3cos(х-п/2)+1
У=1/2cos(2х)
у=1/3sin(2х)
У=3sinх+2
у=2cosх-2