Исследовательский проект по теме: «Эврика! Линейная функция»

Исследовательский проект по теме:
«Эврика! Линейная функция»
Выполнил
обучающийся 7а класса
Жиленков Никита
Руководитель Постоева Ольга Алексеевна,
учитель математики
МБОУ «Средняя общеобразовательная
школа с углубленным изучением
отдельных предметов №55 имени
Александра Невского» города Курска
Рано или поздно всякая
правильная
математическая идея
находит применение в том
или ином деле.
А.Н. Крылов
Определение
Линейной функцией называется
функция, которую можно задать
формулой вида y=kx + b
где x – независимая переменная
k и b – некоторые числа,
k - угловой коэффициент

Графиком линейной функции
является прямая
На пример:
y=0,5x-2
X
0
2
Y
-2 -1
y
x
Свойства линейной функции:
1. Д(y):  ;
2. Функция возрастает, при k>0;
убывает при k<0
3. yнаиб.- не существует
yнаим.- не существует
4. Функция непрерывна.
5. Е(у):  ;
Взаимное расположение прямых
y=k1x+b1
и y=k2x+b2
• параллельны, если k1 = k2 , b1 ≠ b2
• совпадают, если k1 = k2 , b1 = b2
• пересекаются, если k1≠k2
у
у
x
x
у
x
Частный случай: k 0, b =0
Частным случаем линейной функции
является прямая пропорциональность.
Прямой пропорциональностью
называется функция, которую можно
задать формулой у = kх,
где х – независимая переменная,
k – не равное нулю число.
График прямой пропорциональности
представляет собой прямую, проходящую
через начало координат.
y
y
x
0
А)
x
0
Б)
Частный случай: k=0, b≠0
График линейной функции y = kx + b
при k =0, b 0 – прямая, параллельная
оси х.
Частный случай: k =0, b =0
График линейной функции y = kx + b
при k =0, b =0 – прямая, совпадающая с
осью х.
Линейное уравнения с двумя
переменными
Линейным уравнением с двумя
переменными называют уравнение
вида ax+by+c=0,
где a, b, c – некоторые числа,
x, y – неизвестные переменные.
Способы решения систем
линейных уравнений с двумя
переменными
 графический способ
 способ сложения
способ подстановки
Гипотеза: в окружающем мире есть
величины, которые связаны между собой
линейными зависимостями.
Объект исследования: функциональные
зависимости величин.
Предмет исследования: применение
функциональных зависимостей в реальной
жизни.
Задачи:
• Обобщить имеющиеся знания о линейной
функции;
• Добыть новые знания по теме проекта из
различных источников информации;
• Выяснить, находит ли применение
линейная функция в других областях
знаний, в повседневной жизни;
• Провести эксперименты по выявлению
функциональных зависимостей;
• По результатам исследования выявить
линейные зависимости.
Линейная функция
в различных
областях знаний
Зависимость расстояния от времени
движения (при постоянной скорости)
Автомобиль, выехавший из пункта А в настоящее время
находится от него в 10 км. На каком расстоянии S от пункта А
будет находиться автомобиль через t часов, если он будет
двигаться в том же направлении со скоростью 10 км/ч ?
Ответ будет выражаться линейной функцией вида S=10t+10.
t
0
1
S
10 20
S,км
20
10
1
t, ч
Длина окружности зависит от ее радиуса.
C=2 π R, где 3,14.
c

d
График зависимости длины
окружности от её радиуса
C
1
0 1
R
Свойство смежных углов
y=180-x
Y
X
График зависимости длины
окружности от её радиуса
Y
1
8
0
2
0
0
20
180
X
1. Скорость распространения звука в воздухе в
зависимости от температуры может быть
найдена по формуле: v=331+0,6t, v – скорость в
0
м/с, t – температура в c.
2. Длина рельсов является линейной функцией
температуры: l=l0(1+at) –линейное расширение
твердых тел.
3. Зависимость давления жидкости на дно сосуда
(P) от высоты столба жидкости (h) – линейная
зависимость и задаётся формулой: P=gρh, где ρ –
м
плотность жидкости, g≈10 2
с
Для воды: Р=1000∙10∙h, т.е. Р=10000h.
График зависимости давления
столба воды на дно сосуда от
высоты столба воды
Р,
Па
2
0
0
1
h, см
График зависимости длины волос от
количества дней
l,
мм
l0
1
0
1
t, в
днях
Зависимость численности сине-зелёных
водорослей от концентрации общего фосфора
в воде выражается следующей формулой:
а=0,983р+50,6, где а – численность синезелёных водорослей, р – концентрация общего
фосфора.
Для нормального развития ребёнок или
подросток, которому Т лет (Т меньше 18)
должен спать t часов. Зависимость
продолжительности сна t (ч) от возраста
человека T (лет) задаётся формулой t=17 - .
График зависимости
продолжительности сна от возраста
t, ч
8
1
0
1
18
Т, лет
Линейная зависимость:
L= 80000 l,
где L – расстояние
на местности,
l – расстояние на карте.
Количество дров
Чем дальше в лес, тем больше дров
(прямая пропорциональность, к – больше нуля)
Расстояние
Количество хлеба
Много снега - много хлеба
(прямая пропорциональность, к – больше нуля)
Количество снега
Продолжительность спора
Дальше в спор - больше слов
(прямая пропорциональность, к – больше нуля)
Количество слов
Хлопоты
Больше почёт, больше хлопот.
(прямая пропорциональность, к – больше нуля)
Почёт
Как аукнется – так и откликнется.
(y=x)
Эхо
Крик
Расстояние
Тише едешь – дальше будешь
(прямая пропорциональность, к – меньше нуля)
Скорость
Количество мыслей
Долго думал, да ничего не выдумал.
(линейная функция, к=0)
Время раздумий
Количество тепла
Светит, но не греет
(ось абсцисс)
Количество света
Линейная функция
в повседневной
жизни
Скорость развития общества
(прямая пропорциональность, к – больше нуля)
Скорость обмена информации
Вопрос.
Как зависит
цена букета
от количества
роз?
Сбор необходимой информации
(формирование букета роз )
Стоимость
упаковки
Стоимость
одной розы
100 рублей
90рублей
Мои подсчёты
(стоимость букета(у) в зависимости от
количества роз (х))
х
3
5
7
9
у 370
550
730
910
y  90  x  100
11
1090
Зависимость стоимости букета (у) от
количества роз (х)
Вывод:
Зависимость
цены букета от
количества роз
является
линейной
функцией.
Вопрос.
Как зависит
калорийность
молочного
продукта от
его жирности?
Сбор необходимой информации
(Сметана)
Массовая
доля жира в
продукте, (х)
10%
15%
20%
25%
30%
Калорийность
продукта, (у)
115ккал
162ккал
204ккал
250ккал
291ккал
204  20  k  b,

291  30  k  b;
Используя
способ
сложения,
находим, что
k=8,7, тогда
b=204-20∙8,7;
b=30.
Мои подсчёты
(сметана)
y  8,7 x  30
Проверка:
х
у
10
15
20
25
30
117
160,5
204
247,5
291
Зависимость
калорийности продукта от его жирности
Сбор необходимой информации
(Молоко)
Массовая
доля жира в
продукте, (x)
0,5%
1,5%
2,5%
3,2%
3,5%
4,5%
6%
Калорийность
продукта, (y)
31 ккал
44 ккал
53 ккал
58 ккал
61 ккал
71 ккал
84 ккал
Мои подсчёты
(Молоко)
44  1,5  k  b,

53  2,5  k  b;
Используя
способ
сложения,
находим, что
k=9, тогда
b=44-1,5∙9;
b=30,5.
y  9 x  30,5
Проверка:
х
у
0,5
35
1,5
44
2,5 3,2 3,5
53 59,3 62
4,5
71
6
84,5
Зависимость
калорийности продукта от его жирности
Вывод:
Зависимость
калорийности
молочного
продукта от
его жирности
является
линейной
функцией.
Вопрос.
Как зависит
цена билета
на электричку
от зоны
пункта
назначения?
Сбор необходимой информации
(Схема расположения остановочных
пунктов в пригородных направлениях)
Номер зоны ,
(х)
Цена билета, (у)
1
15 РУБЛЕЙ
2
30 РУБЛЕЙ
3
45 РУБЛЕЙ
4
60 РУБЛЕЙ
5
75 РУБЛЕЙ
6
90 РУБЛЕЙ
7
105 РУБЛЕЙ
y  15  x
Зависимость
цены билета от номера зоны пункта
назначения
Вывод:
Зависимость
цены билета
от номера
зоны пункта
назначения
является
линейной
функцией.
Вопрос.
Как
зависит
цена
доставки
посылки от
её массы?
Сбор необходимой информации
(филиал ФГУП «Почта России»)
Расстояние и способы
пересылки
Плата за массу до 500 г
(до 10 кг, с максимальным
размером 425*265*380 мм)
Плата за каждые
последующие
полные/неполные 500 г
По первому магистральному
поясу до 600 км
включительно
130,9 руб.
10 руб.
По второму магистральному
поясу от 600 км до 2000 км
включительно
132,7 руб.
11,6 руб.
По третьему магистральному
поясу от 2000 км до 5000 км
включительно
138,1 руб.
16,9 руб.
Мои подсчёты
(цена пересылки (у) в зависимости от количества
полных/неполных дополнительных 500 г (х))
х
у
х
у
х
у
0
1
2
3
4
5
130,9
140,9
150,9
160,9
170,9
180,9
0
1
2
3
4
132,6 144,3 155,9
0
1
138,1 155
167,5
2
3
171,9
188,8
5
179,1 190,7
4
5
205,7 223,6
y  10 x  130,9
y  11,6 x  132,7
y  16,9 x  138,1
Зависимость
цены пересылки от количества
дополнительных 500 г
Вывод:
Зависимость
цены
пересылки
посылки от
её массы
является
линейной
функцией.
Вопрос.
Как зависит
стоимость
поездки в
такси от
расстояния?
Сбор необходимой информации
(услуги городского такси)
Стоимость Стоимость
подачи такси одного
километра
поездки
30 рублей
7рублей
Мои подсчёты
(стоимость поездки (у) в зависимости от
расстояния (х))
х
0
1
2
3
4
5
у 30 37 44 51 58 65
y  7  x  30
Зависимость стоимость поездки в такси
(у) от расстояния (х)
Вывод:
Зависимость
стоимости
поездки в
такси от
расстояния
является
линейной
функцией.
Вывод:
В окружающем мире есть
величины, которые связаны
между собой линейными
зависимостями.
Спасибо
за
внимание!