Электронный справочник по геометрии (Некрасова Г.В.)

Электронный
справочник
по геометрии
для учащихся
далее
Страницы геометрии
Площади плоских фигур.
•Цель: изучить доказательства некоторых формул площадей,
не изучающихся в школе. Обобщить, систематизировать и
научиться применять формулы для нахождения площадей
различных фигур.
далее
Содержание













Четырехугольники
Параллелограмм
Прямоугольник
Ромб
Квадрат
Количество свойств
Площадь параллелограмма
Площадь прямоугольника
Площадь ромба
Площадь квадрата
Площадь треугольника
Решение задач
Задача с практическим применением
далее
Четырехугольники
квадрат
ромб
параллелограмм
прямоугольник
трапеция
содержание
Параллелограмм
Параллелограммом называется
четырехугольник, у которого противолежащие
стороны попарно параллельны.
виды
•Прямоугольник
•Ромб
•Квадрат
Свойства параллелограмма
содержание
C
B
Свойства:
O
A
D
Противолежащие стороны попарно параллельны
(АВ ll CD, AD ll BC)
Противолежащие стороны равны (AB=CD, AD=BC)
Противолежащие углы равны (A = C, B = D)
Диагонали пересекаются (BDAC)
В точке пересечения делятся пополам (AO=OC, BO=OD)
содержание
Ромб
Ромб –
это параллелограмм,
у которого все стороны равны
виды
Свойства:







•Квадрат
Все стороны равны;
Противолежащие стороны попарно параллельны;
Углы , противолежащие равны;
Диагонали пересекаются;
В точке пересечения делятся пополам;
Диагонали взаимно перпендикулярны;
Диагонали являются биссектрисами углов;
содержание
Количество свойств
8
7
6
5
параллелограмм
прямоугольник
ромб
квадрат
4
3
2
1
0
свойства
содержание
Квадрат
Свойства:
-Противолежащие стороны попарно параллельны
-Все углы равны
-Все стороны равны
-Диагонали равны
-Диагонали пересекаются
-В точке пересечения диагонали делятся пополам
-Диагонали взаимно- перпендикулярны
-Диагонали являются биссектрисами углов.
а
а
а
а
содержание
Площадь
параллелограмма
Площадь параллелограмма находится
как произведение высоты на основание
(к которому проведена высота)
S = a*h
h
a
содержание
Площадь параллелограмма.
Площадь параллелограмма
равна произведению его
основания на высоту,
проведенную к этому
основанию.
S = aha
Sпар. = S1+ S2
…до прямоугольника
Sпр. = ah
Sпр. = S1+ S2
Sпр. = Sпар.
S = aha
Частный случай
Площадь параллелограмма равна
произведению двух смежных сторон на
синус угла между ними.
а
S=a*b*sin 

в
содержание
Площадь
прямоугольника
Площадь прямоугольника находится как
произведение двух смежных сторон (или
произведение высоты на основание)
S=a*b
или
S=a*h
h
a
содержание
Пусть ABCD и AB 1 C 1 D – два прямоугольника с
общим основанием AD. Пусть S и S'– их
площади. Докажем, что S  AB
S1
AB 1
Разобьем сторону AB прямоугольника на
некоторое число n равных частей, каждая из
которых равна
Пусть m – число точек
деления, которые лежат нa стороне AB 1. Тогда
Разделив на AB , получим
(*)
Проведем через точки деления прямые,
параллельные основанию AD . Они разобьют
прямоугольник ABCD на n равных
прямоугольников. Каждый из них имеет площадь
Прямоугольник
содержит первые m прямоугольника, считая
от стороны AD , и содержится в m + 1 прямоугольниках.
Поэтому
Отсюда
(**)
Сравнивая неравенства (*) и (**), заключаем, что
При этом
и
– фиксированные числа, а n может быть выбрано
сколь угодно большим. Следовательно, неравенство возможно
только при
Возьмем теперь единичный квадрат, прямоугольник со
сторонами 1, a и прямоугольник со сторонами a , b (рис. 2.).
Площадь прямоугольника со сторонами 1 и a обозначим
Сравнивая их площади, по доказанному будем иметь
и
Перемножая эти равенства почленно, получим S = a · b .
содержание
Площадь ромба
Площадь ромба находится как
произведение высоты на основание
(к которому проведена высота)
S = a*h
h
a
содержание
Частный случай
 Площадь
ромба равна половине
произведения диагоналей.
S=
d1 * d2
2
d2
d1
содержание
Площадь квадрата
Площадь квадрата- это сторона
квадрата в квадрате.
S= a2
а
а
содержание
Реши простейшую задачу:
(устно)
1,2 см. Найдите его площадь.
0,3 м
Найдите его площадь.
4см
содержание
Реши задачи, используя формулы
площадей соответствующих фигур.
1.
2.
Площадь квадрата равна 625 см2. Найдите его сторону
Площадь параллелограмма равна 48 см2. Сторона
равна 4см. Найдите высоту параллелограмма.
содержание
Задача с практическим
применением.
На плане фундамент имеет форму многоугольника
ABCDEF. Вычислите его площадь в квадратных
метрах, если 1 кв. см. на плане составляет 1 а на
местности.
Решение:
Разобьём многоугольник ABCDEF на четыре треугольника
диагоналями АС, АD, DF, тогда
S ABCDEF  S ABC  S ACD  S ADF  S FDE 
1
1
1
1
AC * h1  AD * h2  AD * h3  AD * h4 .
2
2
2
2
где h1,h2,h3,h4 - высоты треугольника.
Производя необходимые измерения отрезков на плане, находим:
1
1
1
1
1
S ABCDEF   2,5  2,0   3,0  1,0   3,0  1,2   2,4  0,8  (5,0  3,0  3,6  2) 
2
2
2
2
2
1
  14  7(см 2 )
7а = 700 кв.м.
2
содержание
Ответы
1) Сторона квадрата равна 25 см.
2) Высота параллелограмма равна 12 см.
содержание
Прямоугольник
 Прямоугольник

-
параллелограмм, у
которого все углы прямые.
Свойства:
-противоположные стороны равны;
-диагонали точкой пересечения делятся пополам;
-диагонали прямоугольника равны;
-все углы равны;
содержание
Площадь треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения его высоты
на основание, к которому проведена данная высота.
Пусть ABC – данный треугольник. Достроим его до параллелограмма
ABCD. Площадь параллелограмма равна сумме площадей
треугольников ABC и CDA . Так как эти треугольники равны, то
площадь параллелограмма равна удвоенной площади
треугольника ABC . Высота параллелограмма, соответствующая
стороне CB , равна высоте треугольника, проведенной к стороне
CB .
Отсюда следует утверждение теоремы

- нахождение площади треугольника через радиус описанной
окружности:
abc
S
4R


- нахождение площади треугольника по двум сторонам и
углу между ними: S = 1/2 a b*sin a
- нахождение площади равностороннего треугольника:
a2 3
S
4

- нахождение площади по формуле Герона:
S  p( p  a)( p  b)( p  c)
 Вывод: изучила доказательства некоторых
формул площадей, не изучающихся в школе.
Обобщила, систематизировала и научилась
применять формулы для нахождения площадей
различных фигур. В результате своей
творческой работы я создала электронный
справочник для учащихся.