Слайд 1 - Институт теоретической и прикладной механики СО

Обратные и некорректные задачи в
экспериментальной физике
Пикалов Валерий Владимирович,
ИТПМ СО РАН, Новосибирск
д.ф.-м.н.
www.itam.nsc.ru/lab17/
-- Избранные задачи томографии. Трехмерная
рентгеновская эмиссионная томография. Томография
рентгеновского и видимого диапазонов. Оптическая
микротомография живых клеток крови человека.
-- Томография в фазовом пространстве: спектротомография (двумерная спектроскопия), хронотомография
(быстропротекающие
процессы),
доплеровская томография в пространстве скоростей.
Локальная и глобальная томография: извлечение
структур, изображения Вайнберга и Фаридани.
Вычислительная томография: от анализа изображений
к компьютерному видению.
1
www.itam.nsc.ru/lab17
2
3
4
Медицинская томография
The Visible Human
Project
CT Scans Prior to Freezing
www.nlm.nih.gov/research/
visible/fresh_ct.html
Specimen from the Visible
Human Male - Head subset
Thorax subset
5
Abdomen subset
Pelvis subset
Feet subset
I1 / I 0  exp{   g ( x)dx},
L
Преобразование Радона:
I L (t )   g ( x, y, t )dL
L

 g ( x, y) ( p  x sin   y sin  )dxdy
6
Обратное преобразование Радона
Обратное проецирование с фильтрацией (ОПФ)
Фильтр Шеппа-Логана
- аппроксимация обратного преобразования Фурье фильтра ||.
7
Некоторые проблемы экспериментальной физической томографии
• малое число углов наблюдения (проекций)
• малое число детекторов на проекцию
• проблема ограниченного углового диапазона
• отсеченные проекции
• время сбора данных (приложения реального времени)
• шумы (разной природы)
• аппаратурные искажения
• оптическая плотность объекта
• непрозрачные включения.
8
Схема регистрации проекций
в эмиссионной томографии
9
Examples of plasma tomography
Tomographic reconstruction method of gas
density distribution by fast electron beam
attenuation measurements is developed.
Measurements and reconstructions are
done for symmetric and asymmetric
blunted cones with rarefied hypersonic
(Mach number = 21) air flows around it.
10
Выбор параметра :
•||Ag - f||2 = 2;
Метод статистической регуляризации:
•i+1 = n/(gi , gi);
  nSp( A WA  )

1
 ( g

1

, g ) .
Другой итерационный метод
ART:
g ( k 1)  g ( k )  ( k )
f i ( k )  (a i ( k ) , g ( k ) )
ai(k )
2
ai(k ) .
11
Интегральное уравнение Абеля
Норвежский
математик
Нильс Хенрик
Абель (1802-1829)
Обратное преобразование Абеля (одномерная томография)
Обратное преобразование Радона (двумерный случай)
12
Список литературы
[1] Сайт группы Вычислительной томографии,
Институт теоретической и прикладной механики им. С.А.Христиановича СО
РАН : http://www.itam.nsc.ru/lab17/
[2] Пикалов В.В., Преображенский Н.Г.
Вычислительная томография и физический эксперимент.
// УФН. -1983. -Т.141. No.3. -С. 469-498.
[3] Пикалов В.В., Мельникова Т.С.
Томография плазмы. Новосибирск: Наука. 1995.
[4] Преображенский Н.Г., Пикалов В.В.
Неустойчивые задачи диагностики плазмы. -Новосибирск: Наука, 1982.
[5] Пикалов В.В., Преображенский Н.Г.
Реконструктивная томография в газодинамике и физике плазмы. Новосибирск: Наука, 1987.
[6] Vishnyakov G.N., Levin G.G., Minaev V.L., Pickalov V.V., Likhachev
A.V. Tomographic interference microscopy of living cells.
// Microscopy and Analysis (UK). -2004. -Vol.18. No.1. -P. 15-17.
[7] Пикалов В.В., Непомнящий А.В.
Итерационный алгоритм с вэйвлет-фильтрацией в задаче двумерной томографии.
// Вычислительные методы и программирование. -2003. -Т.4. No.2. -С. 7584.
13
Часть II
--
Избранные задачи томографии. Трехмерная рентгеновская
эмиссионная томография. Томография рентгеновского и видимого
диапазонов. Оптическая микротомография живых клеток крови
человека.
14
I1 / I 0  exp{   g ( x)dx},
L
Преобразование Радона:
I L (t )   g ( x, y, t )dL
L

 g ( x, y) ( p  x sin   y sin  )dxdy
15
Интегральное уравнение первого рода:
S(t) =  K(t,s) F(s) ds
Уравнение свертки – инвариантность к сдвигу:
S(t) =  K(t-s) F(s) ds
F(t)
Прибор:
Неизвестное
воздействие
линейная
аппаратная
функция
S(t)
Измеренный
сигнал
K(t)
Более общая операторная связь:
S = KF
16
Алгебраические алгоритмы томографии
ART
Ag  f
g
( k 1)
g
(k )

f i ( k )  (a i ( k ) , g ( k ) )
a
i(k ) 2
ai(k ) .
MART
gj
( k 1)
 gj
a i ( k ) j


.
 (ai ( k ) , g ( k ) ) 


(k ) 
fi ( k )
ai(k) - это i(k) строка проецирующей матрицы A, i(k)=[k(mod I)+1],
 - параметр релаксации,
( , ),  - скалярное произведение и евклидова нома в RJ.
Априорная информация:
• условия совместности проекций (их моменты);
• ограничения на томограмму и синограмму (положительность, оценка шума...)
17
The number of iterations - 13.
Error = 5.05%.
The number of iterations is 6.
Error = 7.20%.
Small line is reconstructed
unsatisfactory.
18
Parameters of this series of
reconstruction (axis for wave
length X is taken as [-1,1]
range):
K_width = 0.25 (red line);
Exact spectrum is a sum of
three gaussians(green line):
First Line from left:
G_ampl = 0.3; G_x0 = -0.4;
G_width = 0.1;
Second Line:
G_ampl = 1.0; G_x0 = -0.1;
G_width = 0.2;
Third Line:
G_ampl = 0.9; G_x0 = 0.2;
G_width = 0.3;
.
Blue line is a signal - result of convolution between red and green lines.
Black line is the result of solution of inverse problem by software package
Topas-Micro
19
Here the number of measurements is 3 times less,
than the number of reconstructed points in spectrum
(e.g. that is very underdetermined problem!).
The number of iterations is 555. Error = 1.05%.
20
Свертка с прямоугольным
ядром (горизонтальный
смаз), ширина ядра – 77
пикселей (15% диаметра
области).
Исходное изображение “Lena”(512 x 512 пикселей).
Восстановление
изображения методом
ART, первые 276 строк
(левое) и полное – 512
строк.
Параметры: 150 итераций,
=0.15, положительность
решения, 1 = 4-11%, без
шума, время счета – 12 мин
55 сек (P-IV – 1800 MHz).
21
Fig.1. Schematic set-up of the plasma test – the reactor with a triangular test substrate for tomographic measurements
22
Томограммы простого фантома:
осесимметричная гауссиана
23
Реконструкция гладких фантомов
3
6
12
24
25
26
27
Эллиптические изолинии порядка n
Интегральное уравнение первого рода:
его инверсия
Данный подход обобщается и на изолинии произвольной формы
28
29
Двухракурсная томография: точное решение
f1 ( y )   g ( x, y )dx,
f 2 ( x)   g ( x, y )dy.
 g ( x, y )  f1 ( y )  f 2 ( x) /(  f1dy  f 2 dx)
30
One-projection tomography, 3D object
2. Torus tangential view
Balandin A., Fuchs G., Pickalov V., Rapp J., Soltwisch H. Vector
tomography of plasmas using Faraday rotation. // Computerized
tomography. -Utrecht: VSP, 1995. -P. 78-81.
31
Three-dimensional emission tomography of tokomak plasmas with
a single tangentially viewing camera
Model and its projections
32
Rays traces for different transforms (1.0, 1.5, 2.0):
33
Reconstruction (1.5):
34
Tomographical spectroscopy.
Numerical simulations:
Variations of cameras' number
Model of complicated impurities' distribution
Reconstruction by MENT algorithm
(from Topas-Micro software package),
Tomogram 101x101, 101 detectors for each camera,
noise level in projections = 3%;
12 iterations
35
6 views
Reconstructed and exact tomograms:
36
Реконструкция трехмерных
структур лимфоцитов и
эритроцитов
методами фазовой микроскопии
видимого диапазона
Томографический микро-интерферометр
37
Erythrocyte:
Collection (D) of 18 projections for the
reconstruction
(Rotation around horizontal axis).
Each frame is scaled to its own maximum
(Frames are marked by relative angle, from
27 to 61 degree, with 2 degree step; )
38
Оптическая микротомография живых клеток
крови
Упрощенная модель лимфоцита для исследования задачи томографической
реконструкции в условиях ограниченного углового диапазона сбора
проекционных данных
Рис.1.
a) Точная модель, сечение плоскостью b) Результат томографической
X=0.
реконструкции (21 проекция, угол 800).
лимфоцит
Рис.2.
Схема
интерференционного
микротомографа на базе микроскопа
Линника: 1 - протяженный источник света;
2 - объектив; 3-светоделитель; 4, 8 - передние
фокальные плоскости микрообъективов; 5,
9-микрообъективы; 6-объект; 7, 10 - зеркала;
11 - окуляр; 12 - плоскость регистрации.
эритроцит
Рис.3. Примеры использования новых
алгоритмов
трехмерной
томографии
ограниченного углового диапазона для
оптической микротомографии живых
клеток крови (эритроцитов и лимфоцитов)
[Вишняков Г.Н. и др. Опт.спектр., 1999,
87(3):448]
39
Topas-Micro
(5)
Изоповерхности
лимфоцита
Java-анимация:
http://www.itam.nsc.ru/lab17/res/vilev/limph/limph1.htm
40
Topas-Micro
(6)
Трехмерная оптическая
микротомография клеток крови:
лимфоцит
(визуализация ИАиЭ, лаб. Долговесова Б.С.)
Вишняков Г.Н., Левин Г.Г., Лихачев А.В.,
Пикалов В.В. Фазовая томография
трехмерных биологических микрообъектов:
численное моделирование и
экспериментальные результаты.
// Опт. спектр. -1999. -Т.87. No.3. -С. 448-454.
41
Tomography reconstruction of erythrocyte
Eighteen equatorial projections placed each 2o in the interval[-18o; 16o] have been chosen
for the tomography reconstruction of the erythrocyte (scheme 3). The algorithms ART,
cART, and GP3Dm have been used for the reconstruction.
Levin G.G., Vishnyakov G. N., Zakarian C. S., Likhachov A.V., Pickalov V.V.,
Kozinets G.I., Novoderzhkina J.K., Streletskaya E.A.
Three-dimensional limited-angle microtomography of blood cells: experimental results.
// Three-Dimensional and Multidimensional Microscopy: Image Acquisition and
Processing V. SPIE Proceedings, 1998, Vol. 3261, pp.159-164.
42
1200
R
R
R=100 mm
L=1645 mm
Exact model and its tomographic
reconstruction from 3 projections (noise
5%, method cART, error=15.5%).
L
Three 2-D projections of model
emission object
C
C
D
Tree-views scheme of emission
measurements
Real experiment:
3-D ultra-violet emission tomography.
Different time slices of 3-D
reconstructions of flames structure (threeviews tomography).
43
Topas-Micro
(8)
44
Список литературы
[1] Сайт группы Вычислительной томографии,
Институт теоретической и прикладной механики им. С.А.Христиановича СО
РАН : http://www.itam.nsc.ru/lab17/
[2] Пикалов В.В., Преображенский Н.Г.
Вычислительная томография и физический эксперимент.
// УФН. -1983. -Т.141. No.3. -С. 469-498.
[3] Пикалов В.В., Мельникова Т.С.
Томография плазмы. Новосибирск: Наука. 1995.
[4] Преображенский Н.Г., Пикалов В.В.
Неустойчивые задачи диагностики плазмы. -Новосибирск: Наука, 1982.
[5] Пикалов В.В., Преображенский Н.Г.
Реконструктивная томография в газодинамике и физике плазмы. Новосибирск: Наука, 1987.
[6] Vishnyakov G.N., Levin G.G., Minaev V.L., Pickalov V.V., Likhachev
A.V. Tomographic interference microscopy of living cells.
// Microscopy and Analysis (UK). -2004. -Vol.18. No.1. -P. 15-17.
[7] Пикалов В.В., Непомнящий А.В.
Итерационный алгоритм с вэйвлет-фильтрацией в задаче двумерной томографии.
// Вычислительные методы и программирование. -2003. -Т.4. No.2. -С. 7584.
45
Часть III
-- Томография в фазовом пространстве: спектро-томография
(двумерная спектроскопия), хроно-томография (быстропротекающие
процессы), доплеровская томография в пространстве скоростей.
Локальная и глобальная томография: извлечение структур,
изображения Вайнберга и Фаридани. Вычислительная томография: от
анализа изображений к компьютерному видению.
46
Levin G.G., Vishnyakov G.N.
On the possibilities of chronotomography of high speed processes.
// Optics Communications. -1985. -Vol.56. No.4. -P. 231-234.
47
Хронотомография
Согласно рассматриваемой схеме излучение от изменяющегося во времени объекта 1, сформированное в
квазипараллельный пучок объективом 2, направляют на мультиплицирующую систему, В данном случае
ее роль играют два полупрозрачных зеркала 3, 4, которые разделяют пучок по трем каналам.
В первом (I) канале излучение, пройдя глухое зеркало 5 и промежуточный объектив 6, поступает в регистратор 7, с помощью
которого осуществляет взаимный сдвиг изображения объекта и регистрирующей среды, например, путем задания скорости
вращения зеркала фотохронографа V1. Таким образом получают промежуточные изображения объекта. Во втором (II) канале
излучение на регистратор 9 направляют с помощью промежуточного объектива 8. Регистратором 9 осуществляют сдвиг
изображения, например, путем задания скорости вращения зеркала фотохронографа V2. В третьем (III) канале излучение на
регистратор 12 направляют с помощью глухого зеркала 10 и промежуточного объектива 11. В регистраторе 12 задается
скорость вращения зеркала V3. Различные режимы работы регистраторов 7, 9, 12 обеспечивают получение различных
значений вектора сдвига изображений объекта относительно регистрирующей среды. В данной схеме возможно также
получение различных значений вектора сдвига изображений объекта относительно регистрирующей среды и другими
путями, например путем задания масштабов изображений или их поворотов, различающимися от канала к каналу.
Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. Оптическая томография. -М.: Радио и связь, 1989. -224 с.
48
хронотомографическая проекция:

f ( x, y , V ) 
 g ( x  Vt, y, t )dt ,
x  Vt  const , tg  x / t ;V  tg .

обобщение на спектротомографию …
49
z
Doppler tomography
y
V1
V3
V2
f r (Vx )    g r (Vx , Vy , Vz ) dV y dVz
x
- трехмерное преобразование Радона
Определение функции распределения ионов по скоростям с использованием проявления
эффекта Доплера в их излучении.
Poluektov N.P., Efremov N.P. New tomographic approach for deconvolution of ion
velocity and temperature profiles in a plasma centrifuge. // J. Phys. D: Appl. Phys. -1998.
-Vol.31. No.8. -P. 988-995.
Инверсия:
1
g (Vx ,Vy ,Vz )  2
4
  
(2 )
2 f
d
2
p
50
Continuous Wavelet Transform
(W f )( a, b)  a
1 / 2

t b
f
(
t
)


dt

 a 
Mexican Hat Wavelet
 (t )  (1  t 2 ) exp( t 2 / 2)
Wavelet necessary features:
1) Localization (in t- and k-spaces)

2) Zero moments
m
t
  (t )dt  0

3) Admissibility condition
ˆ ( )
0  d  

Wavelet Power Spectrum
EW (a)   (W f ) 2 (a, b)db
The correspondence between frequency and wavelet scale:
  5 (2 2a )
51
Дискретное вэйвлет-преобразование модельного сигнала с помощью вэйвлета Хаара 1
52
Дискретное вэйвлет-преобразование модельного сигнала с помощью вэйвлета Добеши 4
53
Первые четыре масштабирующих функции
(толстая линия) и соответствующие вэйвлеты
(пунктир) из семейства Добеши.
 ,1  ;2  , 2  ;3  ,3  ;4  , 4 
1
54
Multiscale analysis of tomogram with wavelet transform
of projection data
Radon transform of the convolution R ( g * g1 )  R g * R g1
(convolution theorem)
(2)1 / 2 W  f (b p )   W  , g (bs , b p )dbs
 s  bs p  b p
W  , g (bs , b p )   1   g ( s, p) 
,

 

dsdp

 p  bp 
dp
W  f (bp )   1 / 2  f ( p) 1 
  
Scale
parameters of
analyzing
wavelet:
1=0.25,
2=0.15,
3= 0.1,
4=0.05,
5=0.01,
6=0.005
55
Test image Lena
Projections 256 x 361, before CWT
Reconstruction, CWT, MHAT-006
56
Projections, MHAT-0.04, 0.02
Supersonic jet flow
0.003
Reconstruction, 0.02
0.006
0.012
0.04, positiveness
57
Дискретное вэйвлет-преобразование

 x  k2 j 
j
j
 j/2
dx
(W f )( 2 , k 2 )  f ( x), j ,k ( x)  2  f ( x) 
j
2



{0}  ...  V1  V0  V1  ...  L2 ( R)

V
j
 L2 ( R )
j  
 j ,k ( x)  2  (2 x  k ), j, k  Z
j/2
Кратномасштабный анализ
j
f V j  f (2) V j 1
 V0 : { ( x  k ), k  Z } есть о.н.б. вV0
Быстрое вэйвлет-преобразование
  V1 :
J0  J
J 1
f ( x)   cJ 0 ,l J 0 ,l ( x)   d j ,l j ,l ( x)
jJ0 l
l
c J 0 ,l   f ( x) J 0 ,l ( x)dx
H
cJ
H
d j ,l   f ( x) j ,l ( x)dx
H
G
dJ
d J 1
G

kZ
{ j ,k | j, k  Z} есть о.н.б. в L2 (R)
H
 c J 1    c J 0 1  c J 0
G
Pr ojV j1 f  Pr ojV j f   f , j ,k  j ,k
d J 0 1


c  Hc  c *2 h  ( Hc ) k   hl 2 k cl 
lZ




c  Gc  c *2 g  (Gc) k   g l 2 k cl 
lZ


 ( x)  2  hk (2 x  k )
kZ
 ( x)  2  g k (2 x  k )   g k1,k ( x)
kZ
kZ
g k  (1) k h1 k
58
59
Фантом (слой 32)
ART-реконструкция
Разложение реконструкции в базисе D20 (A1, D1-D5)
Фантом (слой 46)
ART-реконструкция, σ=1%
(Δ=17%)
A4 (Δ=15%)
60
Comparative description of some approaches in local
2D-tomography
Phantom itself and it’s interior region.
Vainberg image g ( x, y)  
1
V
2 2

 f ( , x sin   y cos  )d
p
0
Faridani image g ( x, y)  g ( x, y) 
F
V
Continuous wavelet transform
1
2 2

  f ( , x sin   y cos  )d
0
 p b
W f (b)   1/ 2  f ( p) 
 

dp

61
Reconstructions from noiseless projections
Vainberg image
Local continuous wavelet
coefficients (α=0.002)
Faridani image
Reconstruction from
filtered (D7) projections
(DWT/IDWT)
62
Reconstructions from noisy projections (σ=2%)
Vainberg image
Faridani image
Local continuous wavelet
coefficients (α=0.002)
Reconstruction from
filtered (A5) projections
(DWT/IDWT)
63
Filtered projections (D7)
Reconstruction (D7)
Filtered projections (A6)
Reconstruction (A6), Δ=15%
256*256=65536  201*256 = 51456  (201*256)/2=25728
64
2D Tomographic Reconstruction Using Neumann Decomposition with Wavelet Filtering.
g ( x, y )
exact tomogram,
f ( i , p j ) projection data, linear integral of g ( x, y ) along lines: p j   x sin  i  y cos  i
Li  W 1 iW
R01
i
gi
r i  f  Rg i
wavelet filtering operator,
approximate inverse Radon transform operator,
relaxation parameter,
reconstruction on i-th iteration,
residual on i-th iteration
g 0  R01 L0 f
g i 1  g i  i R01 Li r i
Пикалов В.В., Непомнящий А.В.
Итерационный алгоритм с вэйвлет-фильтрацией в задаче двумерной томографии.
// Вычислительные методы и программирование. -2003. -Т.4. No.2. -С. 244-253.
65
Iterative tomogram reconstruction
with wavelet filtering
Model: Nx, Ny, N
= 128, K = 7,
Reconstruction:
(rms=137%)
=0.002,s0=4,si=6.SL2
rms=32% (300th iter)
without noise
Iterations
g 0  R0:1 LS 0 f
g i 1  g i  i R01 LSi ( f  RR01 g i )
66
Reconstructions of Model 1 from noisy projections (K=6). Noise
level σ=10% (proportional). a) MENT, Ni=50, Δ=7%, b) GP, Ni=50,
Δ=10%, c) FBP, Δ=16%, d) NDWF, Ni=50, Δ=7%.
Reconstructions of Model 2 from noisy projections (K=6). Noise
level σ=10% (range). a) MENT, Ni=100, Δ=81%, b) GP, Ni=50,
Δ=92%, c) FBP, Δ=97%, d) NDWF, Ni=50, Δ=83%.
67
Dependence of reconstruction error on number of iteration
for MENT, GP, NDWF (no noise, K=6): a) gaussian, b) ring
68
Model No.53, 7 components
Elementary phantom Magnitude
x0
y0
a
φ
b
,
d
0.5
g
r
0.5
0
18, rectangle
1
0.4
2, parabola -1/2
1
3, elliptical disk
1
0
-0.45 0.2 0.45
0
12, parabola - 1
1
0
0.45
0.2 0.45
0
13, cone
1
-0.4
0.45
0.2 0.45
0
14, parabola - 3/2
1
0.4
0.45
0.2 0.45
0
1, gaussian
0
e
0.2
0
-0.45 0.2 0.45
0
-0.4 -0.45 0.2 0.45
0
e
e
s
Модель 53 пакета Topas-Micro, композиция из
основных элементарных двумерных фантомов пакета.
69
Эллиптическая повернутая гауссиана
Томограмма:
g ( x, y )  C exp( 4 ln 2 t 2 ),
2
2
((
x

x
)
cos


(
y

y
)
sin

)
(

(
x

x
)
sin


(
y

y
)
cos

)
0
0
0
0
t2 

.
2
2
a
b
Синограмма:

( p  p0 ) 2
abC
f ( , p ) 
exp   4 ln 2
2

 4 ln 2


, p 0   x sin   cos  ,

 2  a 2 sin 2 (   )  b 2 cos 2 (   ).
70
Парабола (1) с эллиптическим носителем
Томограмма:
C (1  t 2 ), t  1,
g ( x, y )  
t  1,
 0,
(( x  x0 ) cos   ( y  y 0 ) sin  ) 2 (( x  x0 ) sin   ( y  y 0 ) cos  ) 2
2
t 

.
2
2
a
b
Синограмма:
4abC  ( p  p 0 )
1 
f ( , p) 
3 
2
3/ 2

 , p0   x sin   cos  ,

 2  a 2 sin 2 (   )  b 2 cos 2 (   ).
2
71
Парабола (1/2) с эллиптическим носителем
Томограмма:
2 1/ 2

C
(
1

t
) , t  1,

g ( x, y )  
0,
t  1.


Синограмма:
abC  ( p  p0 ) 2 
1 
 .
f ( , p) 
2
2 


72
Парабола (3/2) с эллиптическим носителем
Томограмма:
2 3/ 2

C
(
1

t
) , t  1,

g ( x, y )  
.
0,
t  1,


Синограмма:
3abC  ( p  p0 )
1 
f ( , p) 
2
8 

2



2
.
73
Ступенька с эллиптическим носителем
Томограмма:
C ,
g ( x, y )  
 0,
t  1,
t  1,
(( x  x0 ) cos   ( y  y 0 ) sin  ) 2 (( x  x0 ) sin   ( y  y 0 ) cos  ) 2
t 

.
2
2
a
b
2
Синограмма:
2abC  ( p  p0 )
1 
f ( , p) 
 
2
2



1/ 2
.
74
Конус с эллиптическим носителем
Томограмма:
C (1  t ), t  1,
g ( x, y )  
 0, t  1,
(( x  x0 ) cos   ( y  y0 ) sin  ) 2 (( x  x0 ) sin   ( y  y0 ) cos  ) 2
2
t 

.
a2
b2
Синограмма:
2


(
p

p
)
0
1 1

2
2
2
( p  p0 )
( p  p0 ) 
abC 
f ( , p) 
1

ln 
2
2

2


2
(
p

p
)
1 1
0

2







 .



75
Model No.53 and its gradient module.
76
Model No.53 and its gradient module.
77
Список литературы
[1] Сайт группы Вычислительной томографии,
Институт теоретической и прикладной механики им. С.А.Христиановича СО
РАН : http://www.itam.nsc.ru/lab17/
[2] Пикалов В.В., Преображенский Н.Г.
Вычислительная томография и физический эксперимент.
// УФН. -1983. -Т.141. No.3. -С. 469-498.
[3] Пикалов В.В., Мельникова Т.С.
Томография плазмы. Новосибирск: Наука. 1995.
[4] Преображенский Н.Г., Пикалов В.В.
Неустойчивые задачи диагностики плазмы. -Новосибирск: Наука, 1982.
[5] Пикалов В.В., Преображенский Н.Г.
Реконструктивная томография в газодинамике и физике плазмы. Новосибирск: Наука, 1987.
[6] Vishnyakov G.N., Levin G.G., Minaev V.L., Pickalov V.V., Likhachev
A.V. Tomographic interference microscopy of living cells.
// Microscopy and Analysis (UK). -2004. -Vol.18. No.1. -P. 15-17.
[7] Пикалов В.В., Непомнящий А.В.
Итерационный алгоритм с вэйвлет-фильтрацией в задаче двумерной томографии.
// Вычислительные методы и программирование. -2003. -Т.4. No.2. -С. 7584.
78
79
Центральная теорема томографии:
теорема о центральном сечении
80
81
82