Задачи по теории вероятностей 1

Задачи по теории
вероятностей
1
Классическое определение
вероятности

Определение: Вероятностью события А
называется отношение числа
благоприятных этому событию случаев
к общему числу всех случаев
m
P ( A) 
n
2
Задача о шарах
• В урне 5 синих и 7
красных шаров.
• Изымают 1 шар. Какова
вероятность вынуть
• А) синий шар,
• Р(А)=5/12
• Б) красный шар,
• Р(А)=7/12
• С) белый шар,
• Р(А)=0
• Д) синий или красный
шар,
• Р(А)=1
• Е) синий или белый шар, • Р(А)=5/12
• Ж) синий и красный шар? • Р(А)=0
3
Задача о шарах
• В урне 5 синих и 7
красных шаров.
• Изымают 2 шар. Какова
вероятность вынуть
• А) 2 синих шара,
• B) 1 синий и 1 красный
шары,
• С) 1 белый шар и 1
красный,
С52 10 5
P( A)  2 

С12 66 33
P( B) 
5  7 35

С122 66
P(C )  0
• D) хотя бы один синий,
С52  5  7 45 15
P( D) 


2
С12
66 22
• Е) шары одинакового
цвета,
С52  С72 10  21 31
P( E ) 


С122
66
66
• F) не более 2 синих
шаров?
P ( A)  1
4
Классическая формула для подсчета
вероятностей
 1. Найти вероятность того, что трехзначный
номер случайно встреченного автомобиля
состоит из одинаковых цифр
 Решение:
3
3
m=10, n  A10  10  1000
m
10
P ( A)  
 0,01
n 1000
5
 2. Преступник знает, что шифр сейфа составлен из цифр 1,3,7,9,
но не знает в каком порядке их набирать.
 1) Какова вероятность того, что первые две цифры он набрал
верно?
 2) Какова вероятность того, что преступник откроет сейф с первой
попытки?
 Решение:
 1) m=1,
P ( A) 
4!
4!
n A 
  3  4  12
(4  2)! 2!
2
4
1
12
2) m=1, n=P4=4!=24
P ( A) 
1
24
6
 3. Программа экзамена
содержит 30 вопросов.
Студент знает 20 из них.
Каждому студенту
предлагают 2 вопроса,
которые выбираются
случайным образом.
Отличная оценка ставится,
если студент правильно
ответил на оба вопроса.
Какова вероятность
получения «5»?
 Решение
2
n  C30

30!
30!
28!29  30


 29 15  435
2!(30  2)! 2  28!
2  28!
2
m  C20

20!
20! 18!19  20


 19 10  190
2!(20  2)! 2 18!
2 18!
190 38
P ( A) 

435 87
7
 4. В студенческой группе (12 девушек и 8 юношей)

разыгрываются 5 зарубежных путевок. Какова вероятность
того, что путевки получат 3 девушки и 2 юноши?
Решение:
20!
20! 16 17 18 19  20
nС 


 15504
5!(20  5)! 5!15!
1 2  3  4  5
12!
8!
3
2
m  С12  С8 


3!(12  3)! 2!(8  2)!
5
20
10 1112 7  8


 6160
6
2
P( A) 
6160 1540

15504 3876
8
 5. В лотерее разыгрывается 100 билетов. Из них 15 выигрывают
по 20 000 руб., 25 - по 10 000 руб.,
 60 - по 5 000 руб. Играющий приобрел 2 билета. Какова
вероятность выиграть не менее 30 000 руб.?
 Решение:
2
n  С100

100!
100! 99 100


 4950
2!(100  2)! 2  98!
2
1
1
m  С152  С15
 С25

15!
15!
25!



2!(15  2)! 1!(15  1)! 1!(25  1)!
14 15

 15  25  480
2
480
16
P( A) 

4950 165
9
 6. В течении дня из
 Решение:
Брюково в Стуково
2
2
отправляется 8
n  A8  8  64
автобусов. Разведенные
8!
супруги гражданин N и
2
m

A


7

8

56
8
гражданка M не хотят
(8  2)!
ехать в одном автобусе.
Какова вероятность
56 7
того, что при случайном
P ( A) 

64 8
выборе автобусов они
попадут в разные
автобусы?
10