Решение линейных и квадратных неравенств

Глава 11, §4
Решение квадратных неравенств
Определения
1. Квадратное неравенство – это неравенство,
которое равносильными преобразованиями
может быть приведено к неравенству вида
x2 + px + q > 0 (или <, , ).
2. Чтобы решить квадратное неравенство,
нужно найти промежутки постоянного
знака соответствующей квадратичной
функции. Их вид зависит от наличия
корней квадратного уравнения
x2 + px + q = 0.
Глава 11, §4
Решение квадратных неравенств
Полезно запомнить
если функция y = x2 + px + q имеет корни x1, x2,
то она отрицательна в интервале между ними и
положительна вне его:
–
+
x1
+
x2
x2 + px + q = (x – x1)(x – x2), то
(x – x1)(x – x2) < 0  x  (x1; x2);
(x – x1)(x – x2) > 0  x  (–; x1)  (x2; +).
То есть, если
если корней нет, то эта функция положительна
на всей числовой оси.
Глава 11, §4
Решение квадратных неравенств
Алгоритм решения квадратного неравенства
1. Преобразованиями привести неравенство к виду
x2 + px + q > 0 (или <, , ).
2. Выяснить, есть ли корни у квадратного трехчлена
x2 + px + q = 0 и найти их, если они есть.
3. Записать ответ.
Глава 11, §4
Решение квадратных неравенств
Пример 1
Решим неравенство
(1 – x)(2 + x)  2.
Решение:
(1 – x)(2 + x)  2 
2 – 2x + x – x2  2  x2 + x  0.
2. Находим корни: x2 + x = 0  x1 = –1; x2 = 0.
1. Преобразуем неравенство:
3. Ответ:
x  –1; x  0 или x  (–; –1]  [0; +).
Глава 11, §4
Решение квадратных неравенств
Пример 2
Найдем отрицательные решения неравенства
6 – x2  –x .
Решение:
Нахождение решений квадратного неравенства на
промежутке сводится к решению системы неравенств.
1. Преобразуем неравенство:
6 – x2  –x  x2 – x – 6  0.
2. Корни квадратного трехчлена
x2 – x – 6: x1 = –2, x2 = 3.
3. Наносим на числовую ось решения неравенства и
промежуток изменения x:
–3
4. Ответ:
[
–2
)
0
1
2
–2  x < 0, или x  [–2; 0).
]
3