Численное решение уравнений Метод половинного деления

Косаренко Нина,
10 класс МОУ СОШ п.Донское
Численное решение
уравнений
Метод половинного деления
2006 г.
f(x) = 0 (1)
Рассмотрим функцию у = f(x) на отрезке [a; b ]
Если f(x) – непрерывная и монотонная на
отрезке [a; b] функция, то утверждение о
том, что уравнение (1) имеет на отрезке
[ a; b] единственный корень равносильно
тому, что f(a)*f(b)<0
При этом если изобразить график функции y=f(x),
то кривая графика будет пересекать ось Ох в точке ,
которая и будет являться корнем уравнения (рис. 1).
Рисунок 1.
Для нахождения корня отрезок [a; b]
делится пополам (рис.2)
Рисунок 2.
хi = а +(b-а)/2 – и выбирается тот полуинтервал, на
концах которого знаки f(х) разные.
Для определения знаков функции
достаточно вычислить ее значение в точках a, xi
и b соответственно. Полученные значения
сравниваются следующим образом:
1. Если одно из найденных значений равно
нулю, т. е.
f(a) = 0 or f(xi) = 0 or f(b) = 0,
то найден соответствующий корень уравнения.
Процесс прекращается.
2. Если (f(a) > 0 and f(xi) < 0) or (f(a) < 0 and
f(xi) > 0), то корень находится на отрезке [a, xi].
Примечание


Это сложное условие легко заменяется более
простым. А именно, с учетом правил
действия со знаками в математике легко
записать: если (f(xn)*f(xi) < 0), то ... .
Действительно, при умножении чисел с
разными знаками всегда получается
отрицательное число. Тогда пункт 2:
Если (f(xi) > 0 and f(b) < 0) or (f(xi) < 0 and f(b)
> 0), то корень находится на отрезке [xi, b]
заменим условием: если (f(xi)*f(b) < 0), то... .
Рисунок 3
Если длина выбранного отрезка еще не стала
меньше некоторого наперед заданного числа ε –
точности вычислений (т. е. в нашем случае | b-xi | <
ε), то процесс деления отрезка пополам
повторяется уже для нового отрезка.
Пусть дано уравнение: 5sin(2x-1)-0,7=0.
Найдем корни уравнения, принадлежащие
отрезку [1;10].
Решать задачу будем в 2 этапа:

Выделим отрезки, на которых уравнение имеет
единственный корень

Методом деления пополам найдем корни на каждом
из выделенных отрезков.
1. Чтобы выделить отрезки, на которых уравнение имеет
единственный корень, разобьем отрезок на [1;10]
малые отрезки (длиной 0,1) и на каждом из отрезков
проверим условие: f(xi)*f(xi+1)<0, где
[xi ; xi+1] - один из отрезков. Все отрезки, для которых
условие выполняется, будем выводить на экран.
Программа выделения отрезков
Результат работы программы (найденные отрезки):
Программа, реализующая метод половинного
деления :
Окно выполнения:
Результаты работы программы (найденные корни):






на [2;2.1]:
на [3.7;3.8]:
на [5.1;5.2]:
на [6.8;6.9]:
на [8.2;8.3]:
на [9.9;10]:
x = 2,000488 ≈ 2
x = 3,711719 ≈ 3,71
x = 5,141406 ≈ 5,14
x = 6,853907 ≈ 6,85
x = 8,283594 ≈ 8,28
x = 9,994531 ≈ 9,99
Таким образом, мы приближенно решили данное
уравнение на отрезке [1 ;10] с точностью 0.001
методом половинного деления.