proizvodnaiax

ОГАОУ СПО «Белгородский механико-технологический колледж»
Учебное занятие по математике
Тема: Производная и ее физический
смысл. Решение прикладных задач
Преподаватель: О.Б.Борченко
2015г.
Тема урока: Производная и ее физический смысл. Решение прикладных задач.
Цели урока:
1. Определение физического смысла производной, использование механического
истолкования производной при решении задач, физический смысл производной второго
порядка.
2. Развитие логического мышления при установлении связи физических величин с
понятием производной, формирование навыков практического использования
производной при решении прикладных задач.
3. Развитие познавательного интереса через раскрытие практической необходимости и
теоретической значимости вычисления производных.
Освоение компетенций:
ОК 1. – Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии,
проявлять к ней устойчивый интерес;
ОК 2. – Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество;
ОК 3. – Принимать решение в стандартных и нестандартны ситуациях и нести за них
ответственность;
ОК 4. – Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного
развития;
ОК 6. – Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами,
руководством, потребителями;
ОК 7. – Брать на себя ответственность за работу членов команды, результат выполнения
заданий.
Оборудование: Мультимедийный проектор, таблицы производных, раздаточный и
демонстрационный материал.
Ход урока
I Организационный момент (доброжелательный настрой, организация внимания,
готовность обучающихся к работе)
II Актуализация опорных знаний (блиц-опрос)
а) Что называется производной функции в точке?
Ответ: производной функции у = f(x) в точке х0 называется предел отношения
приращения функции в точке х0 к приращению аргумента, когда последнее стремится к
нулю.
б) В чем заключается геометрический смысл производной?
Ответ: значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно тангенсу угла,
образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции
f(x) в точке M(x, f(x)).
k = tg = f '(x0).
в) В чем заключается механический смысл производной?
Ответ: производная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в
точке x0
x'(t) = (t)
г) На рисунках изображены графики функций и касательные к ним в точке а. Укажите
функцию, производная которой в точке а равна 1.
Ответ: (3)
1)
2)
y
y
y=g(x)
y=f(x)
0
-1 0 1
a
-1 1
1
a
1
x
x
3)
4)
y
y
y=h(x)
0
-1
1
1 a
x
-1 1 1
0 a
-1
x
y=p(x)
III Усвоение нового материала
Сегодня мы рассмотрим применение производных при решении различных физических
задач, поэтому рассмотрим физические и экономические формулы с использованием
производной.
S
v = S ′ (t)
v − скорость
v=
S − перемещение
t
v
a = v ′ (t)
a − ускорение
a=
t
v − скорость
φ
ω = φ′ (t)
ω − угловая скорость
ω=
t
φ − движение по окружности
′
A
F = A (s)
F − сила
F=
A − работа
S
A
N = A′ (t)
N − мощность
N=
A − работа
t
′
m
ρ = m (l)
ρ − линейная плотность
ρ=
l
m − масса тонкого стержня
l − длина
I = q′ (t)
I − сила тока
q − электрический заряд
ρ − объемная плотность
m − масса
V − объем
c − удельная теплоемкость
Q − количество теплоты
m − масса
ρ = m′ (V)
c = Q′ (t)
q
t
m
ρ=
V
I=
c=
Q
mΔT
Рассмотрим на нескольких примерах применение данных формул:
Задача №1. Тело, масса которого 5кг, движения прямолинейного по закону 𝐒 = 𝟏 − 𝐭 +
𝐭 𝟐 , где 𝐒 - измеряется в метрах, а 𝐭 в секундах. Найти кинетическую энергию тела через
10с после начала движения.
Решение.
S = 1 − t + t2
mV 2
E=
2
m = 5кг
V = S ′ (t)
t = 10с
V = 2t − 1
V(10) = 19
E-?
E=
5 ∙ 361
= 902,5 (дж)
2
Ответ: 902,5 дж.
Задача №2. В тонком неоднородном стержне длиной 25см его масса (в г) распределена по
закону m = 2l2 + 3l, где l – длина стержня, отсчитавшая от его начала. Найти линейную
плотность в точке:
1) отстоящей от начала стержня на 3см;
2) в конце стержня.
Решение.
m = 2l2 + 3l
ρ = m′ (l)
l = 25см
ρ = 4t + 3
1) ρ(3)
1) ρ(3) = 15 (г/см)
2) ρ(25)
2) ρ(25) = 103 (г/см)
Ответ: 15г/см; 103г/см.
Задача №3. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента
t = 0, задается формулой q = 3t 2 + t + 2. Найдите силу тока в момент времени t = 3.
Решение.
2
q = 3t + t + 2
t=3
′ (t)
I=q
I = 6t + 1
I(3) = 19(А)
I(3)−?
Ответ: 19А.
Задача №4. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 5t 2 + 3t − 12, где x(t) перемещение в сантиметрах, t - время в секундах. В какой момент времени скорость точки
будет равна 33см/с?
Решение.
2
x(t) = 5t + 3t − 12
v(t) = x ′ (t)
v(t) = 10t + 3
10t + 3 = 33
10t = 30
t = 3(с)
Ответ: 3с.
IV. Первичное закрепление изученного материала (Самостоятельная работа в двух
вариантах).
Вариант 1
1. В чем сущность физического смысла 𝐲′?
А. Скорость.
Б. Ускорение.
В. Угловой коэффицент.
Г. Не знаю.
2. Точка движется по закону 𝐬(𝐭) = 𝟐𝐭 𝟑 − 𝟑𝐭. Чему равна скорость тела в момент
времени t 0 = 1с.
А. 15 Б. 12 В. 9 Г. 3
3. Зависимость пути 𝐒 от времени движения выражается формулой 𝐒 =
𝐠𝐭 𝟐
𝟐
.
Назовите формулу скорости.
А. t Б. 2gt В. gt Г. g
4. Точка движется прямолинейно по закону 𝐒(𝐭) =
𝐭𝟑
𝟑
− 𝟐𝐭 𝟐 + 𝟑𝐭 + 𝟏
В какие моменты времени ее скорость будет равна нулю?
А. 1 и 3 Б. 1 и 4 В. 2 Г. 2 и 0
5. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется по формуле 𝐕(𝐭) =
𝟓𝐭 𝟑 + 𝐭 𝟐
Чему равно ускорение тела в момент 𝐭 𝟎 = 𝟏с?
А. 17
Б. 32
В. 30
Г. 16
Вариант 2
6. В чем сущность физического смысла 𝐲′′?
А. Скорость.
Б. Ускорение.
В. Угловой коэффицент.
Г. Не знаю.
7. Точка движется по закону 𝐬(𝐭) = 𝟐𝐭 𝟑 − 𝟑𝐭. Чему равна скорость тела в момент
времени t 0 = 1с.
А. 15 Б. 12 В. 9 Г. 3
8. Зависимость пути S от времени движения выражается формулой 𝐒 =
𝐠𝐭 𝟐
𝟐
.
Назовите формулу ускорения.
А. t Б. 2gt В. gt Г. G
9. Точка движется прямолинейно по закону 𝐒(𝐭) =
𝐭𝟑
𝟑
− 𝟐𝐭 𝟐 + 𝟑𝐭 + 𝟏
В какие моменты времени ее скорость будет равна нулю?
А. 1 и 3 Б. 1 и 4 В. 2 Г. 2 и 0
10. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется по формуле 𝐕(𝐭) =
𝟏𝟓𝐭 𝟐 + 𝟐𝐭
Чему равно ускорение тела в момент 𝐭 𝟎 = 𝟏с?
А. 17 Б. 32 В. 30 Г. 16
V. Выполнение типового расчета (закрепление изученного материала)
1. Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t) = -2+4t+3t2. Выведите
формулу для вычисления скорости движения в любой момент времени t. Найдите
скорость в момент времени t = 3с (х- координата точки в метрах, t- время в секундах)
2. Координата движущегося тела с течением времени меняется по закону: а) x = 2t+4t 2, б)
x = 1+ 2t2 + t3 .Найдите скорость и ускорение в момент времени t = 2 с. (х- координата
точки в метрах, t - время в секундах)
3. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = - +3t2 -5 (х - координата точки в
метрах, t - время в секундах). Найдите момент времени t, когда ускорение точки равно 0;
скорость движения точки в этот момент.
4. Найдите силу F, действующую на материальную точку массой m, движущуюся
прямолинейно по закону x(t) = 2t3-t2 при t = 2.
5. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2t3+t-3. Найти скорость в момент
времени t. В какой момент времени скорость будет равно 7 м/с2.(х- координата точки в
метрах, t- время в секундах)
6. Тело движется по прямой так, что расстояние S ( в метрах) от него до точки М этой
прямой изменяется по закону S(t) = t2 + t + 2 (t – время движения в секундах). Через
сколько секунд после начала движения мгновенная скорость тела будет равна 6 м/с?
7. Точка движется прямолинейно по закону x(t)=2t3+t-3. Найти ускорение в момент
времени t. В какой момент времени ускорение будет равно 0,6 м/с2. (х- координата точки в
метрах, t- время в секундах)
VI. Подведение итогов учебного занятия
VII. Рефлексия
VIII. Домашнее задание.
1) Материальная точка массой 3кг движется по прямой согласно уравнению
S (t )  2t 3  2t  3 ( S измеряется в метрах, t – в секундах ). Найти действующую на
неё силу в момент времени t=2;
2) Материальная точка массой 4кг движется по прямой согласно уравнению
S (t )  3t  2t 3 (S измеряется в метрах, t – в секундах ). Найти действующую на
неё силу в момент времени t=3.