Механический смысл производной Рассмотрим прямолинейное движение тела. Каждому моменту времени t ставится в соответствие путь s(t), пройденный телом за время t. Тогда путь, пройденный телом за отрезок времени от t0 до t0+Δt, равен s(t0+Δt)-s(t0)=Δs. А время, за которое пройден этот путь, равно Δt. Средняя скорость тела на отрезке времени [t0; t0+Δt] определяется как отношение пройденного пути ко времени Δt, за которое этот путь пройден: 𝑣ср = ∆𝑠 ∆𝑡 . Когда промежуток времени Δt стремится к нулю, то значение средней скорости vср стремится к некоторому числу. Это число считается значением скорости в момент времени t0 (в механике ее называют мгновенной скоростью) ∆𝑠 и обозначается v(t0): → 𝑠 ′ (𝑡0 ) при Δt0. ∆𝑡 Таким образом, при Δt, стремящемся к нулю, левая часть равенства 𝑣ср = ∆𝑠 ∆𝑡 стремится к v(t0), а правая – к 𝑠 ′ (𝑡0 ). Значит, 𝑣(𝑡0 ) = 𝑠 ′ (𝑡0 ). В этом равенстве и заключается механический (физический) смысл производной: скорость тела есть производная от пройденного пути по времени. 𝑎𝑡 2 Уравнение движения тела записывается формулой: 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + , 2 где 𝑥0 - начальное положение тела, 𝑣0 - начальная скорость, 𝑎 - ускорение, с которым движется тело. 𝑥 ′ (𝑡) = 𝑣0 + 𝑎𝑡 = 𝑣 - уравнение скорости тела в любой момент времени. Найдем производную функции v: 𝑣 ′ (𝑡) = (𝑣0 + 𝑎𝑡)′ = 𝑎. Т.е. ускорение тела есть производная скорости. Примеры решения задач Пример 1. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v0. Чему равна его скорость в момент времени t0? Решение. Закон движения тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v0, задается формулой ℎ(𝑡) = 𝑣0 𝑡 − 𝑔𝑡 2 2 . Используя механический смысл производной и формулу производной квадратичной функции, получаем: v(t0)=h'(t0)=v0 – gt0. Ответ: v(t0)=v0 – gt0. Пример 2. Закон движения тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v0=70 м/с, задается формулой ℎ(𝑡) = 𝑣0 𝑡 − скорость будет иметь тело на высоте 240 м от поверхности Земли? 𝑔𝑡 2 2 . Какую Решение. Используя механический смысл производной и формулу производной квадратичной функции, находим: v(t0)=h'(t0)=v0 – gt0=70-10t0. Поскольку h(t0)=240, то имеем уравнение 240=70𝑡0 − 14𝑡0 + 48 = 0. 10𝑡0 2 2 , т.е. 𝑡02 − Решая его, находим t0=6 или t0=8. При t0= получим v(6)=10, а при t0=8 получим v(8)= -10. Таким образом, на высоте 240 м от поверхности Земли тело будет иметь скорость 10 м/с. Знак «минус» показывает, что на 8-й секунде тело будет уже падать вниз, а на 6-й – лететь вверх. Ответ: 10 м/с Упражнения 1. Решите задачу: 1) Точка движется прямолинейно по закону s(t)=2t2-8t-9. Вычислите скорость движения точки в момент времени t=5 с. 2) Движение точки происходит по закону s(t)=t2+4t+2. В какой момент времени скорость движения точки равна 12? 3) Тело движется прямолинейно по закону s(t)=3t2+2t-6. Найдите скорость в момент времени t=2 с 1 4) Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥(𝑡) = 𝑡 3 + 2𝑡 2 + 3 5𝑡. Через сколько секунд после начала движения точка остановится? 5) Тело движется прямолинейно по закону 𝑥(𝑡) = 2𝑡 3 + 𝑡 − 1. В какой момент времени ускорении будет равно 2 м/с2? 6) Тело движется прямолинейно по закону s(t)=t2+2t+1. Найдите скорость в момент времени t=3 с. 7) Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥(𝑡) = 𝑡 3 − 4𝑡 2 . Найдите скорость и ускорение в момент времени t=5 c. 8) Тело движется прямолинейно по закону s(t)=2t2-3t+4. Найдите скорость в момент времени t=2 с 9) Тело движется прямолинейно по закону 𝑥(𝑡) = − момент времени, когда ускорение точки равно нулю. 𝑡3 6 + 3𝑡 2 − 5. Найдите 1 10) Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥(𝑡) = 𝑡 3 + 2𝑡 2 + 3 5𝑡. Найдите скорость тела в момент времени t=2 c. 2. Решите задачу: 1) Маховик вращается вокруг оси по закону (t)=t2-1 ((t) – угол вращения в радианах, t – время в секундах). Найдите угловую скорость вращения маховика ω в момент времени 2 с. 2) Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 8 с. Найдите угловую скорость колеса через 48 с после начала вращения. 3) Вращение тела вокруг оси совершается по закону (t)=3t2—4t+2. Найдите угловую скорость ω(t) в момент времени t=4 с. 4) Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачивается на угол (t)=4t-0,3t2. Найдите угловую скорость ω(t) вращения маховика в момент времени t=2 с. Найдите момент времени, когда маховик остановится. 5) 6) 7) 8) 9) 10) 3. Решите задачу: 1) Две материальные точки движутся прямолинейно по законам s1=2,5t2-6t+1 и s2=3,5t2+t-12. В какой момент времени их скорости равны? 2) Две материальные точки движутся прямолинейно по законам 𝑠1 = 13 и 𝑠2 = 1 − 7𝑡 − 4𝑡 2 . В какой момент времени их скорости равны? 3𝑡 2 2 + 5𝑡 − 3) Две материальные точки движутся прямолинейно по законам 𝑠1 = 𝑡 2 − 8𝑡 + 4 и 𝑠2 = 5𝑡 2 − 4𝑡 − 9. В какой момент времени скорость первой точки в три раза больше скорости второй? 4) Две материальные точки движутся прямолинейно по законам 𝑠1 = 9𝑡 − 7 и 𝑠2 = 0,5𝑡 2 + 8𝑡 + 1. В какой момент времени скорость первой точки в два раза меньше скорости второй? 5) По прямой движутся две материальные точки по законам 𝑠1 = 4𝑡 2 − 3 и 𝑠2 = 𝑡 3 . В какой промежуток времени скорость первой точки больше скорости второй точки? 6) 7) 8) 9) 10) 4. Температура тела в зависимости от времени задается формулой 𝑇 = 0,3𝑡 2 (Т – температура в градусах, t – время в секундах). С какой скоростью изменяется температура тела в момент времени: 1) 5 2) 17 3) 12 4) 8 5) 1,5 6) 4 7) 3 8) 0 9) 11 10) 2 5. Решите задачу: 1) Тело брошено вертикально вверх и движется по закону ℎ(𝑡) = 4 + 8𝑡 − 5𝑡 2 . Найдите скорость тела в момент соприкосновения с поверхностью Земли. 2) Тело брошено вертикально вверх и движется по закону ℎ(𝑡) = 6 + 7𝑡 − 5𝑡 2 . Найдите скорость тела в момент соприкосновения с поверхностью Земли. 3) Тело брошено вертикально вверх с высоты 20 м от поверхности Земли с начальной скоростью 50 м/с2. В какой момент времени скорость брошенного тела будет равна нулю? 4) Тело брошено вертикально вверх с высоты 20 м от поверхности Земли с начальной скоростью 50 м/с2. Найдите высоту тела над поверхностью Земли в момент времени, равный нулю. 5) Тело с высоты 10 м брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. На какой высоте от поверхности Земли оно будет через 5 с? 6) Тело брошено вертикально вверх с высоты 10 м с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд тело достигнет наивысшей точки и на каком расстоянии от Земли? 7) Высота тела, брошенного вертикально вверх, изменяется по закону H (t ) 200t 4,9t 2 . Определите наибольшую высоту, которой оно достигнет, округлив результат до целого значения. брошенное вертикально вверх, движется по закону S (t ) 4,905t 981t 950 (S – в метрах, t – в секундах). Найдите момент времени, при котором скорость тела станет равной нулю. 8) Тело, 2 9) 10) 6. Решите задачу: 1) Изменение силы тока I в зависимости от времени t задано уравнением 𝐼 = 4𝑡 2 − 9𝑡 (I – в амперах, t – в секундах). Найдите скорость изменения силы тока в момент времени t=10 с. 2) Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента t=0, задается формулой 𝑞 = 3𝑡 2 + 𝑡 + 2. Найдите силу тока в момент времени t=3. 3) В какие моменты времени ток в цепи равен нулю, если количество 𝑘 электричества, протекающего через проводник, задается формулой 𝑞 = 𝑡 + ? 𝑡 4) Изменение величины заряда на обкладках конденсатора показали, что заряд q 0,8 меняется со временем по закону 𝑞 = 3,05 + 6,11𝑡 − (t10). Найдите закон 𝑡+1 изменения силы тока. 5) В какие моменты времени ток в цепи равен нулю, если количество электричества, протекающего через проводник задается формулой 𝑞 = 𝑡 − √𝑡 + 1? 6) 7) 8) 9) 10) 7. Решите задачу: 1) Известно, что тело массой m=6 кг движется прямолинейно по закону 𝑠(𝑡) = 3𝑡 2 − 14. Найдите кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения. 2) Тело массой m=4 кг движется прямолинейно по закону 𝑠(𝑡) = 4𝑡 2 − 5𝑡 − 1. Найдите скорость тела и его кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения. Какая сила действует на тело в этот момент времени? 3) Тело массой m=1 кг движется прямолинейно по закону 𝑠(𝑡) = 2 + 6𝑡 − 2𝑡 2 . Найдите скорость тела и его кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения. Какая сила действует на тело в этот момент времени? 4) Тело массой m=2 кг движется прямолинейно по закону 𝑠(𝑡) = 𝑡 2 + 𝑡 + 1. Найдите кинетическую энергии тела через 2 с после начала движения. 5) Тело массой 5 кг движется прямолинейно по закону 𝑠(𝑡) = 𝑡 2 − 3𝑡 + 2. Найдите кинетическую энергию тела через 10 с после начала движения. 6) В какой момент времени будет иметь максимальную кинетическую энергию 1 тело, движущееся прямолинейно по закону 𝑠(𝑡) = 𝑘(𝑡 + )? 𝑡 7) 8) 9) 10) 8. Решите задачу: 1) Точка движется по параболе у=16х-х2 так, что ее абсцисса изменяется по закону 𝑥 = 2√𝑡 (х – путь в метрах, t – время в секундах). Укажите скорость изменения ординаты точки через 8 с после начала движения. 2) Точка движется по параболе 𝑦 = 4𝑥 2 + 2 так, что ее абсцисса изменяется по закону 𝑥 = 0,5√𝑡 (х – путь в метрах, t – время в секундах). Укажите скорость изменения ординаты точки через 2 с после начала движения. 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)