 ( , ) t  

19. Плотность потока вероятности.
Уравнение непрерывности.
Получим уравнение, которому удовлетворяет
плотность вероятности
 (r , t )   (r , t )
2
 (r , t )  ( )

 



t
t
t
t
2
 1 ˆ
1
 H   (
  U )
t i
i
2m

2

1 ˆ 
1

  H    (
  U )
t
i
i
2m


Подставляя, получаем
 (r , t )
1
 1


(
  U )   (
  U ) 
t
i
2m
i
2m
i
i





     
    

2m
2m
i


Введем
j=
     - плотность потока

2m
вероятности
2
2

Уравнение непрерывности
 (r , t )
 di j
t
Оно является аналогом уравнений непрерывности
тока и жидкости.

Возьмем интеграл по некоторому объему
 (r , t )
dV


di

j
dV
V t
V
S
V
j
Применим теорему Остроградского-Гаусса


(
r
,
t
)
dV


di

j
dV


jdS



t V
V
S
Последняя формула показывает, что
изменение
вероятности
обнаружения
частицы в объеме V за 1 сек равно потоку
плотности вероятности через поверхность S,
ограничивающую объем V.
20. Туннелирование частиц через
потенциальный барьер
Потенциальным барьером называется область
пространства, в которой классическая частица с
малой энергией не может находиться.
Рассмотрим одномерный случай с потенциалом
в виде прямоугольного барьера с шириной L и
высотой U0. Потенциальная энергия частицы U(x) вне
и внутри потенциального барьера имеет значения:
U=U0 (0<x< L, область 2)
U=0 (x<0, область 1;
x>L, область 3)
U(x)
1
2
3
U0
E
x
0
L
Найдем вероятность прохождения частиц Р(Е),
налетающих из области 1, через барьер 2 в область 3.
Будем считать, что энергия электронов Е < U0 .
Вероятность равна отношению плотностей потоков
вероятности прошедших и налетающих частиц
P( E ) 
jпрош
jпад
Плотность потока вероятности в одномерном
случае равна
i   
  
j=



2m  x
x 
Волновые функции, отвечающие налетающим и
прошедшим
частицам,
определим
из
решения
стационарного уравнения Шредингера в 3-х областях
 1
2
ikx
 ikx
 k 1  0 ; 1 ( x)  A1e  B1e
2
х
2
 2
ik2 x
 ik2 x
2
 k2  2  0 ;  2 ( x)  A2e  B2e
2
х
2
 3
2
ikx
 ikx
 k  3  0 ;  3 ( x)  A3e  B3e
2
х
2
k
2mE
; k2 
2m( E  U 0 )
Так как Е < U0 , то волновое число к2 мнимое.
Запишем его в виде
k2  i
; 
Тогда волновая
принимает вид
2m(U 0  E )
функция
 2 ( x)  A2e
в
 x
области
барьера
x
 B2e
Падающим и прошедшим частицам отвечают
первые слагаемые в волновых функциях в области 1 и
в области 3 соответственно
 пад ( x)  A1e
ikx
 прош ( x)  A3e
ikx
Тогда плотности потоков вероятности будут равны
i k 2
jпад 
A1
2m
i k
2
jпрош 
A3
2m
В
результате
вероятность
(коэффициент прохождения) равна
P( E ) 
jпрош
jпад

A3
A1
прохождения
2
2
Отношение
коэффициентов
определим
из
граничных условий.
Во-первых, поскольку справа частицы на барьер не
налетают, то В3 =0.
Потребуем непрерывность волновых функций и их
производных на двух границах барьера.
1 ( x  0)   2 ( x  0) 
1
x
x 0
 2

x
 ik ( A1  B1 )   ( A2  B2 )
x 0
 2 ( x  L)   3 ( x  L) 
 2
x
x L
 3

x
A1  B1  A2  B2
A2e
   A2e
x L
 L
 L
L
 B2e
L
  B2e
 A3e
ikL
 ikA3e
ikL
Их совместное решение дает
A3
ik (ik  ) L
A2  (1  )e
2

A3
ik (ik  ) L
B2  (1  )e
2

Так как α > 0, то для достаточно толстых барьеров
B2
A2
Это позволяет пренебречь в условиях сшивания
слагаемыми с коэффициентом В2.
Исключая коэффициенты В1 и А2, получаем
4 ikA1 (ik  ) L
A3 
e
2
(k  i )
В результате коэффициент прохождения равен

16 k
P( E )  2
e
2 2
(k   )
2
2
2 2 m (U 0  E )
L
 P0e

2 2 m (U 0  E )
Р0 ≈ 1
L
Из формулы следует, что коэффициент
прохождения Р(Е) зависит от толщины и высоты
барьера, массы и энергии частицы.
Туннелирование частиц через барьер – чисто
квантовое явление, связанное с волновыми
свойствами частиц. Для классических частиц он
невозможен.
В макроскопических явлениях туннельный
эффект не играет существенной роли.
Пример :
Пусть частицей является электрон с U0-E ≈ 10 эВ.
Если L=1 см, то Р(Е) ≈ exp(-108) ≈0.
Если L=1 Å, то Р(Е) ≈exp(-1).
21. Принцип
Паули
Из периодической системы элементов Менделеева
следуют повторения химических и физических свойств
элементов (группы из 2, 8, 18 и 32 элементов).
Зависимость ионизационного потенциала элементов от атомного номера Z
Объяснение этих закономерностей было получено после
того, как было установлено новое свойство электронов.
Спин электрона
В 1925 г. Уленбек и Гаудсмит предположили, что у
электрона имеется собственный момент импульса (спин),
равный
Sz = msħ
где ms= ±1/2 – магнитное спиновое число.
Это похоже на то, как если бы электрон представлял
собой сферу, вращающуюся вокруг своей оси с
постоянным моментом импульса ħ/2.
Спин невозможно ни уменьшить, ни увеличить. Он
одинаков у всех элементарных частиц данного типа.
В 1925 г. Паули предложил правило, которое
автоматически объясняло наличие групп из 2, 8, 18 и
32 элементов.
Паули постулировал:
в атоме не может быть двух электронов, имеющих
одинаковые значения четырёх квантовых чисел:
главного n, орбитального l , магнитного m и
спинового ms.
Согласно принципу Паули количество электронов
в состоянии с главным квантовым числом n равно
N = 2n2
а число электронов в состоянии l равно M = 2(2l +1).
Следовательно, в состоянии с n = 1 могут
находиться два электрона, в состоянии с n = 2,
8
электронов, в состоянии с n = 3, 18 электронов и т.д.
Таким образом, числа 2, 8 и 18 являются прямым
следствием принципа запрета Паули.
22. Периодическая система элементов
Из решения уравнений Шредингера и Дирака
можно объяснить физические и химические свойства
атомов, молекул и твердых тел.
К настоящему времени рассчитаны электронные
спектры, волновые функции и плотности вероятности
всех атомов системы Менделеева.
Можно также определить скорости химических
реакций и изучать природу молекулярной связи.
Рассмотрим строение электронных оболочек
атомов.
Z = 1 (ВОДОРОД)
Единственный электрон находится в состоянии 1s
с n = 1, l = 0, m = 0, ms= ± ½.
Энергия электрона в этом состоянии равна –13,6 эВ.
Эта минимальная энергия, необходимая для ионизации
атома, называется ионизационным потенциалом.
Z = 2 (ГЕЛИЙ)
В атоме гелия имеются два электрона.
Второй электрон находится в состоянии 1s с n = 1, l = 0,
m=0, спин его ориентирован противоположно спину
первого электрона.
Два электрона Не образуют заполненную K оболочку с n
= 1, завершающую 1-ый период периодической системы
Менделеева.
У гелия значение ионизационного потенциала равно
24,6 В. Это самый большой из ионизационных
потенциалов всех элементов.
Поскольку, кроме того, у гелия на оболочке n = 1 нет
места для третьего электрона, то гелий химически
крайне инертен.
Гелий не образует молекул ни с одним из элементов.
Его и другие атомы с заполненными оболочками
называют благородными (или инертными) газами.
Z = 3 (ЛИТИЙ)
Литием начинается 2-ой период периодической
системы Менделеева. Литий содержит 3 электрона.
Согласно принципу Паули 3-ий электрон не может
находиться в заполненной K оболочке с n = 1, поэтому он
занимает низшее энергетическое состояние в оболочке с
n = 2, l =0, m=0.
Ионизационный потенциал лития равен 5,4 эВ.
В соединениях литий всегда обнаруживает
валентность +1 (т.е. теряет один электрон) и никогда не
обнаруживает валентность +2 (т.е. не теряет два
электрона).
Z = 4 (БЕРИЛЛИЙ)
Согласно принципу Паули в состоянии с n = 2, l = 0,
m = 0 могут находиться два электрона ms= ± ½.
Ионизационный потенциал бериллия равен 9,32 эВ.
Z = 5 (БОР), Z = 6 (УГЛЕРОД), Z = 7 (АЗОТ),
Z = 8 (КИСЛОРОД), Z = 9 (ФТОР) И Z = 10 (НЕОН)
Эти атомы образуются при заполнении состояний с
орбитальным числом l = 1 в L оболочке с n = 2.
Поскольку значению l = 1 отвечают три различных
значения m, то на подоболочке (n = 2, l = 1) могут
разместиться 6 электронов.
В состоянии с n = 2 в атомах бора, углерода и азота
находятся соответственно три, четыре и пять
электронов, что отвечает валентностям +3, +4 и +5.
НЕОН
У неона все состояния с n = 2 заняты, L оболочка
полностью заполнена.
Неон, как и гелий, является химически инертным.
Если продолжить описание следующих элементов,
то мы обнаружим, что их свойства очень сходны со
свойствами уже перечисленных ранее элементов.
ОТ Z = 11 (НАТРИЙ) ДО Z = 18 (АРГОН)
Одиннадцатый электрон натрия занимает состояние 3s.
Размер атома увеличивается, когда внешний электрон
попадает на оболочку с большим квантовым числом n.
Резкое увеличение размеров наблюдается для Z = 3,
11, 19.....,
Энергетические уровни
электронов
Состояния с
одинаковыми главными
квантовыми числами
соединены штриховыми
линиями.
Состояния образуют
группы периодичности с
числом электронов 2, 8,
8, 18, 18, 32, 32
В элементах от натрия до аргона заполняются
состояния с n = 3, l = 0 и n = 3, l = 1. Заполнение
происходит аналогично предшествующим восьми
элементам.
Поэтому химические свойства этих элементов
оказываются похожими на свойства соответствующих
элементов предыдущей восьмерки.
В этом и заключается объяснение «периодической
системы» химических элементов.
ОТ Z = 19 (КАЛИЙ) И ДАЛЕЕ
Можно было бы предположить, что внешний
электрон следующего элемента окажется в состоянии с
n = 3 и l = 2.
Однако, для состояний с n = 4, l = 0 величина
эффективного заряда ядра Zэфф, заметно больше, чем в
случае состояний с n = 3, l = 2, поскольку волновая
функция с l = 0 локализована в области r = 0, где
эффективный заряд максимален.
Для электронного состояния с n = 4, l = 0 имеем Zэфф
= 2,26 и энергию связи 13,6 Z2эфф/42 = 4,34 эВ, в то время
как для волны с n = 3, l = 2 величина Zэфф несколько
меньше 1,7, чему соответствует энергия связи меньше
4,34 эВ.
Если бы девятнадцатый электрон оказался в
состоянии с n = 3, l = 2, то очень скоро он перешел бы в
состояние с n = 4, l = 0, которому отвечает меньшая
энергия.
При переходе к Z = 21 (скандий) состояние с n = 4, l =
0 оказывается заполненным, так что при размещении
двадцать первого электрона возникнет конкуренция
между состояниями n = 3, l = 2 и n = 4, l = 1.
Более низким оказывается состояние с n = 3, поэтому
в скандии начинают заполняться десять состояний с l =
2 оболочки n = 3. Затем заполняются следующие шесть
состояний с n = 4, l = 1. Таким образом, всего имеется
2 + 10 + 6 = 18 состояний с близкими энергиями.
При любом заданном значении n энергия уровней
скачкообразно увеличивается с ростом l.
После чисел электронов 2, 10, 18, 36, 54 и 86 имеются
особенно большие скачки энергии. У элементов с
атомными номерами Z = 2, 10, 18, 36, 54 и 86 оболочки
заполнены, так что внешние электроны связаны
особенно прочно. Этими элементами являются
благородные газы Не, Ne, Ar, Kr, Xe и Rn.
Можно указать значения квантовых чисел и энергий
уровней для каждого электрона любого из элементов.
В таблице приведены электронные конфигурации
атомов.
Электронные
конфигурации атомов
Элемент указанный в
квадратных
скобках,
означает, что внутренние
оболочки заполняются,
как и в данном элементе.
Выражение
2s22p4
означает, что имеются
два
электрона
в
состоянии 2s и четыре
электрона в состоянии
2р.
Периодическая система элементов