Энергетические зоны в кристалах

Энергетические зоны в кристаллах
Чтобы понять возникновение энергетических зон в
кристаллах, рассмотрим N кол-во атомов, имеющих
одни и те же энергетические уровниПока атомы
находятся
далеко
друг
от
друга,
они
не
взаимодействуют и имеют один набор уровней.
При сближении атомов все больше проявляется
взаимодействие между ними, которое приводит к
возникновению N близко расположенных уровней, не
сливающихся друг с другом. Каждый из изображенных
энергетических уровней расщепляется. Так как
взаимодействие больше сказывается на валентные
электроны, то расщепление больше для вышележащих.
E
n=5
n=4
n=3
n=2
n=1
r2
r1
r
Как видно из рисунка, возможны два случая:
соответствующий
расстоянию
r 1,
когда
энергетические
зоны
оказываются
разделены
некоторым интервалом (называется запрещенная зона).
Такая ситуация характерна для диэлектриков и
полупроводников.
- в случае расстояния r2, зоны перекрываются,
образуя зону с близлежащими энергетическими
уровнями, расстояние между которыми порядка 10-23эВ.
Второй случай соответствует зонной структуре
металлов. Зоны, в которых электроны могут свободно
перемещаться с одного уровня на другой – зоны
проводимости.
Зоны, заполненные электронами, называются
валентными. Из этих зон выбирают одной. Зоной
проводимости называют наинизшую свободную от
электронов зону, валентной – наивысшую заполненную
электронами зону.
Эти зоны могут быть разделены промежутками,
которые называют запрещенной зоной.
Как видно из рисунка, возможны два случая:
соответствующий
расстоянию
r 1,
когда
энергетические
зоны
оказываются
разделены
некоторым интервалом (называется запрещенная зона).
Такая ситуация характерна для диэлектриков и
полупроводников.
- в случае расстояния r2, зоны перекрываются,
образуя зону с близлежащими энергетическими
уровнями, расстояние между которыми порядка 10-23эВ.
Второй случай соответствует зонной структуре
металлов. Зоны, в которых электроны могут свободно
перемещаться с одного уровня на другой – зоны
проводимости.
Зоны, заполненные электронами, называются
валентными. Из этих зон выбирают одной. Зоной
проводимости называют наинизшую свободную от
электронов зону, валентной – наивысшую заполненную
электронами зону.
Эти зоны могут быть разделены промежутками,
которые называют запрещенной зоной.
Полупроводники и диэлектрики
Ec
E
E
Ec – дно зоны проводимости
ΔE – ширина запрещенной зоны
Eυ – потолок валентной зоны
Металлы и проводники
-- E F
EF (0K) - наивысший заполненный уровень
Объяснить возникновение энергетических зон в кристаллах
можно рассмотрев движение электрона в периодическом поле
кристаллической решетки.
Уравнение Шредингера имеет вид:
2
2m
 2  ( E  U ( x, y, z ))  0
U ( x  a, y, z )  U ( x, y, z ).
U ( x, y  b, z )  U ( x, y, z )
U ( x, y , z  c )  U ( x, y , z )
Энергетические зоны в кристаллах
• Решением данного уравнения является функция Блоха.

 ikr
 k ( r )  U k ( r )e
• Состояние с энергией
может быть
 описано не только

функцией  k (r ) , но и  k  (r ) .
В одномерном случае
2
k' k 
a
Для трехмерного случая периодичность накладывается
на компоненты волнового вектора
2
kx ' kx 
a
2
k y ' k y 
b
kz ' kz 
2
c
Изобразим зависимость энергий электрона от
волнового числа для одномерного случая.
E

2
a



a
a
2
a
k
Периодическая зонная структура в к-пространстве. Рис.1.
Одному и тому же значению E соответствуют разные значения
2
волнового числа, отличающиеся на величину
.
a
E

2
a


a

a
2
a
k
• На рисунке 2 представлена развернутая зонная
структура, с помощью которой можно увидеть
образование запрещенных зон при сравнении с
энергетической зоной свободной частицы. В
точках с волновыми числами
n

a
в зависимости E(k) образуются разрывы, т.е.
возникают запрещенные для значений энергии
электрона интервалы.
Развернутая зонная структура, показывающая образование
запрещенных зон по сравнению с энергетической зоной
свободной частицы. Рис.2
E

2
a


a

a
2
a
k
Свернутая зонная структура, содержащая все возможные
неэквивалентные значения волнового числа k и
центрированная в k=0. Рис. 3.
E
Интервал, содержащий все
неэквивалентные значения
волнового числа, называется зоной
Бриллюэна.


a

a
k
Эффективная масса электрона
Из функций Блоха можно составить волновой пакет,
который
будет
представлять
электрон,
свободно
распространяющейся
в
периодическом
поле
кристаллической решетки.
Групповой пакет распространяется с групповой скоростью
d
 гр 
dk
E  
1 dE
г р  
 dk
E


• Включим внешнее электрическое поле. На электроны
будет действовать сила, вызывающая упорядоченное
движение. Работа совершается этой силой:
A  Fdr  F гр  dt
• Работа идет на приращение энергии электрона:
dE  F  г р  dt
dE  F
1 dE
dt
 dk
dk F

dt 
Оценим ускорение, с которым будет двигаться электрон
dгр
1 d 2 E dk
W
dk 2 dt
1 d 2E
W 2F 2

dk
2
W  F
2
2
d E / dk
d 1 dE
W
 (
)
dt
dt  dk
Полученное выражение совпадет со вторым законом
Ньютона, если ввести массу, которая получила название
эффективной массы электрона
2

m*  2
d E
dk 2
Эффективная масса электрона
• Эффективная масса электрона позволяет
описывать его движение во внешнем поле, не
учитывая поля кристаллической решетки.
m*W  F
Эффективная масса электрона принимает
различные значения, в зависимости от того, где
находится электрон.
E
d 2E
*

0
;
m
 0;
2
dk
1.Минимум
Ec
3
2
1

a
E
d 2E
*

0
;
m
 ;
2.Точка перегиба
2
dk
d 2E
*

0
;
m
 0;
3.Максимум
2
dk
k