Лекция 4. Операции над отношениями 2008 г. Дискретная математика.

Дискретная математика.
Математическая логика
Лекция 4. Операции
над отношениями
2008 г.
Проф., д.т.н. Гусева А.И. ,
доцент Порешин П.П.,
аспирант Цыплаков А.C.
.
Объединение
Объединением двух отношений R1 и
R2 называется новое бинарное
отношение R, элементы которого
удовлетворяют следующему
условию:
R  R1  R2  {( x, y)/( x, y)  R1 _ или _( x, y)  R2 }
=
Пример 1
a
b
c
a
a
U
b
c
=
b
c
.
Пересечение
Пересечением двух отношений R1 и R2
называется новое бинарное
отношение R, элементы которого
удовлетворяют следующему
условию:
R  R1  R2  {( x, y )/( x, y )  R1 _ и _( x, y)  R2 }
Пример 2
a
a
b
b
c
c
a
=
b
c
.
Композиция
Композицией двух отношений R1 и R2
называется новое бинарное
отношение R, элементы которого
удовлетворяют следующему
условию:
R  R1[ R2 ]  {( x, y)/ z( x, z )  R1 _ и _( z, y)  R2 }
Пример 3
a
b
c
a
[
b
c
a
]
=
b
c
.
Декартово произведение
Декартовым произведением двух
отношений R1 и R2 называется новое
бинарное отношение R, элементы
которого удовлетворяют
следующему условию:
R  R1  R2  {(( x, a ),( y, b)) /( x, y )  R1 _ и _(a, b)  R2 }
Пример 4
a
b
c
a
Х
b
c
=
(a,a)
(b,a)
(b,a)
(a,b)
(b,b)
(c,b)
(a,c)
(b,c)
(c,c)
Обращение
.
1
Обращением R бинарного отношения
R называется новое бинарное
отношение R 1 ( M ) , элементы
которого удовлетворяют
следующему условию:
1
R  {( x, y ) /( y, x )  R}
Пример 5
a
a
1
R (
b
) =
b
c
c
.
Дополнение
Дополнением бинарного отношения
R до универсума называется новое
бинарное отношение R ( M ) ,
элементы которого удовлетворяют
следующему условию:
R  {( x , y ) /( x , y )  R}
Пример 6
_
R
a
a
b
c
=
b
c
.
Замыкание отношения
относительно свойства
Даны отношения R1 и R2 на
множестве М, R2 обладает
свойством S, S(R2). Отношение R1
называется замыканием R2
относительно свойства S тогда и
только тогда:
 R1 обладает свойством S , S(R1)
 R1 является надмножеством R2
 R1 - наименьшее
Виды замыканий
Рефлексивным замыканием
отношения R2 называется
R1
R2
где U- отношение тождества
Симметричным замыканием R1
отношения R
называется
2
R2
Транзитивным замыканием
отношения R2 называется
U
1
2
R
R1
R2 R2[ R2 ] R2[ R2[ R2 ]]...
Ядро отношения
Ядром отношения R на множестве M
называется новое отношение
1
R[ R
]
Отношение тождества U является
ядром самого себя
Теорема (1)
Дано R бинарное отношение на М,
R  M  M . Тогда:
· R рефлексивно тогда и только тогда,
когда ,
UR
·
R
·
симметрично тогда и только тогда,
когда
1
RR
транзитивно тогда и только тогда,
когда
R[ R]  R
Теорема (2)
R антисимметрично тогда и только
тогда, когда
1
R R U
· R антирефлексивно тогда и только
тогда, когда
R U  
R
линейно тогда и только тогда,
когда
1
R U  R  I