2.4. Вигнеровская кристаллизация Теоретические и экспериментальные исследования дробного эффекта Холла. Фазовые переходы кристалл Вигнера – жидкость Лафлина Кристалл Вигнера . Современные исследования дробного квантового эффекта Холла направлены еще на одно интересное явление реализацию регулярной решетки из носителей заряда (в двумерии плоской треугольной, гексагональной решетки). В начале 90-х годов все более доказательно стали звучать слова о реализации вблизи FQHE этого нового состояния двумерного электронного газа так называемого кристалла Вигнера 8 y /a 4 QUANTUM 0 -4 2 -8 -8 -4 0 4 x /a 8 Кристалл Вигнера . К настоящему моменту надежно экспериментально установлено, что около факторов заполнения μ=1/3 и 1/5 имеет место активационный закон магнетосопротивления ρXX При усилении магнитного поля магнитная длина lH – масштаб пространственной локализации волновой функции электрона в присутствии магнитного поля – уменьшается Для треугольной плоской решетки (a / lH ) 2 4 / 3 Такая структура – диэлектрик, с характерной энергией активации Eg ~ 1-5К, как и наблюдается на эксперименте Если учесть, что в GaAs ε~13, то масштаб энергии активации <~ 10-3 эВ (в магнитном поле ~ 1-5 Тл) 3 Численное моделирование . Рассмотрим двумерный взаимодействием Ферми-газ с кулоновским В сильном магнитном поле имеется хорошее квантовое число угловой момент m в первой зоне Ландау. Удобно полный ортонормированный базис выбрать по соответствующим одночастичным состояниям электрона в этой зоне Кулоновское взаимодействие между частицами в этом базисе H Для 4 m1 ,m2 ,m3 ,m4 Vm 1 ,m2 ,m3 ,m4 am am am am 1 2 3 4 гамильтониана выполняется закон сохранения углового момента m1 + m2 = m3 + m4 Упростим задачу и расположим исходно частицы в классическую треугольную решетку с узлами, помещенными на низшую нулевую орбиталь (m=0) Меняя период, можно в данной схеме менять фактор заполнения в соответствии с приложенным магнитным полем Численное моделирование . Для полного перебора всех возможных состояний системы мы 5 должны расположить N электронов на m орбиталях всеми возможными способами с учетом тождественности Далее рассчитываются все матричные элементы перехода из одного состояния в другие и строится гамильтонова матрица. Задача сводится к диагонализации этой матрицы Получающиеся при этом собственные числа и вектора есть искомый энергетический спектр и волновые функции, разложенные по исходному базису |m> Размер гамильтоновой матрицы сильно растет с увеличением m и N Уже первой координационной сферы достаточно, чтобы фиксировать переход от корреляций в кристалле, локализованных на масштабе периода решетки, к более длинноволновым корреляциям в жидкости Лафлина Численное моделирование . Для 7 электронов выбиралась 31 орбиталь (m=0-30), их число подбиралось из условия, что числа заполнения <nm>, определяющие вероятность нахождения электрона в состоянии с орбитальным моментом m, не изменяются (с относительной точностью 0.001) при увеличении числа орбит, и следующие состояния (с m >30) не заполнены с этой же точностью Размер гамильтоновой матрицы в этом случае 2629575 x 2629575 Итоговый гамильтониан: (MF) H Vm , m , m , m am am am am Vm am am m1, m2 , m3, m4 1 2 3 4 1 2 В 3 4 m общем случае стабилизирующее среднее поле внешних электронов несимметрично и вызывает переходы с изменением момента у внутренних электронов на m 6n 6 Численное моделирование . Наиболее адекватной величиной, позволяющей выявить различие между “твердым” и “жидким” состояниями в рассматриваемой системе, является парная корреляционная функция, т.е. вероятность нахождения электрона в точке z1 при условии нахождения второго электрона в точке z2 : ga(θ) = <a|Ψ+(z1) Ψ +(z2) Ψ(z2) Ψ(z1)|a>, |z1|= |z2| = a arg(z1 ) arg(z 2 ) В твердом состоянии, обладающим дальним порядком, следует 7 ожидать три хорошо определенные осцилляции g(θ) , в то время как в жидкой фазе, имеющей только ближний порядок, эти колебания должны быть сильно подавлены В любом случае резкое (скачкообразное) изменение корреляционной функции основного состояния gG(θ) в зависимости от фактора заполнения m может служить критерием для перехода «жидкость – твердое тело» Численное моделирование . 8 Численное моделирование . Относительная амплитуда осцилляций последнего (третьего) пика как функция фактора заполнения для основного состояния В диапазоне 0.294<μ<0.34 осцилляции подавлены, что свидетельствует о жидкости Лафлина, а вне этого диапазона реализуется кристалл Вигнера 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.24 9 0.28 0.32 0.36 Резюме . Результаты расчетов поддерживают экспериментальные данные и свидетельствуют о возможности вигнеровской кристаллизации вблизи факторов заполнения μ=1/3, 1/5. Вигнеровский кристалл является основным состоянием при μ < 0.3, кроме диапазона 0.294 < μ < 0.34 (включая μ = 1/3), где лафлиновская жидкость существенно присутствует в структуре основного состояния. В принципе, на практике может наблюдаться целая цепочка фазовых переходов “вигнеровский кристалл” ”лафлиновская жидкость” ”вигнеровский кристалл”... при изменении магнитного поля и прохождении факторов заполнения через значения, где точно реализуются ступеньки FQHE 10