Модифицированный метод случайного поиска максимума в многомерной, многоэкстремальной задаче

Модифицированный метод
случайного поиска максимума
в многомерной,
многоэкстремальной задаче
Кузенков О.А. Ирхина А.Л.
Нижний Новгород, ННГУ
27.11.2002
Постановка задачи
J ( z )  max, z  
Ω={zRN:ai<zi<bi,1<i<N},
z=(z1,z2,…,zN),
a=(a1,a2,…aN),
b=(b1,b2,…,bN )
Пусть z* точка глобального максимума,
J(z*)=maxJ(z), z  
(1)
Основные формулы
Формула вероятности выбора опорной точки
m
( J ( zi )) m ( ( J ( z j )) m ) 1
j 1
(2)
Вводится параметр d, если |J(zi)-J(z_max)|<d то zi –
«хорошая», если |J(zi)-J(z_max)|>d, то zi - «плохая»
Основные формулы
Формула плотности вероятности рассмотрения точки z на m-ом шаге
(3)
m
( m
) , zi " хорошая"


hm (|| z  zi ||)  
1
1

f
(||
z

z
||)
*
(
(
1

f
(||
z

z
||)
)
, zi " плохая"

i
i



f (|| z  zi ||)
f (|| z  zi ||) 1
f(z) – положительная, монотонно убывающая, f(0)=max f(z)
Формула для f(||z-zi||) в N
- мерном пространстве
N
f (|| z  zi ||)   f i (| x j  xij |)
j 1
(4)
Основные формулы
Формула суммарной плотности вероятности выбора точки z на m+1-ом шаге
m
m
p'm1 ( z)   ( J ( z j )) m a j hm (|| z  zi ||) * ( ( J ( zk )) m ) 1
j 1
k 1
(5)
Схема работы метода
Вычислени
е l новых
точек,
каждая из
которых
имеет N
координат
l
N
N
N
Пересчет вероятностей для
всех точек из W
Выбор новой
опорной точки
Применение распараллеливания дает
ускорение примерно в (l*(N-ζ)-ξ)раз
Пример задания J(z)
7
J ( x, y)  {( 
i 1
,
7
7
[ Aijaij ( x, y)  Bijbij ( x, y)])  (
2
j 1
i 1
7
2 1/ 2
[
C
a
(
x
,
y
)

D
b
(
x
,
y
)])
} (8)
 ij ij
ij ij
j 1
aij ( x, y )  sin( ix ) sin( jy)
bij  cos(ix ) cos(jy)
Aij, Bij, Cij, Dij определяется случайным (равномерно
и независимо) образом на отрезке[-1;1].
Работа метода
Результаты
Параметры
Количество
экспериментов,
значение
максимума
в
которых
больше
или равно 21,6
Количество
экспериментов,
значение
максимума
в
которых
больше
или равно 21,5
Количество
экспериментов, не
достигших
экстремума
(N=2, границы (0;0,6)×(0;0,6),
m=150, m’=50 ň=50; l=1; σ=1;
ε=1)
-
50
0
(N=2, границы (0;0,6)×(0;0,6),
m=150, m’=50 ň= 50; l=1; σ=10;
ε=1)
33
45
2
(N=2, границы (0;0,6)×(0;0,6),
m=150, m’=50, ň= 5; l=1; σ=1;
ε=1)
10
47
0
(N=2, границы (0;0,6)×(0;0,6),
m=150, m’=50, ň= 5; l=10; σ=1;
ε=1)
22
50
0
Вопросы