на плоскости

Математика
Лекция 5
Аналитическая геометрия
2
Алгебраические поверхности и линии
на плоскости первого порядка

Опр. Геометрическое место точек
в пространстве (на плоскости)
определяет плоскость (прямую на
плоскости)
тогда и только тогда, когда декартовы
координаты x, y, z текущей точки М
удовлетворяют алгебраическому
уравнению первого порядка
3
В пространстве
F ( x, y, z )  0 поверхность
На плоскости
линия
F ( x, y)  0
плоскость
прямая
Ax  By  Cz  D  0

N  ( A, B, C )
Ax  By  C  0
Введем вектор N

N  ( A, B)
Вектор N называется нормальным вектором
(нормалью) плоскости и прямой на плоскости
Введем радиус-вектор текущей точки
r   x, y, z 
(r , N )  D  0
r   x, y 
(r , N )  C  0
4
Геометрический смысл нормального
вектора

Задача 1.На плоскости дана точка M 0 (r0 )  M 0 ( x0 , y0 )
и вектор N  ( A, B) . Составить уравнение прямой на
плоскости, проходящей через точку M 0
перпендикулярно вектору.
y

M0
Рассмотрим текущую точку прямой
N

r0
0

r
М
x
M (r )  M ( x, y)
тогда вектор M 0 M  r  r0  ( x  x0 , y  y0 )
лежит на данной прямой.
 M 0M  N  (M 0M , N )  0
(r , N )  (r0 , N )  0
Ax  By  ( x0 A  y0 B )  0
  
(r  r0 , N )  0
A( x  x 0 )  B( y  y 0 )  0
5

Нормальный вектор – вектор,
перпендикулярный прямой.
6


Задача 2.
В пространстве дана точка M 0 (r0 )  M 0 ( x0 , y0 , z0 ) и
вектор N  ( A, B, C ). Составить уравнение плоскости,
проходящей через точку перпендикулярно вектору.

N
z

M (r )  M ( x, y, z )
M0

r
x
0
вектор M 0 M  r  r0  ( x  x0 , y  y0 , z  z0 )
лежит на плоскости.
М
r0
Рассмотрим текущую точку прямой
y
 M 0M  N  (M 0M , N )  0
  
(r  r0 , N )  0
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
(r , N )  (r0 , N )  0
Ax  By  Cz  ( x0 A  y0 B  z0C )  0
7

Нормальный вектор – вектор,
перпендикулярный плоскости.
8
Уравнения в отрезках
Общее уравнение плоскости Общее уравнение прямой
Ax  By  Cz  D  0 на плоскости Ax  By  C  0
Пусть D  0 тогда
y
x
z


1
 D/ A  D/ B  D/C
Обозначим D
D
D
a   ,b   ,c  
A
B
C
Получим x  y  z  1
a
b
c
Z
с
а
Х
Пусть C  0 тогда
y
x

1
C/ A C/B
C
C
a   ,b  
A
B
x y
 1
a b
У
b
b
а
У
О
9
Х
Исследование уравнения прямой
1.
A  0, B  0, C  0
Ax  By  C  0
x y
 1
a b
2.
A  0, B  0, C  0
3.
A  0, B  0, C  0
y
b
О
x
y
Ax  By  0,
x y
b
  0, y   x
a b
a
By  C  0
y b
а
x
О
y
b
О
x
10
4.
A  0, B  0, C  0
y
Ax  C  0
xa
О
5.
A  0, B  0, C  0
Ax  0
а
y
х=0
x0
x
О
6.
A  0, B  0, C  0
By  0
y0
x
y
у=0
О
x
11
Исследование общего
уравнения плоскости

1. Ax  By  Cz  D  0
Z
x y z
  1
а
a b c
Х
 2. A  0, B  0, C  0, D  0
с
b
У
Z
Ax  By  Cz  0
O(0,0,0)P
У
Х
12



3а. A  0
P||OX
3б. B  0
P||OY
3в. C  0
P||OZ
By  Cz  D  0
y z
 1
b c
b
У
Х
Ax  Cz  D  0
x z
 1
a c
Ax  By  D  0
x y
 1
a b
Z
с
Z
с
а
У
Х
Z
b
а
У
Х
13

4а.
A  0, B  0
Cz  D  0
P||XOY

4б.
A  0, C  0
By  D  0
P||XOZ

4в.
Ax  D  0
B  0, C  0
Z
P||YOZ
У
Х
14
Z

5а. B  0, C  0, D  0
x0
плоскость YOZ
0
Х
У
Z

5б. A  0, C  0, D  0
y0
плоскость XOZ
0
У
Х

5в. A  0, B  0, D  0
z  0 плоскость XOY
Z
0
У
Х
15
Параметрическое уравнение прямой
на плоскости и в пространстве


l . Записать уравнение
Дана точка M 0 и вектор
прямой, проходящей
через эту точку параллельно

вектору l .
 Опр. Вектор, параллельный
У
данной прямой или лежащий
М0(х0,у0)

на этой прямой, называется
l  (m, n)

направляющим вектором
r0

М(х,у)
прямой.
r
О
 M 0M  t  l

 
r  r0  t  l

 
r  r0  t  l , где t – параметр
16
Х
M 0 M || l
Прямая на плоскости
M 0 ( x0 , y 0 )

l  (m, n)
 x  x 0  tm

 y  y 0  tn
Прямая в пространстве
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )

l  (m, n, p )
 x  x 0  tm

 y  y 0  tn
 z  z  tp
0

17
Каноническое уравнение прямой на
плоскости и в пространстве

Если исключить параметр t из
параметрического уравнения, то получим
каноническое уравнение прямой.
на плоскости
x  x0 y  y 0

m
n
в пространстве
x  x0 y  y 0 z  z 0


m
n
p
18
Уравнение прямой проходящей
через две точки М1 и М2
на плоскости
в пространстве
M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x 2 , y 2 ) M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 )
M ( x, y, z )
M ( x, y )
l  M 1M 2
M 1 M 2  ( x 2  x1 , y 2  y1 ) M 1 M 2  ( x 2  x1 , y 2  y1 , z 2  z1 )
x  x1
y  y1

x 2  x1 y 2  y1
x  x1
y  y1
z  z1


x 2  x 1 y 2  y1 z 2  z 1
19
Параметрическое уравнение
плоскости



Дана точка M 0 (r0 ) и два неколлинеарных вектора a и b
Составить уравнение плоскости, проходящей
через

точку M 0 параллельно векторам a и b .
z
 Векторы M 0 M , a , b компланарны,

a

 линейно зависимы  один из
b
M0
них является линейной
М

r0
комбинацией остальных, т.е.

r
0
x
y
p, q – параметры

 

r  r0  pa  qb
r  r0  pa  qb


 x  x 0  pa1  qb1 ,



или  y  y 0  pa 2  qb2 ,


 z  z 0  pa 3  qb3 .
20
Уравнение плоскости, проходящей через
точку параллельно двум векторам

Т.к. векторы
   
( r  r0 , a , b )  0
M 0M , a, b
компланарны, то
x  x0
a1
y  y0
a2
z  z0
b1
b2
b3
a3
0
21
Уравнение плоскости,
проходящей через три точки
M 1 ( x1 , y1 , z1 )

Векторы
M1
M2
М
M3
M 2 ( x2 , y 2 , z 2 )
M 1M
M 1M 2
M 3 ( x3 , y 3 , z 3 )
M 1M 3
компланарны
M M ,M M ,M M   0
1
1
2
1
3
x  x1
y  y1
z  z1
x 2  x1
y 2  y1
z 2  z1  0
x 3  x1
y 3  y1
z 3  z1
22