М 0

Плоскость
в пространстве
п2
2
п1
1
п1
п2
2
1
Плоскость в пространстве
Общее уравнение плоскости
Уравнение плоскости в отрезках
Угол между двумя плоскостями
Угол между прямой и плоскостью
Расстояние от точки до плоскости
Уравнение плоскости, проходящей через три
точки
Задача.
В тетраэдре SABC точка М – пересечение медиан треугольника АВС.
Разложите вектор SB по векторам SA, SC и SM.
SB  3SM  SA  SC
Общее уравнение плоскости
Выведем уравнение плоскости, проходящей
через точки М(x; y; z) и М0 (х0; у0; z0)
М 0 М x  x0 ; y  y0 ; z  z 0 
п
М0
М
п а; в; с
М 0М  п
Значит п перпендикулярен плоскости и, следовательно, любому
вектору, лежащему в плоскости .
Условие перпендикулярности двух векторов:
аx  x0   в y  y0   сz  z 0  Нормальный
0 плоскости
(1) вектор
Уравнение (1) можно записать в виде:
аx  вy  сz  d  0
(2)
Общее уравнение плоскости называется полным, если все
Общее уравнение
коэффициенты a; в; с; d отличны от нуля.
плоскости
В противном случае уравнение называется неполным.
Общее уравнение плоскости
Виды неполных уравнений:
D  0;
2) A  0;
1)
Ax  By  Cz  0 Плоскость проходит через точку О.
By  Cz  D  0 ll (OX )
z
3)
B  0;
Ax  Cz  D  0
4)
C  0;
Ax  By  D  0 ll (OZ )
ll (OY )
A  0; B  0 Cz  D  0 ll ( XOY )
6) B  0; C  0 Ax  D  0 ll (YOZ )
5)
By  D  0 ll ( XOZ )
8) B  0; C  0; D  0 Ax  0  x  0
7)
A  0; C  0
A  0; C  0; D  0
10) A  0; B  0; D  0
9)
By  0  y  0
Cz  0  z  0
0
x
(YOZ )
( XOZ )
( XOY )
y
Уравнение плоскости в отрезках
Рассмотрим полное уравнение плоскости:

Ax  By  Cz  D  0
Ax By Cz


1
D D D

Уравнение плоскости
в отрезках

Ax  By  Cz  D
x
y
z


1
aD bD cD
A
B
C
a
c
b
Уравнение в отрезках
используется для построения
плоскости, при этом a, b и с –
отрезки, которые отсекает
плоскость от осей координат.
z
с
0
x
a
b
y
Угол между двумя плоскостями
Пусть две плоскости заданы общими уравнениями:
1 : а1 x  в1 y  с1 z  d1  0
 2 : а 2 x  в 2 y  с2 z  d 2  0
Углом между этими плоскостями называется угол между
нормальными векторами к этим плоскостям.
п1  а1 ; в1 ; с1 
п 2  а2 ; в2 ; с2 
п1 
п2
2
cos  
1

п1  п 2
п1  п 2

а1  а 2  в1  в 2  с1  с 2
а12  в12  с12  а 22  в 22  с22
Угол между двумя плоскостями
Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
аналогичны условию параллельности и перпендикулярности
нормальных векторов:
п2
2
а1 в1 с1
п1 ll п 2 


а2 в 2 с2
п1
1
п1
п2
2
1
п1  п 2  а1  а2  в1  в2  с1  с2  0
Угол между прямой и плоскостью
Пусть точка М1 – точка пересечения прямой р
с плоскостью  : аx  вy  сz  d  0
п


М1
М
 М 1 М ,    90 0  
Если   угол между прямой и нормалью,
тогда угол между прямой и плоскостью равен 90 0  
Расстояние от точки до плоскости
Пусть точка М1(x1; y1; z1) – основание перпендикуляра, опущенного из
точки М0(x0; y0; z0) на плоскость  : аx  вy  сz  d  0
М0
l

l  расстояние от точки М 0
до плоскости 
М1
l  M1M 0  k n
l
аx0  вy 0  сz 0  d
a2  в2  c2
Решение задач
Задача.
Известны координаты точек А, В и С. Найдите
уравнение плоскости, перпендикулярной прямой АВ и
проходящей через точку С.
2x + 5y + 3z – 4 = 0
Уравнение плоскости, проходящей
через три точки
Пусть точки М1(х1 ; у1 ; z1 ), М2(х2 ; у2 ; z2 ) и М3(х3 ; у3 ; z3 ) не лежат
на одной прямой.
Тогда векторы: M1M 2  x 2  x1; y 2  y 1; z2  z1
и

M1M3  x3  x1; y 3  y1; z3  z1
Точка М(х ; у ; z ) лежит в
одной плоскости с точками
М1 , М2 и М3 только в том
случае, если векторы:
M1M2 ; M1M3
и
1
2
не коллинеарны.
М3
М1
М
М2
M1M  x  x1; y  y 1; z  z1 компланарны.
M M  M M  M M
1

1
3
Уравнение плоскости,
проходящей через 3 точки

x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1
x3  x1
y 2  y1
y 3  y1
z2  z1  0
z3  z1