Тема: Понятие линейного пространства Простейшие задачи векторной алгебры. Скалярное произведение векторов

Тема: Понятие линейного пространства
(координаты вектора)
Простейшие задачи векторной алгебры.
Скалярное произведение векторов
Лектор Белов В.М.
2010 г.
4. Координаты вектора
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по
базису называются координатами этого вектора в данном
базисе.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ координат свободных векторов
в декартовом прямоугольном базисе:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямую, на которой выбрано направление,
называют осью.
B
Пусть ℓ – ось, AB – некоторый вектор.
Пусть A1 и B1– ортогональные проекции
на ось ℓ точек
A
и
B
соответственно.
A
A1

B1
Вектор A1 B1 назовем векторной проекцией вектора AB
ось ℓ .
на
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Проекцией (ортогональной проекцией)
вектора AB на ось  называется длина его векторной
проекции A1B1 на эту ось, взятая со знаком плюс, если
вектор A1B1 и ось  сонаправлены, и со знаком минус –
если вектор A1B1 и ось  противоположно направлены.
Обозначают: Пр  AB , Пр  AB .
ТЕОРЕМА 7. Координаты вектора āV(2) (V(3)) в декартовом
прямоугольном базисе i, j (i, j, k) есть проекции этого
вектора на соответствующие координатные оси.
ТЕОРЕМА 8.
1) Если вектор a имеет в базисе e1,e2, …, en координаты
{α1 , α2, … , αn}, вектор b имеет в том же базисе координаты
{β1 , β2, … , βn}, то вектор a + b будет иметь в базисе
e1,e2, …, en координаты {α1 + β1, α2 + β2, … , αn + βn}.
2) Если вектор a имеет в базисе e1,e2, …, en координаты
{α1 , α2, … , αn}, то для любого числа λ вектор λa будет
иметь в том же базисе координаты
{λα1 , λα2, … , λαn} .
ТЕОРЕМА 9 (критерий коллинеарности свободных векторов в
координатной форме).
Векторы ā = {α1 ; α2 ; α3} и b̄ = {β1 ; β2 ; β3} коллинеарны 
их координаты пропорциональны, т.е.
1  2  3


 k.
1  2 3
Причем, если коэффициент пропорциональности k > 0 , то
векторы ā и b̄ – сонаправлены; если k < 0, то ā и b̄ –
противоположно направлены .
ТЕОРЕМА 10 (связь координат вектора в разных базисах).
Пусть e1, e2 , …, en и f1 , f2 , …, fn два базиса линейного
пространства L . Причем имеют место равенства
f1 = τ11e1 + τ21e2 + … + τn1en ,
f2 = τ12e1 + τ22e2 + … + τn2en ,
……………………………
fn = τ1ne1 + τ2ne2 + … + τnnen .
Если вектор a имеет в базисе e1, e2 , …, en координаты
{α1 , α2, … , αn}, а в базисе f1 , f2 , …, fn – координаты
{β1 , β2, … , βn}, то справедливо равенство A = TB , где
 1 
 11 12   1n 
 1 
 


 






2n 
A  2 , B 2 ,
T   21 22

   

 
    
 
 n
nn 
 n1 n 2
 n
Матрицу T называют матрицей перехода от базиса e1, e2 , …, en
к базису f1 , f2 , …, fn .
§8. Простейшие задачи векторной алгебры
Пусть на плоскости (в пространстве) задана декартова
прямоугольная система координат. Выберем в пространстве
V(3) (V(2)) декартов прямоугольный базис i, j, k (i, j).
ЗАДАЧА 1. Найти координаты вектора AB , если известны
декартовы координаты начала и конца вектора.
y
O
A
B
x
ЗАДАЧА
2.
Найти длину вектора, если известны его
координаты в декартовом прямоугольном базисе.
y
B
ay
A
O
ax
C
x
ЗАДАЧА 3. Известны координаты вектора. Найти координаты
его орта.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ортом вектора ā называется вектор ā0,
сонаправленный с вектором ā и имеющий единичную длину .
Геометрический смысл координат орта вектора
Пусть  ,  и  – углы, которые вектор ā образует с координатными осями Ox , Oy и Oz соответственно .
cos , cos и cos называются направляющими косинусами
вектора ā .
a
a

1

x
x
B1
A1
Координаты орта вектора ā являются его направляющими
косинусами.
Замечание. Так как | ā0 | =1 и ā0 ={cos ; cos ; cos } , то
cos2 + cos2 + cos2 = 1 .
Это равенство называют основным тождеством для
направляющих косинусов вектора.
ЗАДАЧА 4. Известны координаты концов отрезка. Найти
координаты точки, которая делит отрезок в заданном
отношении.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что точка M0 делит отрезок
M1M2 в отношении  (  –1) если
M1M0    M0M 2
Если  > 0 , то точка M0 лежит между точками M1 и M2 .
В этом случае говорят, что точка M0 делит отрезок M1M2 во
внутреннем отношении.
Если  < 0 , то точка M0 лежит на продолжении отрезка M1M2.
В этом случае говорят, что точка M0 делит отрезок M1M2 во
внешнем отношении.
M1
r1
r0
O
M0
r2
M2
§9. Нелинейные операции на множестве векторов
1. Скалярное произведение векторов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Скалярным произведением
двух ненулевых векторов ā и b̄ называется
число, равное произведению их модулей на
косинус угла между ними, т.е. число
| ā |  | b̄ |  cos
Если ā = 0̄ или b̄ = 0̄, то скалярное произведение векторов ā и b̄ полагают равным нулю.
СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
1) Скалярное произведение векторов коммутативно, т.е.
(a, b )  (b, a )
2) Скалярное произведение ненулевых векторов ā и b̄ равно произведению длины вектора ā на проекцию вектора ā на вектор
b̄ (длины вектора b̄ на проекцию b̄ на ā ). Т.е.
( a , b )  a  Пр a b  b  Пр b a
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Проекцией вектора ā на вектор b̄ называется
проекция вектора ā на ось, определяемую вектором b̄ .
a
b

3) Числовой множитель любого из двух векторов можно вынести за знак скалярного произведения. Т.е.
( a , b )  ( a ,  b )   ( a , b )
4) Если один из векторов записан в виде суммы, то их скалярное
произведение тоже можно записать в виде суммы. Т.е.
a1  a2
(a1  a2 , b )  (a1, b )  (a2 , b )
(a, b1  b2 )  (a, b1)  (a, b2 )
a1
a2
b
5) Скалярное произведение вектора на себя (скалярный квадрат
вектора) равно квадрату его длины. Т.е.
(a, a )  a
2
6) Ненулевые векторы ā и b̄ перпендикулярны тогда и только
тогда, когда их скалярное произведение равно нулю .
(критерий перпендикулярности векторов).
7) Если в декартовом прямоугольном базисе векторы ā и b̄
имеют координаты: ā = {ax; ay; az} , b̄ = {bx; by; bz} , то
(ā , b̄ ) = axbx + ayby + azbz .
(1)
Формулу (1) называют выражением скалярного произведения
через декартовы координаты векторов.
8) Если под действием постоянной силы F̄ точка перемещается
по прямой из точки M1 в M2 , то работа силы F̄ будет равна

A  F, M1M 2

(физический смысл скалярного произведения).