Движение тела вокруг неподвижной точки. Случай Эйлера

ДИНАМИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА
ЛЕКЦИЯ 7:
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ
ТОЧКИ. СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
1. Напоминание: эллипсоид
инерции
z
2a
z
z0
2b
y0
y
x0
2c
x
x
C  M  b2  a 2  3
A  M  b2  c 2  3
B  M  c2  a 2  3
y
Ax 2  By 2  Cz 2  1
C  A B
y0 
1
1
1
 x0 
 z0 
B
A
C
Общий вид эллипсоида инерции «похож» на форму однородного тела
При геометрической интерпретации вращения ТТ удобно мысленно
заменить его («вырезать из него») соответствующий эллипсоид инерции
2. Геометрическая
интерпретация Пуансо
Эллипсоид инерции
Ax 2  By 2  Cz 2  1
эллипсоид
P - точка пересечения ЭИ с мгновенной осью вращения
инерции
 проходит через P и касается ЭИ
центр
1) Величина угловой скорости  пропорциональна
вращения
длине радиуса-вектора точки Р относительно О
OP  ω  x p   p, y p   q, z p   r
1
2
2
2
2
  Ap  Bq  Cr   1   
 const
2T
2T
 2 Ax p 
 Ap  плоскость Пуансо
2) Плоскость 


 Bq   2 K
N

2
By

2

перпендикулярна
p
O

 
 Cr 
кинетическому моменту К0
 2Cz 
p 
 

3) Проекция OQ радиуса-вектора ОР на направление кинетического момента К0 есть
величина постоянная.
OQ 
Κ O  OP
Κ ω
2T
2T
 O


 const
KO
KO
KO
KO
3. Геометрическая
интерпретация Пуансо
Эллипсоид инерции для неподвижной точки катится без
скольжения (А) по плоскости, неподвижной в пространстве (Б);
эта плоскость перпендикулярна кинетическому моменту (В);
угловая скорость тела пропорциональна длине радиуса-вектора
точки касания (Г), а по направлению с ним совпадает (Д).
(А) точка Р лежит на мгновенной оси вращения, и поэтому ее
скорость равна нулю.
(Б) Следствие (2), (3), и того, что K O  const
(В) Следствие (2)
(Г) Следствие (1)
(Д) по построению
При движении тела точка Р на эллипсоиде инерции
вычерчивает кривую, которая называется полодией.
Соответствующая кривая на плоскости  называется
герполодией.
полодия
герполодия
Если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то полодия и герполодия
представляют собой окружности.
4. Интегрирование уравнений
Эйлера в общем виде
A B C
A2 p 2  B 2 q 2  C 2 r 2  KO2
Ap 2  Bq2  Cr 2  2T
Bq   A  C  rp  0
dq
1

dt
B AC
p2 
1
 2TC  KO2   B  C  B  q2 

A  C  A 
1
 KO2  2TA  B  B  A q2 
r 

C  C  A 
2
 KO2  2TC   B  B  C  q 2   2TA  KO2   B  A  B  q 2 



2TA  A2 p 2  BAq 2  CAr 2  A2 p 2  B 2 q 2  C 2 r 2  KO2
2
2
TC

K
O  2TA
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2TC  ACp  BCq  C r  A p  B q  C r  KO
KO2  2TB
Случай 1
2
3
2 1
2
K
O
Случай 2 2TB  KO  2TC
2
Случай 3 2TA  KO  2TB
2TC 2TB
2TA
5. Интегрирование уравнений
Эйлера (случай 1)
 B  C  2T  Bq2 

A A  C  
A  B

2
 2T  Bq 2 
r 
C  A  C
p2 
Полодии лежат
в плоскостях
Ур-е
для q
x
C B  C
z
A A  B
Bq   A  C  rp  0
A  B  B  C 

Bq    A  C 
C  A  C A  A  C
2T  Bq2 
2T  A  B  B  C 
dq
2T  Bq 2

, 
t
d
ABC
2TB
6. Интегрирование уравнений
Эйлера (случай 1)
dq
2T  Bq 2

d
2TB
 = 
2TB
dq   d
2
2T  Bq
2TB
dq
dq

c
 c2  q2
2T  Bq 2
c
2T
B
1 cq
  const= ln
2 cq
Полодия 1
q
2T  A  B  1
r
A  A  C  ch 
2T
th   const 
B
2T  B  C  1
p
A  A  C  ch 
Случай 1 : движение неустойчиво
7. Интегрирование уравнений
Эйлера (случай 2)
2TB  KO2  2TC
dq
1

dt
B AC
подстановка
q
 KO2  2TC   B  B  C  q 2   2TA  KO2   B  A  B  q 2 



K
2
O
 2TC 
BB  C
Q
ABC
t0 
 B  C   2TA  KO2 
Q  1  Q  sin 

d
  const  
2
2
0 1  k sin 
K  k   F  / 2, k 
dQ
t0

dt
1  Q 1  k Q 
2
2
2
2
A

B
K



O  2TC 
2
k 
1
2
 B  C   2TA  KO 
t
d

 1  k 2 sin 2 
t0
d
 F   , k  эллиптический интеграл первого рода
полный эллиптический интеграл первого рода
F    2 , k   F   , k   4K 
Q   периодична с периодом 4K  k 
8. Интегрирование уравнений
Эйлера (случай 2)
Функция, являющаяся результатом обращения эллиптического интеграла
первого рода, называется амплитудой и обозначается am  ,k 
Функции эллиптический синус (sn) и эллиптический косинус (cn) определяются как
sn  , k   sin  am  , k   , cn  , k   cos  am  , k  
они периодичны с периодом 4K
Функция дельта амплитуды (dn) определяется как dn  , k   1  k sn
2
2
 , k 
sn2    cn2    1
Некоторые полезные формулы
k 2 sn2    dn2    1
d
sn    cn   dn  
d
d
cn     sn   dn  
d
При
k  0 am  ,k    sn  , k   sin  
dn  , k   1 cn  , k   cos  
9. Интегрирование уравнений
Эйлера (случай 2)
KO2  2TC
q
sn  , k 
BB  C
1
2
 2TC  KO2  B C  B  q 2  
p 

A  C  A 
2TC  KO2

1  sn 2  , k 
A  C  A
2
cn
 , k 
2
KO  2TC
p
cn  , k 
A A  C 





2TB  KO2  2TC

2TA  KO2
dn  , k 
Аналогично r 
C  A  C
В пределе
KO2  2TC
p  q  0, r   стационарное вращение вокруг оси z
10. Интегрирование уравнений
Эйлера в общем виде (случай 3)
Случай 3
2TA  KO2  2TB
 A  B   KO2  2TC 
2TA  KO2
q
sin   
t
B  A  B
ABC
2
B

C
2
TA

K



O
d
2
2
2
k 

1

1

k
sin

2
d
 A  B   KO  2TC 
p
KO2  2TC
2TA  KO2
2TA  KO2
dn  , k  , q  
sn  , k  , r  
cn  , k 
A A  C 
B  A  B
C  A  C
В пределе
KO2  2TA
r  q  0, r  
стационарное вращение вокруг оси x
11. О герполодиях
QP  OP 2  OQ 2 
2
2T

2T
KO2
Для стационарных вращений герполодия совпадает с точкой Q
В общем случае A  B  C при KO2  2TB
  p 2  q 2  r 2 изменяется периодично и

достигает минимума и максимума; им
отвечают 1 ,  2
Дуга ab отвечает четверти полной полодии
После того как будет описана полная полодия вектор QP повернется н
4Если  / -рационально, то герплодия замкнется
угол
В общем случае A  B  C при KO2  2TB
Каждой из полодий 1-4 соответствует герполодия, являющаяся
спиралью, навивающейся на точку Q. Эта спираль бесконечно много
раз обходит точку Q. Однако ее общая длина конечна, так как она
равна длине соответствующей дуги полодии
12. Определение ориентации тела в
абсолютном пространстве
(1) KOx  Ap  KO sin  sin 
(2) KOy  Bq  KO sin  cos 
(3) KOz  Cr  KO cos 
cos  
Cr
Ap
, tg  
KO
Bq
угол нутации
угол вращения
p   sin  sin 
p sin   q cos 
угол

КС q   sin  cos  прецессии
sin 
r   cos   
Ap 2  Bq2
Ap 2  Bq2
Из (3)   KO 2 2
Из (1),(2)  
2
KO sin 
A p  B 2 q2
ДУ для нахождения
 t 
p  t  , q(t ), r(t ) периодичны с периодом Т  cos  , cos  периодичны с периодом Т
T
Ap 2 (t )  Bq2 (t )
cos (t  T )  cos (t )
 ( t  T )   ( t )  KO  2 2
dt  c  0
2 2
A p (t )  B q (t )
0
Если число c / 2 не рационально, то твердое тело никогда не возвратится к своей
первоначальной ориентации в абсолютном пространстве.