ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования

1
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
Государственное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
Коммерческо-банковский колледж №6
(ГОУ СПО КБК №6)
Методическая разработка по теме
«Теория пределов»
по дисциплине математика
для студентов 2 курса специальности
080110 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)
080108 Банковское дело
Базовый и повышенный уровень образования СПО
Автор-составитель
Преподаватель ГОУ СПО КБК №6
Н.Е. Василенкова
2
Пояснительная записка
Методическая разработка по теме «Теория пределов» является составной частью
учебно-методического комплекса дисциплины Математика цикла ЕН. Методическая
разработка предназначена для студентов 2 курса специальностей 080110 Экономика и
бухгалтерский учет (по отраслям) и 080108 Банковское дело (базового и повышенного,
уровня образования СПО).
Целью написания методической разработки является формирование знаний, умений и
навыков, которые в дальнейшем применяются при изучении темы «Дифференциальное
исчисление» при исследовании функций и построения асимптот графиков этих функций, а
также для предупреждения, выявления и устранения у студентов пробелов в знаниях по теме
«Теория пределов»
Данная разработка может использоваться как студентами для самостоятельной
работы, так и преподавателями на практических занятиях, при проверке знаний методом
тестирования, при ликвидации пробелов в знаниях студентов.
Методическая разработка имеет следующую структуру: краткий конспект лекций
(справочные материалы), образец решения заданий с комментариями, набор тренировочных
упражнений с ответами и указаниями к их решению, материалы контрольной работы по
данной теме с ответами и 4 варианта тестовых заданий с ответами.
3
Справочный материал
I.
Определение предела
Число а называется пределом функции y=f(x) при х стремящемся х0
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)= a),если для любого сколь угодно малого числа
х⟶х𝟎
>0 существует такое число >0, что из условия |х − х𝟎 |< α следует, что
(записывается
α
|𝒇(𝐱) − 𝒂| <.
Теоремы о пределах
1. Любая функция имеет не более одного предела.
Если существуют пределы функций f(x) и g(x) при х⟶х0 , то
2. 𝐥𝐢𝐦 С = С, где С − 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕
х⟶х𝟎
(Предел постоянной равен самой постоянной).
3. 𝐥𝐢𝐦 Р(х) = Р(х0)
х→х𝟎
(Предел многочлена Р(х) = а0хп + а1хп-1 + ап-1х1 + ап при х ⟶ х𝟎 равен значению этого
многочлена при х=х0 ).
4. 𝐥𝐢𝐦 (𝒇(х) ± 𝒈(х)) = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝐱) ± 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝐱)
х⟶х𝟎
х⟶х𝟎
х⟶х𝟎
(Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов).
5. 𝐥𝐢𝐦 (𝒇(х) · 𝒈(х)) = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝐱) · 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝐱)
х⟶х𝟎
х⟶х𝟎
𝒇(х)
𝐥𝐢𝐦
х⟶х𝟎 𝒈(х)
х⟶х𝟎
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝐱)
= х⟶х𝟎
𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝐱)
, если 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝐱) ≠ 0
х⟶х𝟎
х⟶х𝟎
(Предел произведения (частного) двух функций равен произведению (частному) пределов
функций).
6. 𝐥𝐢𝐦 𝑪 · 𝒇(х)= C· 𝐥𝐢𝐦 𝒇(х), С-const
𝐱𝐱 𝟎
𝐱𝐱 𝟎
(Постоянную можно выносить за знак предела).
7. 𝐥𝐢𝐦 (𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒇(𝐱)) = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 (𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝐱))
𝐱𝐱𝟎
𝐱𝐱 𝟎
(Предел от логарифма функции равен логарифму от предела этой функции).
𝒌
8. 𝐥𝐢𝐦 (𝒇(𝐱)) = (𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝐱))𝒌
𝐱𝐱𝟎
𝐱𝐱𝟎
𝒌
𝐥𝐢𝐦 √𝒇(𝐱) = 𝒌√ 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝐱)
𝒙𝒙𝟎
𝐱𝐱 𝟎
(Предел степени (корня)равен степени (корню) предела).
𝑃(𝑥)
9. Предел дробно-рациональной функции R(x) =
при х→ а равен значению
𝑄(𝑥)
этой функции при х = а, если а∈D(R). При этом, если числитель и знаменатель дроби при
х→ а имеют предел, равный 0, надо разделить их на х-а и снова перейти к пределу
(пример8).
Замечательные пределы
4
Первый замечательный предел:
𝐥𝐢𝐦
𝐬𝐢𝐧 𝐱
=1
𝐱𝟎 𝐱
(то есть при 𝑥0 sin 𝑥 =x, если х измеряется в радианах).
Равенство sin 𝑥 =x справедливо для углов от 00 до 60 с точностью до 4 знака после запятой,
от 60 до 120 с точностью до 3 знака после запятой,
от 120 до 200 с точностью до 2 знака после запятой.
𝟏 𝐱
𝟏
у
Второй замечательный предел: 𝐥𝐢𝐦 (𝟏 + ) =e, 𝐥𝐢𝐦(𝟏 + у) = е
𝐱
𝐱→∞
у→𝟎
е=2,71828… - число Непера (шотландский математик).
е – основание натурального логарифма (log е а =ln а). Число е используется для описания
явлений и процессов в природе, технике, экономике, обществе.
Бесконечно малая и бесконечно большая величина.
Определение. Функция (х) называется бесконечно малой величиной при 𝐱𝐱 𝟎 или при
𝐱 → ∞, если ее предел при этом равен 0.
𝐥𝐢𝐦 (х) = 0, 𝐥𝐢𝐦 (х) = 0.
𝐱→∞
𝐱→х𝟎
Теорема.1. Сумма двух бесконечно малых есть величина бесконечно малая.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой на постоянную есть величина бесконечно малая.
Теорема 3. Частное от деления бесконечно малой на функцию, предел которой отличен от 0
есть величина бесконечно малая.
Определение. Функция f(х) называется бесконечно большой величиной при 𝐱𝐱 𝟎 или при
𝐱 → ∞, если ее предел при этом равен .
𝐥𝐢𝐦 f(х) = , 𝐥𝐢𝐦 f(х) = .
𝐱→∞
𝐱→х𝟎
Теорема.1. Сумма двух бесконечно больших есть величина бесконечно большая.
Теорема 2. Произведение бесконечно большой на постоянную есть величина
бесконечно большая.
Теорема 3. Частное от деления бесконечно большой на функцию, предел которой отличен от
0, есть величина бесконечно большая.
Алгоритм нахождения предела функции ( 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝐱)).
х⟶х𝟎
1.
Найди значение функции 𝒇(𝐱) при х = х0
2.
Если получилось действительное число, оно и есть искомый предел.
(см. пример №1)
если получилась дробь вида
Пусть Анекоторое число,
α(х) –бесконечно
малая величина,
0
А
∞
А
то lim 𝑓(x) равен
х⟶х0
0
∞
5
β(х) –бесконечно
большая величина
А
α(х)
∞
А
β(х)
0
3.
0 0 ∞
Если получилась неопределенность вида 0, ∞, ∞, и т.д.,
а).упрости исходную функцию, сократив дробь (пример №2)
в). если 𝐱 → ∞ , числитель и знаменатель дроби раздели на х в наибольшей степени
и найди предел получившегося выражения (пример №3)
P(x)
с). Вообще, если надо найти lim Q(x) , где P(x), Q(x) – многочлены, т.е
lim
Ах𝑚 +Вх𝑚−1 +⋯+М
п−1 +⋯+М1
х→∞ А1хп +В1х
х→∞
, надо сравнить степень многочлена в числителе (m) со степенью
многочлена в знаменателе (n) (пример №4)
P(x)
 Если m< n, то lim Q(x) =0
х→∞
P(x)

Если m>n, то lim Q(x) =∞

Если m=n, то lim Q(x) =А1 , где А и А1 – старшие коэффициенты числителя и
х→∞
х→∞
P(x)
А
знаменателя соответственно.
6
7
II.
Задание
х+2
lim
х→1 х − 3
2
2х − 3х − 2
х→2
х2 − 2х
lim
Образцы решения заданий на пределы
Решение
х+2
lim х−3 = 1−3 =
lim
2х2 − 3х− 2
х→2
= lim
3х − 4х + 2х − 5
lim
х→∞
2х3 + 13
3х3
lim (
х→∞ х3
lim (
х→∞
х→∞
lim
х→∞
3х3 −4х2 +2х−5
При подстановке вместо х числа
2 получили неопределенность
0
вида 0, избавились от нее,
сократив дробь на (х − 𝟐)
Разделили числитель и
знаменатель дроби почленно на х
в наибольшей степени (х3 ).Т.к.
4 2 5 12
все слагаемые , 2 , 3 , 3 при 𝐱 →
х х х х
∞
стремятся к 0, числитель дроби
стремится к 3, а знаменатель
стремится к 2.
Степени многочленов числителя
и знаменателя равны (m=n=3),
значит, предел данного
выражения равен отношению
(х−2)(2х+1)
х→2
х(х−2)
=2
х
=
2х3 +13
4х2
− 3
х
2х3
х3
4
lim (3 −
= х→∞
lim (
lim
0
= [0] = lim
3х3 −4х2 +2х−5
х→∞
2
2
х2 − 2х
2х+1 5
х→2
Комментарий
Подставили вместо х число 1
−3
х→1
lim
3
1+2
2х
х
2
5
+2 − 3
х
х
+ 13
)
х3
х
2
3х3 −4х2 +2х−5
2х3 +13
х→∞
5
+3 − 3
х
х
+ 13
3)
=
3
=2
3
=2
2х3 +13
А
lim(х3 − 6х2 + 5х -1) =
х→∞
lim(х3 − 6х2 +5х -1)
х→∞
6
х→∞
= lim х3 lim(1 −
х→∞
х→∞
1= ∞
lim
sin 6х
х→0
sin 6х
х→0 4х
= lim
6
х
1
6х
х→0
5
1
+ х2 − х3 ) = = ∞ ∙
1,5sin 6х
4х
х→0 4х ∙1,5
sin 6х
1,5lim
lim
5
=[∞ − ∞] =lim(х3 (1 - х + х2 − х3)) =
=lim
1,5sin 6х
х→0
6х
=
= 1∙ 1,5 = 1,5
х 5
lim (1 +
х→∞
5 3х
5 5 ∙х ∙3х
)
=
lim
(1
+
)
х
х
х→∞
х 5
∙( ∙3х)
5
х
5
= lim (1 + х )
х→∞
5 3х
lim (1 + )
х→∞
х
5
х
5
= lim (1 + х )
х→∞
=
=
∙15
=
х 15
5 5
= ( lim (1 + х ) ) =е15
х→∞
х3 − 7х+ 6
lim
х3 − 7х + 6
х→2 х3 −5х2
+ 2х + 8
lim х3 −5х2 + 2х+8 =
х→2
(х−2)(х2 +2х−3)
х2 +2х−3
= lim (х−2)(х2 −3х−4)=lim х2 −3х−4=
х→2
х→2
5
=−
6
=
3
старших коэффициентов ( = )
А1 2
Имеем
неопределенность вида [∞ −
∞], избавились от нее, вынеся х в
наибольшей степени за скобку
(х3 ), и воспользовались теоремой
о пределе произведения
Домножили числитель и
знаменатель дроби на 1,5, чтобы
уравнять коэффициенты при х,
вынесли постоянную 1,5 за знак
предела, воспользовались
первым замечательным пределом
Пример использования 2
замечательного предела. При
этом показатель степени и второе
слагаемое в скобках должны
быть взаимо -обратными
выражениями, для этого
показатель степени умножили и
х
разделили на 5,затем
воспользовались свойствами
степени и теоремой о степени
предела
При подстановке вместо х числа
2 получили неопределенность
0
вида 0, избавились от нее,
сократив дробь на (х − 𝟐)
8
Тренировочные упражнения
III.
Вычислите пределы:
5х+7
1. lim
Ответы:
5
1. 7
х⟶∞ 7х+5
7х3 +3х2
2. lim
2. 0
3. lim 5х3 +6х4
3. 
4. lim 5х
4. 
х⟶0 5х+9
9х2
х⟶0
х⟶0
5. lim
х⟶0
6. lim
3
+3х2
3х+5
5
5. 2
2
х3 −2х−1
6. -20
х⟶3 х2 −х−7
х2 −25
7. lim
8.
7. 0
х⟶5 х+5
49−х2
lim
8. 14
х⟶−7 х+7
1−4х3 +3х4
9. lim
9. 
(х−1)3
х2 +3х3
х⟶1
1
10. lim 3х4 +х5 −2х2
х⟶0
11. lim
10. − 2
3х3 −3х2 +2х−2
(х−1)3
1
12
х⟶1
11. 
1
12. lim (х+2 - х3 +8)
12. − 2
13. lim (1−х - 1−х3)
13. – 1
х⟶−2
1
3
х⟶1
14. lim
√р− √р−х
14. 2
х
х⟶0
р+х−
√
√р−х
15. lim
х⟶0
16. lim
15.
х
х−3
17. − 2
х⟶∞ 2х−1−2х2
3х2 −4
18. 0
2
х⟶∞ 5х3 + х
3х2 − 2х3 −4
2
19. lim
2
х⟶∞ 7х3 + х − 5
√1−х− √1+ х
lim
2х
х⟶0
9х2 +3х−1
21. lim
х⟶∞
22. lim
х2
х3 +2х5
х⟶∞ х2 +х6
х2
23. lim (2+3х х⟶∞
√р
1
17. lim
20.
1
16. 4
х⟶0 √х+1−2
1+х2
18. lim
1
√р
19.− 7
1
20. − 2
21. 9
22. 0
х3
2
)
3х −4
2
23.− 9
9
10
Указания к тренировочным упражнениям:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
воспользуйтесь теоремой о степени
воспользуйтесь теоремой о бесконечно малой величине и п.2 алгоритма
разложите числитель и знаменатель на множители и сократите дробь
воспользуйтесь теоремой о бесконечно малой величине и п.2 алгоритма
воспользуйтесь теоремой о пределах №3
разложите числитель и знаменатель на множители и сократите дробь
разложите числитель и знаменатель на множители и сократите дробь
разложите числитель и знаменатель на множители и сократите дробь
разделите числитель и знаменатель дроби на (х-1)
разложите числитель и знаменатель на множители и сократите дробь
разделите числитель и знаменатель дроби на (х-1)
приведите дроби к общему знаменателю
приведите дроби к общему знаменателю
домножьте числитель и знаменатель дроби на √р + √р − х
домножьте числитель и знаменатель дроби на√р + х + √р − х
домножьте числитель и знаменатель дроби на√х + 1 + 2
воспользуйтесь теоремой о степени
воспользуйтесь теоремой о степени
воспользуйтесь теоремой о степени
домножьте числитель и знаменатель дроби на√1 − х + √1 + х
воспользуйтесь теоремой о степени
воспользуйтесь теоремой о степени
приведите дроби к общему знаменателю
11
Контрольная работа
IV.
Данная контрольная работа рассчитана на 1 час (45 минут) и проверяет знания
теоретического материала, умение применять теорию при решении конкретных заданий и
вычислительные навыки студентов. При выполнении данной работы студенты могут
пользоваться справочными материалами (раздел I данной разработки).
Критерий оценивания: отметка «5» ставится при выполнении 14-15 заданий
отметка «4» ставится при выполнении 12-13 заданий
отметка «3» ставится при выполнении не менее 7 заданий
в остальных случаях ставится отметка «2».
1 вариант
2
2 вариант
2
3х − 2х
х→0 2х2 − 5х
5х − 3х
х→0 3х2 + 7х
1. lim
1. lim
2. lim
х2 − 5х + 6
3х2 − 9х
2. lim
4
3х2 + 2х
3. lim
х3 − 1
х−1
3. lim
х2 − 4х + 3
х2 − 1
х→3
х→1
х→1
х
4. lim
√1+ х−1
х
х→0
4. lim
х→0 √5−х− √5+ х
5. lim (
1
х→−2 х+2
−
12
)
х3 +8
х−6
6. lim
х→0
х→6 √х+3− 3
х3 −3х2 − 13х+15
6
5. lim (
х→3 х2 −9
−
1
)
х−3
5−х
6. lim 3−√2х−1
х→5
х3 +6х2 +15х+18
7. lim х3 −3х2 − 10х+24
7. lim
8. lim(х2 − 5х + 6)
8. lim(3х2 − 6х + 1)
9. lim х−2
9. lim 2х−2
х→−3
х→∞
3х
х→∞
х→−3 х3 +5х2 +5х−3
х→∞
х−8
х→∞
3х5 + 2х − 7
х→∞ х2 − 2х + 1
10. lim
х5 + х6
х→∞ х3 + х4
10. lim
х3 + 3х2 − 1
11. lim
4х3 − х2
11. lim
х→∞
х5 −3
12. lim 2х2 +1−х 6
х→∞
13. lim
sin 5х
х→0 10х
2х2 − х + 1
х→∞ 3х2
2х−8
12. lim х+12
х→∞
13. lim
х→0
sin 2х
4х
+ 1− х3
12
sin 3х
sin 4х
14. lim sin 5х
14. lim sin 5х
х→0
х→0
3 −х
3 х
15. lim (1 + х )
15. lim (1 − х )
х→∞
V.
х→∞
Тестовые задания
Тестовые задания представлены в четырех вариантах и предполагают выборку
правильных ответов из группы предложенных. При этом, в некоторых заданиях
предполагается наличие нескольких вариантов правильных ответов (например, в задании 1 –
«Укажите не менее 2 вариантов ответа…»). Каждый правильно выбранный вариант ответа
оценивается символом «+».
Критерий оценивания: отметка «5» ставится при наличии 12-13 плюсов
отметка «4» ставится при наличии 12-13 плюсов
отметка «3» ставится при наличии не менее 5 плюсов
в остальных случаях ставится отметка «2».
Вариант №1
Задание
№
а
1
2
Значение,
1
равное
-5, имеют два из
приведенных
ниже пределов.
Укажите не менее
двух вариантов
ответа
Значение
2
предела
х(х−8)
lim х2−64
5х − 10
5х2 + 5х − 1
lim
2
х→∞ 4 − 2х − х
х→∞
1 + х2
lim
0
х→8
3
4
5
равно
Два
3 предела,
значения которых
равны 2, это…
Укажите не менее
двух вариантов
ответа
Значение,
4
равное
1, имеют два из
приведенных
предела
Значение
5
предела
lim
2х5 −6
х→∞ х3 +4
равно
Выберите правильный ответ:
Варианты ответов
б
в
sin 4x
x0 2x
lim
-0,5
2х
x0 sinx
lim
12х − 6
5 − 3х + х2
lim
lim
х→∞ 18 + 12х х→∞ х2 + 2х + 1
∞
10х − 8
х→∞ 6 − 2х
lim
0
г
12 − 5х2 + 6х
х→∞
х2 − х − 1
lim
∞
0,5
sin 6x
x0 2x
lim
sin 2x
x0 4x
lim
2х2 + 6х + 9
х2 + х − 1
lim
lim
х→∞ 2 + 3х − х2 х→∞ х3 − х2 + 1
2
6
4
13
Значение
6
предела
5х+7
lim 7х+5
х→∞
7
равно
7
9х2
lim
х⟶0 5х3 + 6х4
равен
6
7
8
1 + х2
х⟶∞ 2х − 1 − 2х2
Равен
9
9 sin 2х
lim
х→0
4х
Равен
10
2 х
1
lim (1 + )
х→∞
3х
Равен
1
∞
5
7
9
6
0
∞
9
5
∞
0
1
2
−1
2
1
2
2
1
е2
е3
0
8
lim
0
3
е2
2
е3
Вариант №2
Задание
№
а
1
2
Значение,
1
равное
-3, имеют два из
приведенных
ниже пределов.
Укажите не менее
двух вариантов
ответа
Значение
2
предела
(х−з)(х−11)
lim х2 −121
3х − 2
х→∞ 2х − х2
lim
3
4
5
равно
Два
3 предела,
значения которых
равны 5, это…
Укажите не менее
двух вариантов
ответа
Значение,
4
равное
1, имеют два из
приведенных
предела
5 3х2 + 12х + 4
lim
х→∞ 18 − 3х2 + 4
равен
3х2 + 5х − 1
lim
х→∞
1 − х2
-
0
х→11
Выберите правильный ответ:
Варианты ответов
б
в
sin 5x
x0 5x
lim
6х − 8
х→∞ 5 − 2х
5 − 3х2 + 2х
lim
х→∞ х2 + х − 4
4
11
∞
sin5 x
x0
x
sin x
x0 x
lim
4
11
5sinx
x0 х
lim
г
lim
lim
3х − 6
12 − 2х + х2
3х2 + х − 9
х2 + 2х − 1
lim 2
lim
lim
х→∞ 18 + 3х х→∞ х + 5х + 1 х→∞ 3х + х2
х→∞ 2х3 − х2 + 1
lim
1
∞
-1
3
18
14
x5
6
6
lim 2 x  3 .
5
3
x 
равен
7
7 4х4 − 12х + 1
lim
х→∞
3х2 − 2х
равен
8
8 4х4 − 12х + 1
lim
х→∞
3х6 − 2х
равен
9
9 sin 3х
lim
х→0
6х
равен
10
х
1
3 6
lim (1 + )
х→∞
х
равен
∞
5
2
∞
4
3
-2
4
3
0
16
5
6
2
е6
е3
0,5
0
∞
1
2
3
е
√е
Вариант №3
Выберите правильный ответ:
Варианты ответов
б
в
Задание
№
а
1
2
Значение,
1
равное
-2, имеют два из
приведенных
ниже пределов.
Укажите не менее
двух вариантов
ответа
Значение
2
предела
lim
х→3
3
4
5
х2 −4х+3
х2 −9
3х − 2
х→∞ 2х − х2
lim
0
равно
Два
3 предела,
значения которых
равны 2, это…
Укажите не менее
двух вариантов
ответа
Значение,
4
равное
1, имеют два из
приведенных
предела
5 х2 − 4х + 3
lim 2
х→4 х − 16
2х2 + 7х
lim
х→∞ 1 − х2
2sinx
x0 х
sin 2x
x0 2x
х−6
х→∞ 18 + х
lim
4
6х − 8
х→∞ 5 − 2х
5 − 2х2 + 4х
lim
х→∞ х2 − х + 3
1
3
∞
sin2 x
x0
x
sin x
x0 x
lim
1
lim
lim
г
lim
lim
12 − 2х + 3х2
3х2 + х − 9
х2 + 2х − 1
lim
lim
х→∞ 3х2 + 5х + 1 х→∞ 3х + х2
х→∞ 2х3 − х2 + 1
lim
∞
0
3
15
6
6 13х4 + 4х − 9
lim
х→∞
9х4 − 16
7
7 10х4 + 3х
lim
х→∞ 7х12 + 2
8
8 10х4 + 3х − 7
lim
х→∞
7х2 + 12
9
9 sin 6х
lim
х→0
2х
равен
10
х
1
3 6
lim (1 + )
х→∞
2х
равен
∞
0
∞
0
13
9
−9
16
10
7
7
10
10
7
0
∞
13
19
3
2
6
1
3
√е
е6
е2
е
Вариант 4
Выберите правильный ответ:
Задание
№
а
1
2
3
4
5
Значение,
1
равное
-3, имеют два из
приведенных
ниже пределов.
Укажите не
менее двух
вариантов ответа
Значение
2
предела lim 5
Варианты ответов
в
г
3х4 − 2х2
lim
х→∞ 2х − х4
х2 + 5х − 1
lim
х→∞ 1 − 3х2
6х − 8
х→∞ 5 − 2х
5 + 3х2 + 2х
lim
х→∞ х2 + х − 4
0
11
5
5
11
sin 10x
x0
2x
sinx
x0 х
sin x
x0 5x
sin x
x0 0,2x
6х7 − 1
х→∞ 18 + 3х7
2 − 2х + х2
х→∞ х2 + 5х + 1
2х2 + х − 9
х→∞ 3х + х2
2х2 + 2х − 1
х→∞ 2х3 − х2 + 1
1
∞
-1
12
16
х→11
равно
Два
3 предела,
значения
которых равны
5, это… Укажите
не менее двух
вариантов ответа
Значение,
4
равное
2, имеют два из
приведенных
предела
5 х2 − 12х + 4
lim
х→∞
х2 − 16
равен
б
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
16
6
7
6 1 − х2
lim
х→1 1 − х
равен
7 х2 + 5х − 1
lim
х→∞ 1 − 3х2
1
2
8
∞
1
3
-
-1
∞
1
3
-
равен
9
9 sin 2х
lim
х→0
6х
равен
10
1
3 2х
lim (1 + )
х→∞
х
равен
0
0
равен
8 3х2 + х − х5
lim
х→∞
1 − 3х2
∞
0
2
6
е
√е
е3
2
1
3
1
3
1
3
е3
17
18
VI.
Ответы.
Контрольная работа
В1
В2
1
2
2
5
1
9
−3
7
0
3
4
3
-√5
-1
1
2
5
-
-
1
2
1
6
6
7
6
32
35
3
3
8
9
∞
3
∞
1
2
10
11
∞
1
4
∞
0
12
13
14
0
1
2
3
5
2
1
2
4
5
Тесты.
варианты
ответы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Вариант 1
в, г
в
а, б
а, б
а
г
в
г
б
в
Вариант 2
б, в, г
В
б, в
а, б
В
Б
Б
В
А
Б
Вариант 3
б, г
в
б, в
а, б
б
в
а
в
а
б
Вариант
4
а, в
в
а, г
а, в
а
б
г
в
г
в
VII. Список литературы, используемой для
написания методической разработки
1.
2.
3.
4.
5.
Апанасов П.Т., Орлов М.И. Сборник задач по математике: Учебное пособие
для техникумов. М.: Высшая школа, 1987
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для
техникумов. М.: Высшая школа, 2000
Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики. М.:
Издательский центр «Академия», 2007
Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов М.: Юнита, 2000
Михеев В.С. Краткий справочник по математике. М.: НТЦ
«Техинформпресс», 1996
15
е−3
е−3