Лекция 6. Общие свойства одномерного движения. Интегрирование уравнения одномерного движения. Период финитного движения в произвольном потенциале Одномерным называется движение системы с одной степенью свободы: q1 q t . В самом общем виде функция Лагранжа выглядит так: L q; q; t 1 aqq 2 Uq; t 2 (1) Величина aq - некоторая функция обобщенной координаты q . Уравнение Лагранжа и начальные условия имеют вид: U q; t d ; a q q q dt q t 0 q ; q t 0 q ; 0 0 (2) В общем виде, при произвольной потенциальной энергии U q; t , зависящей как от координаты q , так и от времени t , уравнения Лагранжа (2) аналитически не решаются. Ситуация радикально упрощается, когда потенциальная энергия не зависит явно от времени, т.е. U U q (3) Отличительной чертой стационарного одномерного движения является то обстоятельство, что решение уравнения (2) легко находится в общем виде при произвольной зависимости U q , по крайней мере в квадратурах. Т.к. в этом случае L / t 0 , то E Const и для нахождения закона движения частицы проще всего воспользоваться законом сохранения энергии: 1 aqq 2 Uq E 2 (4) Из уравнения (5.4) находим, что q 2 2 E Uq ; aq dq 2 E Uq . dt aq Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: dt aq dq 2 E Uq Его общее решение имеет вид: 1 (5) t aq dq C E Uq 1 2 (6) Решение уравнения (6) можно также записать в виде: q t 1 aq dq E U q 2 (7) q0 Если интеграл в формулах (7) удастся вычислить аналитически, то мы получим зависимость t t q; E, С , т.е. закон движения в неявном виде. Если это уравнение удастся ещё и разрешить относительно обобщенной координаты q , то мы получим закон движения частицы в явном виде: q qt ; E, C и задача будет полностью завершена. Роль двух произвольных постоянных в формуле (6) играют полная энергия E и произвольная константа C . Если величина q есть обычная декартова координата qt x t , то величина aq m - масса частицы. В этом случае все полученные выше формулы будут выглядеть так: L x ; x 1 m x 2 Ux 2 (8) Уравнение Лагранжа сводится ко второму закону Ньютона: U x ; mx t x x t 0 x 0 ; x t 0 v 0x ; (9) Закон сохранения энергии теперь выглядит совсем привычным образом: m 2 x Ux E 2 (10) Отсюда находим, что dx 2 E U x , т.е. dt m dt m 2 dx E U x (11) так, что t m 2 Решение уравнения (11) можно также записать в виде: 2 dx C E Ux (12) x dx E U x (13) Ux 0 E0 (14) E Ux 0 (15) m 2 t x0 Здесь E m v0 x 2 v0 x 2 2 m Поскольку кинетическая энергия всегда положительная величина, то из закона сохранения энергии T U E следует, что движение частицы может происходить только в тех областях пространства, где E T U U x (16) Неравенство (16) определяют границы области движения частицы. Корни уравнения E U x (17) определяют истинные точки остановки частицы. В этих точках T 0 и, следовательно, x v x 0 . Если область движения ограничена двумя точками остановки, то движение происходит между этими точками в ограниченной области пространства. Такое движение называется финитным движением. Если же область движения ограничена с одной стороны одной точкой остановки (или вообще не ограничена), то такое движение называется инфинитным. При инфинитном движении частица уходит ность. на U(x) бесконеч- Рассмотрим, A C B например, зависимость C E U x , изображенную на рисунке. Проведя на U(x) этом рисунке горизонE тальную прямую, соответствующую заданному значению полной xA xB энергии E , можно сра3 xC x зу определить точки остановки (A, B и C) и области доступного движения. На нашем рисунке область доступного финитного движения, это движение в «потенциальной яме» AB , между точками остановки x A и x B . Область доступного инфинитного движения это область x x C . Достигнув точки x C , частица останавливается. В точке x C на частицу действует сила Fx U / x x x 0 , которая заставляет изменить направление C движения частицы и частица тут же начинает двигаться вправо, в область x x C . Вычисление периода одномерных колебаний Одномерное финитное движение всегда является колебательным. Частица совершает периодически повторяющиеся движения между двумя точками остановки x A и x B . При этом время движения от x A к x B и обратно, от x B к x A одно и тоже и равно половине периода колебаний. Выберем за начало отсчета времени тот момент, когда частица находилась в крайней левой точке x A . Тогда x B E T E 2 m 2 x A E dx E Ux (18) Координаты точек остановки x A и x B , U(x) определяемые из уравнения (17), зависят от энергии E . Рассмотрим простой пример. Вычислим с помощью формулы (18) период и собственную частоту 0 гармонических колебаний тела m на пружине жесткостью E , если задана энергия системы E 0 . Т.к. потенциальная энергия пружины Ux x 2 / 2, то формула (18) принимает вид: 4 x2 m T E 2 2 x2 dx E x / 2 2 2 m 2E dx 1 / 2Ex 2 / x1 x1 Точки остановки x 1 2E / и x 2 ния y 2E / . Делая замену переменной интегрирова- / 2E x , приводим интеграл к виду T E 2 В результате имеем: m m ; T 2 1 1 dy 1 y2 0 2 T 2 m ar csin y11 , . m Видим, что в поле Ux x / 2, период колебаний не зависит от энергии системы. Не труд2 но сообразить, что амплитуда колебаний зависит от энергии и определяется по формуле: A x 2 E 2E / 1/ 0 2E / m . 5