Операции наращения и дисконтирования.

Экономическая математика
 Экономическая математика изучает
основные методы экономики.
 Экономика – теория достижения цели в
условиях ограниченных ресурсов.
 Три основных направления экономической
теории:
 неоклассическое, неолиберальное,
неокейнсианство (регулируемая
экономика).
Характеристика экономических
направлений
 «Экономика для все всех» Роберт
Хейлбронер, Лестер Туроу.
 Три великих экономиста:
 Адам Смит – основоположник
либерализма,
 Карл Маркс – теория эволюции экономики
и кризисов,
 Джон Мейнард Кейнс – теория
регулируемого рынка.
Экономическая философия и
прикладная экономика
 У. Баумоль «Чего не знал Альфред
Маршалл: вклад XX столетия в
экономическую теорию»
 Прикладная экономика использует не
только качественные но и количественные
модели.
Экономико-математические методы
академик B.C. Немчинов
 Математическая статистика.
Математическая экономия и эконометрия,
квалиметрия.
Методы принятия оптимальных решений,
включая исследование операций
Экономическая кибернетика: системный анализ,
теория
экономической
информации,
экономическая семиотика.
Методы
экспериментального
изучения
экономических явлений
Нобелевские премии по
экономике.
1969 Фриш / Тинберген (1969) • Самуэльсон (1970) • Кузнец (1971)
— • Хикс / Эрроу (1972) • Леонтьев (1973) • Мюрдаль / Хайек (1974)
1975 • Канторович / Купманс (1975)
Фридман (1976) • Олин / Мид (1977) • Саймон (1978)
• Шульц / Льюис (1979) • Клейн (1980) • Тобин (1981)
• Стиглер (1982) • Дебрё (1983) • Стоун (1984) •Модильяни (1985)
1976 • Бьюкенен (1986) • Солоу (1987) • Алле (1988)
Хекман / Макфадден (2000)
— • Хаавельмо (1989) • Марковиц / Миллер / Шарп (1990)
Акерлоф
Стиглиц (2001)
2000 • Коуз (1991) • Беккер (1992)
•Фогель/ Спенс
/ Норт /(1993)
• Канеман
/ Смит
(2002)
• Харсани / Нэш / Зелтен (1994)
• Лукас
(1995)
Ингл / Грэнджер
(2003)• Сен (1998)
• Миррлис / Викри (1996) ••Мертон
/ Скоулз (1997)
/ Прескотт
• Манделл (1999) •Хекман •/ Кидланд
Макфадден
(2000) (2004)
• Ауман / Шеллинг (2005)
• Фелпс (2006)
2001—2025
•Гурвиц / Мэскин / Майерсон (2007)
• Кругман (2008)
• Уильямсон / Остром (2009)
Нобелевские премии 2001 - 2013
Хекман / Макфадден (2000)
Акерлоф / Спенс / Стиглиц (2001)
• Канеман / Смит (2002)
• Ингл / Грэнджер (2003)
• Кидланд / Прескотт (2004)
• Ауман / Шеллинг (2005) • Фелпс (2006)
2001—2025 •Гурвиц / Мэскин / Майерсон (2007)
• Кругман (2008)
• Уильямсон / Остром (2009)
• Даймонд / Мортенсен / Писсаридес (2010
) • Сарджент / Симс (2011)
•Шепли / Рот (2012)
Финансовая математика
( актуарные расчеты)
Финансовая экономика – роль
банковского сектора.
Финансовая математика
Финансовая математика подразделяется на:
 Финансовую арифметику. Занимается
количественным анализом финансовых
операций без учета случайных колебаний
цен, курсов валют, инфляции.
 Финансовая стохастика (стохастическая
финансовая математика) – изучает
влияние колебаний выше перечисленных
факторов на финансовые операции
Финансовая арифметика
1. Временная стоимость денег
Операции наращения и
дисконтирования.
Темп прироста (ставка наращения)
 Прирост за один период
FV - PV
r t  
PV
Темп снижения (ставка дисконта)
 Снижение за один период
FV - PV
dt  
FV
Взаимосвязь показателей
 Величина ставки
 Величина дисконта
r t 
d t 
d t  
r t  
1  r t 
1 - d t 
Формула наращения
(compounding)
FV  PV  PVr t 
или
FV  PV 1  r 
Формула дисконтирования
(discount)
 Настоящая стоимость будущего денежного
вложения
PV  FV 1  d 
Простой, сложный,
внутригодовой и
непрерывный проценты .
Различные способы начисления
процентов.
Схема простых процентов
(simple interest):
 Будущая стоимость за n - периодов
Fn  P  Pr  ...  Pr 
 P1  nr 
Схема сложных процентов
(compound interest):
 размер инвестированного капитала к концу
первого года будет равен:
F  P  Pr  P1  r 
1
к концу второго года:
 Будущая стоимость денег
F2  F1  F1r 
 P1  r 1  r  
 P1  r 
2
к концу n-го года:
F  P1  r 
n
n
или
F  PFM1r, n 
n
факторный множитель
 Величина окончательной суммы
получается умножением начальной суммы
на факторный множитель
FM1r, n   1  r 
n
Оценка настоящей (приведенной)
стоимости денег.
Базовая расчетная формула
F
P
1  r 
n
n
Внутригодовые процентные начисления
(m – число начислений в году).
 r – номинальная ставка (nominal rate),
 n – число лет
r 

Fn  P1  
m

nm
Вложено в банк 5млн уе под 10% на два
года, с полугодовым начислением
Период
Сумма, с которой
идет начисление
Ставка, в
долях
единицы
Сумма к
концу
периода
6
месяцев
12
месяцев
5,0
1,05
5,25
5,25
1,05
5,5125
18
месяцев
5,5125
1,05
5,788125
5,788125
1,05
6,077531
24
месяца
Если пользоваться формулой,
то m = 2, n = 2
 При разбиении периода начисления
процент увеличивается.
 0,1 
Fn  5 * 1  
2 

2*2

 5 * 1,05  6,077531
4
Наращение за год при
внутригодовых процентах.
 m - число внутригодовых начислений процентов
 r – номинальная годовая ставка
 r
F1  P1  
 m
m
Определения эффективной
годовой процентной ставки
 r(e) – определяется из условия равенства
наращения за год при внутригодовых
начислениях значению наращения при одно
годовом наращении
r m
P(1 
)

m
 P1  r e 
Сравнивая две формулы, получаем:
 r(e) - величина эффективного годового
процента (effective rate)
r

r(e)  1    1
 m
m
Пример:
Предприниматель может получить ссуду
 а) на условиях ежеквартального
начисления процентов из расчета 7,5%
годовых;
 б) или на условиях полугодового
начисления процентов из расчета 8%
годовых.
Какой вариант предпочтительней?
Расчет примера
 а)
 0,075 
r(e)  1 
  1  0,077
4 

 б)
 0,08 
r(e)  1 
  1  0,082
2 

4
2
Эквивалентные ставки
 Номинальные ставки r1, r2 называются
эквивалентными, если при разном числе
внутригодовых наращиваний они дают одну и туже
эффективную ставку.
m
m

r  1 
r  2
2
1  1 


 1
 1  r ( e)
 m 
 m 
1
2


Потоки платежей
(cash flows stream)
 Ряд платежей называется потоком платежей
(cash flows stream)
 Один платеж и потока называется членом потока
(cash flow)
 Поток, все члены которого – положительны, а
интервалы между платежами одинаковы,
называют финансовой рентой (rent)
 Часто поток платежей называют аннуитетом
(annuity), что, строго говоря, применимо только к
ежегодным выплатам.
Классификация рент (аннуитетов)
 По регулярности выплат: определенные и
случайные.
 По времени выплаты платежа:
обыкновенные аннуитеты (постнумерандо,
ordinary annuity), полагающимся
аннуитетом (преднумерандо, annuity due),
 Выделяют общие аннуитеты и, как
частный случай, отсроченные аннуитеты.
Оценка денежных потоков.
может осуществляться в рамках решения
двух задач:
 прямой, т.е. проводится оценка с позиции
будущего (реализуется схема наращения);
 обратной, т.е. проводится оценка с
позиции настоящего (реализуется схема
дисконтирования).
Прямая задача оценки ренты
 Прямая задача предполагает суммарную
оценку наращенного денежного потока,
т.е. в его основе лежит будущая
стоимость.
FV  P1  r 
n
Обратная задача оценки ренты
 Обратная задача предполагает
суммарную оценку дисконтированного
(приведенного) денежного потока.
PV 
Fn
1  r 
n
Денежный поток с неравными
поступлениями.
с позиции будущего (прямая задача)
FV   Fn 1  r 
n
или
FV   Fn FM1r, n 
C позиции текущего момента
(обратная задача)
F
PV  
1  r 
n
n
 В EXCEL это вставленные функции
FV и PV
дисконтирующий множитель
1
 FM2(r, n)
1  r 
n
тогда
PV   Fn FM2r, n 
Пример:
Год
1
2
3
4
итого
FM2(r,n) Приведен
Денежный
при r =
ный
поток
12%
поток
12
0,8929
10,71
15
0,7972
11,96
9
0,7118
6,41
25
0,6355
15,89
61
44,97

Срочный аннуитет.
Срочным аннуитетом
называется денежный поток с
равными поступлениями в
течение ограниченного
промежутка времени.
Схемы начисления процентов
Схема постнумерандо
(ordinary annuity)
 Означает, что начисление процентов
осуществляется в конце периода.
Схема преднумерандо (annuity due)
 Означает, что проценты начисляются в
начале периода
Прямая задача (постнумерандо)
n1
FV  A 1  r 
 1  r 
n 1
может быть
записана как дисконтирующий
множитель FM3(r,n)
Сокращенный вид записи
Тогда формула приобретает следующий вид
FV  AFM3r, n 
.
Прямая задача преднумерандо
Значение суммарного денежного потока с учетом
наращения поступлений.


1  r   1
FV  A(1  r)
n
r
Обратная задача оценки срочного
аннуитета постнумерандо
Определения настоящей стоимости будущих
периодических выплат
1
PV  A 
1  r 
n
Множитель при A (величине периодических
выплат)
1

1  r 
n
может быть
записана как
факторный множитель FM4(r,n)
Формула настоящей стоимости
 Тогда формула приобретает следующий
вид
PV  AFM4r, n 
Бессрочный аннуитет (вечная
рента).
 денежные поступления
продолжаются достаточно
длительное время (в западной
практике 50 лет и более). В этом
случае прямая задача смысла не
имеет.
Бессрочный аннуитет (вечная рента)
обратная задача
Расчет настоящей стоимости бессрочных
периодических выплат
A
PV 
r
Капитализированная стоимость
активов
 Капитализированная стоимость актива К
равна сумме первоначальной стоимости С
и величине вечной ренты А/r
K= C+A/r
Методы оценки эффективности
инвестиционных проектов
 Методы, основанные на учетных
оценках (бухгалтерский метод)
 Методы, основанные на
дисконтированных оценках
Методы, основанные на
учетных оценках
 Расчет срока окупаемости
инвестиции (payback, payout
period)
 Расчет коэффициента
эффективности инвестиции
(удельная отдача вложений),
(profit to investment ratio).
Метод определения срока
окупаемости инвестиций
Pay back
инвестиции
PB 
годовая чистая прибыль
Неравномерное распределение
прибыли по годам, проект I
Год
1
2
3
4
5
Итого
Ежегодный Кумулятивный
доход
доход
8
8
10
18
12
30
15
45
17
62
62
Неравномерное распределение
прибыли по годам, проект II
Год
1
2
3
4
5
Итого
Ежегодный
доход
17
15
12
10
8
62
Кумулятивный
доход
17
32
44
54
62
Сравнение проектов с различным
распределением дохода по годам
Год
1
2
3
4
5
Итого
Ежегодный доход
Проект I
8
10
12
15
17
62
Проект II
17
15
12
10
8
62
Коэффициент эффективности
инвестиций
Benefit-cost ratio, profit to
investment ratio
чистая прибыль за период
эксплуатации объекта
BCR 
сумма инвестиций
Методы, основанные на
дисконтированных оценках
 Расчет чистого приведенного
эффекта (net present value)
 Расчет индекса рентабельности
инвестиции (present value index)
 Расчет внутренней нормы
рентабельности инвестиции (internal
rate of return)
 Дисконтный срок окупаемости
(discounted payback method)
Чистый приведенный эффект
Net present value
Fn
NPV  

I
n
1  r 
Индекс рентабельности инвестиций
Present value index
Fn
PI  
:
I
n
1  r 
Внутренняя норма рентабельности
инвестиции
Internal rate of return
Найти индекс
IRR  r
при котором
NPV  0
Дисконтный срок окупаемости
 Discounted payback method
PFM4(n,i)-K=0 или PV – K=0