х=4

Введение.
Практика вступительных экзаменов по математике показывает, что задачи с
параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность как в логическом, так
и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет
успешную сдачу экзамена.
В задачах с параметрами наряду с неизвестными величинами фигурируют величины,
численные значения которых хотя и не указаны конкретно, но считаются известными и
заданными на некотором числовом множестве. При этом параметры, входящие в
условие, существенно влияют на логический и технический ход решения и форму
ответа. В этом смысле не всякая задача, в условии которой формально присутствуют
параметры («буквы»), является задачей с параметрами.
Основная цель настоящего пособия – повысить математическую культуру читателя в
рамках школьного курса математики.
Значения параметров и искомых величин в пособии считаются действительными
(вещественными). Кратные корни многочленов считаются одним корнем, если речь
идет о числе корней. Значения параметров, при которых задача не имеет смысла,
включены в число тех значений, при которых она не имеет решений. В ряде случаев
опускаются промежуточные этапы решения, которые читатель без затруднений может
восстановить сам. Для большей наглядности на некоторых рисунках масштаб на
разных осях систем координат выбирается различным.
Пособие рассчитано на учащихся старших классов, а также лиц, самостоятельно
готовящихся к конкурсным экзаменам по математике. Будет полезно всем, кто
интересуется элементарной математикой.
Предисловие.
Чаще всего встречаются две постановки задач с параметрами. Первая – для каждого значения
параметра найти все решения заданного уравнения или неравенства. Вторая постановка –
найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения или неравенства
удовлетворяют заданным условиям.
Решение уравнений и неравенств с параметрами.
Решить уравнение с параметром – значит для каждого значения параметра найти множество
всех корней заданного уравнения.
Основной принцип решения параметрических уравнений: необходимо разбить область
изменения параметра на участки, такие, что при изменении параметра в каждом из них,
получающиеся уравнения можно решить одним и тем же методом.
Отдельно для каждого участка находятся корни уравнения, выраженные через значения
параметра.
Используемые для этого приемы в точности таковы, как и при решении уравнений с
постоянными коэффициентами. Поскольку каждый из методов представляет собой
последовательность
определенных действий,
которые могут выполняться по разному в
зависимости от значений параметра, то выбранные первоначально участки его изменения в
процессе решения могут дробиться с тем, чтобы на каждом из них рассуждения проводились
единообразно. Ответ задачи состоит из списка участков изменения параметра с указанием для
каждого участка всех корней уравнения.
Решить неравенство с параметром – значит для любого допустимого значения параметра
найти множество всех решений заданного неравенства. При решении параметрических
неравенств используется тот же принцип, что и при решении параметрических уравнений.
Графическое представление уравнения или системы уравнений с параметром обладает
несколькими несомненными преимуществами: во-первых, построив график (графики), можно
определить, как влияет на них и, соответственно, на решение уравнения изменение параметра; вовторых, график подчас позволяет аналитически сформулировать необходимые и достаточные
условия для решения поставленной задачи.
В зависимости от того какая роль параметру отводится в задаче (неравноправная или
равноправная с переменной), можно соответственно выделить два основных графических приёма:
первый- построение графического образа на координатной плоскости (х; у), второй – на (х;а).
x4
=ax
Задача сводится к нахождению абсцисс точек пересечения графика
функции у=
и семейства прямых у=ах
х-4  0
или
х-4<0
х-4=ах
4-х=ах
х  -4
х<4
4
х= 1  а
4
х = а 1
x4
У
1)если а<-1, то уравнение имеет
1 решение 4
х=
а 1
х
2) если а=-1, то уравнение не имеет решений
3) если -1<а<0, то уравнение не имеет решений
4) если а=0, то х=4
5) если 0<a<1, то уравнение имеет 2 решения
х=
4
1 а
х=
4
а 1
6) если а=1, то уравнение имеет 1 решение
х=
4
а 1
7) если а>1, то уравнение имеет 1 решение
х=
4
а 1
4
а 1
2) если -1  а  0 , то решений нет
Ответ: 1) если а<-1,то х=
3) если а=0, то х=4
4) если 0<а<1, то х=
5) если а 1 , то х=
4
а 1
; х=
4
1 а
4
а 1
№2 Решить неравенство:
х  5 < bх
Рассмотрим уравнение: х  5= bх
Задача сводится к нахождению абсцисс точек пересечения графика функции
у= х  5 и семейства прямых у=bх
у= х  5
х+5  0
х  5 = bх
х  5
х=
5
b 1
или
х+5<0
-х-5=bх
х<-5
х=-
5
b 1
у
х
1) если b<-1, то
х=
5
b 1
2) если b=-1, то
х=
5
в 1
3)если -1<b <0,то
х=-
5
5
; х=
b 1
b 1
4) если b=0, то х=-5
5) если 0<b<1, то решений нет
6)если b=1, то решений нет
5
7) если b>1, то х=
b 1
Ответ: 1) если b  1 , то х=
5
b 1
2) если -1<b<0, то х=-
5
;
b 1
3) если b =0, то х=-5
4) если 0<b  1 , то решений нет
5) если b>1, то х=
5
b 1
х=
5
b 1
№3
х х  2 -а=0
а= х х  2
Задача сводится к нахождению абсцисс точек пересечения графика функции у=
х х  2 и семейства прямых у=а
у= х х  2
х-2  0
или
у=х(х-2)
х-2<0
у=х(2-х)
х 2
у=х 2 -2х
х<2
у=-х 2 +2х
у= х 2 -2х- квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены
вверх
m=-
b
2
= =1
2a 2
n=1-2=-1
y=a-прямая
1) если а<0, то уравнение имеет 1 решение
- х 2 +2х=а
х 2 -2х+а=0
Д=1-а
х=1- 1  а
2) если а=0, то уравнение имеет 2 решения
х=0 х=2
3) если 0<a<1, то уравнение имеет 3 решения
х=1- 1  а
х 2 -2х=а
х=1+ 1  а
Д=1+а
х=1+ 1  а
y=a(a=1)
у
y=a(a>1)
y=a(0<a<1)
х
y=a(a<0)
y=a(a=0)
4) если а=1, то уравнение имеет 2 решения
х=1
х=1+ 1  а =1+ 2
5) если а>1, то уравнение имеет 1 решение
х=1+ 1  а
Ответ: 1) а<0, х=1- 1  а
2)а=0, х=0 х=2
3) 0<a<1, х=1- 1  а
х=1+ 1  а
х=1+ 1  а
4)а=1, х=1
х=1+ 2
5) а>1, х=1+ 1  а
№4
х 2 -5х+4 +а<0
а<- х 2 -5х+4
а =- х 2 -5х+4
Задача сводится к нахождению абсцисс точек пересечения графика функции
=- х 2 -5х+4 и семейства прямых у=а
у =- х 2 -5х+4
у=х 2 -5х+4- квадратичная
направлены вверх
m=
функция,
графиком
5
2
2
5
9
5
n=   -5* +4=2
4
2
Пересечение с осями:
является
парабола,
у
ветви
а)с осью Ох(у=0): х 2 -5х+4=0
х=1
х=4
(1;0) (4;0)
б) с осью Оу(х=0) у=4
у
(0;4)
y=a(a>0)
y=a(a=0)
х
y=a(-2.25<a<0)
y=a(a=-2.25)
y=a(a<-2.25)
-х 2 +5х-4=а
х 2 -5х+4+а=0
Д=9-4а
х 2 -5х+4=а
х 2 -5х+4-а=0
Д=9+4а
х=
5  9  4а
2
х=
5  9  4а
2
х=
5  9  4а
2
х=
5  9  4а
2
Ответ:1) если а<-
 5  9  4а 5  9  4а
9
, то х 
;
4
2
2


9
4
2) если а=- , то х 
3)
5  9  4а
2
если

9
4
- <a<0,
5  9  4а 5
;
2
2
то



4) если а=0, то х=1, х=4
5) если а>0, то решений нет





  


5 5  9  4а
;
2
2
 5  9  4а 5  9  4а
;
2
2

х 



  5  9  4а
  
;
2
 
№5
2 х  а + х  2а =20 (*)
Построим в плоскости хОа прямые заданные уравнениями 2х+а=0 и х-2а=0
а=-2х
а
2
( х=- )
а
a>8
х=20-3а
a=8
4<a<8
Д2
Д3
a=4
-4<a<4
х
a=-4
-8<a<4
Д1
Д4
х=-3а-20
а=
х
2
(х=2а)
Прямые разбивают плоскость хОа на области: Д 1 ; Д 2 ; Д 3 ; Д 4
С учётом разбиения хОа на области, составим таблицу
Область
знак:
2х+а
знак: х-2а
Д- 1
Д-2
Д-3
+
+
-
+
-
-
Д-4
+
В каждой из областей произвольно выберем по одной точки и подставим
выбранное значение (х;а) в выражение стоящее под каждым модулем и
определим знаки.
Д 1 :(3;0)
Д 2 :(0;3)
Д 3 :(-3;0)
Д 4 :(0;-3)
В каждой из областей уравнение (*) примет вид:
1) В области Д 1 уравнение примет вид
2х+а+х-2а=20
3х-а=20
а=3х-20
х=
20  а
3
2)В области Д 2 уравнение примет вид
2х+а-х+2а=20
х=20-3а
а=
20  х
3
х=20-3а
3) В области Д 3 уравнение примет вид
-2х-а-х+2а=20
-3х+а=20
а=20+3х
х=
а  20
3
4)В области Д 4 уравнение примет вид
-2х-а+х-2а=20
х=-3а-20
 х  20
3
х
Д 1 : a=3x-20 a=
2
а=
3x-20=
х
2
a=-2x
3x-20=-2x
x=8
a=4
20  х
3
20  х
х
=
3
2
x=4
a=-8
х
a=-2x
2
20  х
=-2x
3
Д 2 : a=
a=
x=8
a=4
x=-4
a=8
Д 3 : a=20+3x
20+3x =
х
2
a=
х
2
a=-2x
20+3x =-2x
x=-8
a=-4
x=-4
a=8
 х  20
3
 х  20
х
=
3
2
Д 4 : a=
х
a=-2x
2
 х  20
=-2x
3
a=
x=-8
x=4
a=-4
a=-8
Рассмотрим пересечения прямой а=с, с R с построенным множеством, абсциссы
точек пересечения этих прямых с построенным множеством и дадут решение
уравнения (*)
Ответ: 1) а<-8, то решений нет
2) а=-8, то х=4
3)-8<a<-4, то х=-3а-20
20  а
3
20  а
4) а=-4, то х=-8 х=
3
а  20
20  а
5)-4<a<4, то
х=
х=
3
3
а  20
6) а=4 , то х=4 х=
3
а  20
7) 4<a<8 , то х=
х=20-3а
3
х=
8)а=8 , то х=-4
9) а>8, то решений нет
№6
х  а + х  2 +а-4  0 (1)
х  а + х  2 +а-4=0
В плоскости хОа определим какую кривую задаёт это уравнение
х=а
х=2
Эти прямые х=а, х=2 разбивают плоскость на области
a
x
Составим таблицу знаков
Область
Д- 1
Д-2
Д-3
знак: х-а
-
+
+
знак: х-а
+
+
-
Д-4
-
Область  -х+а+х-2+а-4=0
а=0
Область II х-а+х-2+а-4=0
х=3
Область III х-а-х+2+а-4=0
-2  0 - решений нет
Область IV -х+а-х+2+а-4=0
а=1+х
х=а-1
a
x
I
Это ломанная разбивает хОа на две области , в каждой из этих областей
произвольно выберем по одной точке, подставим а неравенство (1) выбранное
значение (х;а), получим:
I (2;1)
2  1 + 2  2 +1-4  0
-2  0
II (4;6)
4  6 + 4  2 +6-4  0
2  0 - неверно
Множество точек на плоскости хОа с фиксированным а , образует
горизонтальную прямую, решением исходного неравенства будет абсциссы тех
точек, которые принадлежат пересечению этой прямой заштрихованными
областями.
1) если а (-  ;3], то х [a-1;3]
2) если а  (3;+  ),то решений нет.
Аналитический метод.
Квадратный трехчлен, расположение корней квадратного трехчлена.
ƒ
2
(
x
)
=
a
x
+bx+c
(a≠0)
a>0
a<0
D<0
D>0
D=0
D<0
D=0
Теорема Виета:
x1+x2= x1  x2=
x
D>0
в
а
с
а
D0
Теорема 1.
а) Чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели
одинаковые знаки необходимо и достаточно:
D0
с
а
x1  x2= >0
x
1) оба корня положительные, если
в
а
x1+x2= - >0
с
а
x1  x2= >0
2) оба корня отрицательные, если:
в
а
x1+x2= - <0
Теорема 2.
а) чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели
разные знаки необходимо и достаточно:
D>0
с
а
x1  x2= <0
1) Если положительный корень имеет большую абсолютную величину, то
D>0
в
а
x1+x2= - >0
с
а
x1  x2= <0
2) Если отрицательный корень имеет большую абсолютную величину, то
D>0
в
а
x1+x2= - <0
с
а
x1  x2= <0
Теорема 3.
Оба корня меньше x0.
2
ƒ
+bx+c
(
x
)
=
a
x
a>0
a<0
X0
X0
x
X1
x
X2
X1
a>0
D0
ƒ(x0)>0
xв>x0
X2
a<0
D0
ƒ(x0)>0
xв>x0
Теорема 4. Корни больше x0.
a>0
a<0
X0
X0
x
X1
X2
x
X1
X2
a>0
D0
ƒ(x0)>0
xв>x0
a<0
D0
ƒ(x0)<0
xв>x0
Теорема 5. x1<x0<x2
a>0
a<0
X0
X0
x
X1
x
X2
X1
X2
a>0
ƒ( 0)<0
a<0
ƒ( 0)>0
x
x
Следствия:
1. M<x1≤x2<A
a>0
M
a<0
M
A
A
x
X1
X2
x
X1
X2
a>0
D0
ƒ(A)>0
ƒ
(
M
)
>
a<0
D0
ƒ
0
(
ƒ
M<xв<A
A
(
)
M
<
)
0
<
0
M< xв<A
2. x1<M< x2<A
a>0
a<0
M
M
A
A
x
X1
X2
x
X1
X2
a>0
ƒ(A)>0
ƒ
(
M
)
<
a<0
ƒ
0
3. M < x1< A< x2
a>0
(
ƒ
a<0
A
(
)
M
<
)
0
>
0
M
M
A
A
x
X1
x
X2
X1
X2
a>0
ƒ(A)>0
ƒ
4.
(
M
)
<
a<0
ƒ
0
(
ƒ
x1< M< A< x2
a>0
A
(
)
M
<
)
0
>
0
a<0
MAM
MAMA
x
X1
X2
x
X1
X2
a>0
ƒ(M)<0
ƒ
(
A
)
<
a<0
ƒ
0
ƒ
(
(
M
A
)
)
>
>
0
0
Пример №1. При каких вещественных а корень уравнения x2-3ax+a2=0,
таковы, что сумма их квадратов была равна
x2-3ax+a2=0
7
.
4
D≥0
x1+ x2=3a
x1* x2=a2
x12+2 x1* x2+x22
7
+2a2=9a2
4
7
-7a2+ =0
4
1
1
7( +a)( -a)=0
2
2
1
1
a=
a=2
2
D=9a2 - 4a2≥0
5a2≥0
Ответ: a=
1
2
a=-
1
2
Пример №2.
Для каждого а решить неравенство ax2+(a+1)x+1>0
1) a=0 x+1>0 x>-1 x  (-1;+  )
2) a≠1 a>0
 a 1
- сумма коэфицентов на нечетных местах;
a
1
x1*x2= - сумма коэфицентов на четных местах;
а
1
x1=-1 x2= 
а
x1+x2=
а)
+
+
X1
x
X2
1
а
1- >0
а 1
>0
а
a>0
a>1
1
а
если а>1 x (-  ;-1)  (- ;+  )
X1=X2
X
1
а
1
а
б) а>0; -1=- ; 1= ; a=1
X1=X2
x  (-  ;-1)  (-1;+  )
в)
+
-
+
1
1 а
>1;
>0
а
а
1
<-1;
а
a<1
x
X1
X2
1
а
если 0<a<1, то x (-  ;- )  (-1;+  )
3)если а<0
+
x
X1
X2
1
а
- >0
1
а
x (-1; - )
1
а
Ответ: если а<0 то x (-1; - );
если a=0, то x (-1;+  );
1
а
если 0<a<1, то x (-  ;- )  (-1;+  );
если a=1, то x (-  ;-1)  (-1;+  );
1
а
если а>1 x  (-  ;-1)  (- ;+  ).
Параметр как неизвестная величина.
Некоторые уравнения и неравенства с параметром бывает целеобразно
решать рассматривая их как уравнения и неравенства именно относительно
параметра, фигурирующего в условии, а не относительно искомой
переменной. Этот путь эффективен, в частности, в тех случаях, когда
степень переменной относительно высока, а наибольшая степень параметра
равна двум.
Пример № 1. Решить уравнение с параметром.
2х3-(а+2)х2-ах+а2=0
2х3-ах2-2х2-ах+а2=0
а2-а(х2+х)-2х2+2х3=0 Данное уравнение можно рассматривать как
квадратное относительно параметра а.
D=(х2+х)2-4(-2х2+2х3)=x4+2x3+x2+8x2-8x3= x4-6x3+9x2=( x2-3x)2 D≥0
х 2  х  х 2  3х
 2х
2
х 2  х  х 2  3х 2 х 2  2 х
2

 x -x
a2 =
2
2
a1 =
a=2x
а
х=
2
a= x2-x
x2-x-a=0
D=1+4a
X1=
1  1  4а
2
X2=
1  1  4а
2
Ответ:
a)Если 1+4а>0
1
4
а
2
a>- , то уравнение имеет три корня х= ;
1  1  4а
1  1  4а
;х=
;
2
2
1
1
1
б) если а=- , то х= х=- ;
4
8
2
х=
1
4
в) если a>- , уравнение имеет один корень.
Пример №2. Для каждого неотрицательного значения параметра а решить
неравенство:
а3х4+6а2х2-х+9а+3≥0
1) если а=0; -х+3≥0 х≤0;
2) если а>0, то а4х4+6а3х2-ха+9а2+3а≥0
ах=р; р4+6ар2-р+9а2+3а≥0
9а2+3а(1+2р2)+р4-р≥0
D=9(4p4+4p2+1)=9*4(p2-p)=9(2p2+1)2
 3(1  2 р 2 )  3(2 р  1)  6  6 р 2  6 р
1 р2  р


18
18
3
2
2
 3  6 р  3р  3 р  р

a2 =
18
3
2
2
1 р  р
р р
)0
9(a+
)(a3
3
1 р2  р
9(3а  р  р 2 )
0
Т.к. а>0 то а+
>0 значит
3
3
a1 =
р2-р+3а≥0; т.к . а>0, и р=ах
а2х2-ах+3а≥0
ах2-х+3≥0
a>0
D<0
D=1-12a
X1=
D=0
Х1
Х2
х
D>0
1  1  12а
1  1  12а
; x2 =
;
2а
2а
1
12
1  1  12а
1  1  12а
x  (;
] [
;+  )
2а
2а
1
б) если 1-12а=0 12а=1 а = ; D=0
12
1
 6 x  R;
x=
1
2*
12
1
в) D<0 1-12a<0 a> ;
12
Ответ: если а=0 х  (- ;3 ];
a)D>0 1-12a>1 12a<1; 0<a<
если а (0;
если а [
1  1  12а
1  1  12а
1
), то х (- ;
] [
;+  )$
2а
2а
12
1
;+  ), то х R.
12
Использование монотонности функции.
Если на некотором промежутке непрерывная функция ƒ(х) монотонно
возрастает, а непрерывная функция g(x) монотонно убывает, то на этом
промежутке уравнение ƒ(х)= g(x) имеет не более 1 решения.
Пример №1. Найти все значения параметра р, при которых уравнение
(2р+3)х2+(р+3)х+1=0, имеет хотя бы один корень и число различных корней
этого уравнения равно числу различных корней уравнения (*).
2х  1

21  р
1
х3 3
(*) р≠21
2р+3=0
1.
р=-1,5
1,5х+1=0
х= 
10
2

уравнение имеет один корень.
15
3
2) 2р+3≠0 р≠-1,5
D= p2-6p+9-8p-12=p2-2p-3
a) D=0 p2-2p-3=0
D=4+12=16
P1=
24
 3 p2=-1 уравнение имеет два равных корня.
2
Б) D>0
p  ( : 1)  (3;) уравнение имеет два разных корня.
2.
2х  1

21  р
1
х-3≥0 х≥3
х3 3
(2х+1)( х  3  3) -21+р+0
х  3 =t, t≥0
x-3=t2
(2(t2+3)+1)(t+3)-21+p=0
2t3+7t+6t2+21-21+p=0
2t3+6t2 +7t+p=0
Обозначим левую часть за ƒ(
3
ƒ(
+6t2 +7t+p
2
ƒ/
+12t+7=6(t2+2t+1-1)+7=6((t+1)2-1)+7=6(t+1)2-6+7=6(t+1)2+1
ƒ/
при
3
ƒ(
возрастает при любом
+6t2 +7t+p=0 имеет один
корень.
1)
р=-1,5
2t3+6t2 +7t-1,5=0
t≥0
при t=0 ƒ(
при
ƒ(

т.е. соответствует
р=-1,5 уравнение2t3+6t2 +7t+p=0 имеет один корень t≥0 х  3  t ,
значит уравнение имеет один корень.
t
t
t
)
=
2
,
t
(
t
)
=
6
(
t
)
>
0
)
)
t
л
ю
б
о
м
t
;
–
t
t
(
0
t
=
;
1
1
)
0
)
=
-
1
)
=
2
1
,
+
5
6
-
+
7
з
,
1
-
н
,
1
а
5
,
ч
<
5
и
т
у
р
а
в
н
е
н
и
е
2
t
0
=
1
t
3
≥
,
5
1
3
,
5
>
0
0
p
14
2) р=-1
2t3+6t2 +7t-1=0
x
ƒ(
t≥0
-
3
1
0
)
<
=
-
0
1
ƒ
(
1
1
4
)
>
=
1
4
0
2
2t +6t +7t-1=0 один корень t≥0, а значит уравнение (*) имеет 1 корень
3) р=3 2t3+6t2 +7t+3=0
Т.к. t≥0, то уравнение не имеет решений, а значит уравнение (*) не имеет
решений.
Ответ: р=-1,5 р=-1.
Пример № 1(другой способ решения) Найти все значения параметра р, при
которых уравнение (2р+3)х2+(р+3)х+1=0, имеет хотя бы один корень и число
различных корней этого уравнения равно числу различных корней
уравнения (*).
2х  1

21  р
1
х3 3
(*) р≠21
1. 2р+3=0
р=-1,5
1,5х+1=0
х= 
10
2

уравнение имеет один корень.
15
3
2) 2р+3≠0 р≠-1,5
D= p2-6p+9-8p-12=p2-2p-3
a) D=0
p2-2p-3=0
D=4+12=16
P1=
24
 3 p2=-1 уравнение имеет два равных корня.
2
б) D>0
p ( : 1)  (3;) уравнение имеет два разных корня.
(2х+1)( х  3  3) =21-р
р=21-(2х+1)( х  3  3)
D(х)= (3;+  )
В плоскости ХоР построим график р(х)=21-(2х+1)( х  3  3)
2х+1-возрастает на (3;+  ), ( х  3  3) - возрастает, значит, (2х+1)( х  3  3)
тоже возрастает, тогда - (2х+1)( х  3  3) - убывает на (3;+  ), тогда
р
3
х
р(х)- убывающая функция.
если р≤0-один корень, если р>0, то решений нет.
Т.к. из уравнения 1 р=-1,5, и -1,5<0, то р=-1,5 является корнем уравнения (*).
Аналогично р=-1 является корнем уравнения (*), но р=3 больше 0, а значит
не является решением уравнения 1.
Ответ: р=-1,5 р=-1.
Пример №2. Определить число корней уравнения 3х  5 =b- 3х  11 .
3х  5 + 3х  11 =b, обозначим левую часть уравнения за ƒ(х ƒ(х
)
3х  5 + 3х  11 возрастает на D(ƒ
)
=
[
5
; )
3
,
)
=
.
Тогда
ƒ(х)≥
о
д
н
о
г
о
ƒ
5
)
3
(
к
о
р
н
,
ƒ
я
5
) =4 и Е(ƒ
3
(
.
)
П
р
и
b
≥
4
о
н
=
[
е
4
д
;
и

+
н
с
т
в
)
Исходное уравнение имеет не более
.
е
н
е
н
.
Ответ: Если b≥4, то уравнение имеет один корень; если b<0, то корней нет