Сумма событий. Теорема сложения вероятностей несовместных

Сумма событий. Теорема
сложения вероятностей
несовместных событий.
Произведения событий
События
Все задачи курса теории вероятностей связаны с
многократным повторением испытаний и фиксацией результата
испытаний – событий.
Основным интуитивным понятием классической теории
вероятностей является случайное событие. События, которые
могут произойти в результате опыта, можно подразделить на
три вида:
• а) достоверное событие – событие, которое всегда
происходит при проведении опыта;
• б) невозможное событие – событие, которое в результате
опыта произойти не может;
• в) случайное событие – событие, которое может либо
произойти, либо не произойти. Например, при броске игральной
кости достоверным событием является выпадение числа очков,
не превышающего 6, невозможным – выпадение 10 очков, а
случайным – выпадение 3 очков.
Сумма событий
Суммой A + B событий A и B называется
событие, состоящее в появлении события А, или
события В, или обоих этих событий.
Суммой нескольких событий называют событие,
которое состоит в появлении хотя бы одного из этих
событий. Например, событие А + В + С состоит в
появлении одного из следующих событий: А, В, С, А
и В, А и С, В и С, А и В и С.
Пример 1: Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени.
Если событие А – попадание первого стрелка, а событие В – второго,
то сумма А+В – это хотя бы одно попадание при двух выстрелах.
Пример 2: Если при броске игральной кости событием Аi назвать
выпадение i очков, то выпадение нечетного числа очков является
суммой событий А1+А2+А3.
.
Пример 3: Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте
пространство элементарных событий W = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6},
где элементарное событие w i- выпадение i очков. Событие A выпадение четного числа очков, A = {w 2,w 4,w 6}, событие B выпадение числа очков, большего четырех, B = {w 5, w 6}.
Событие A + B = {w 2,w 4, w 5, w 6} состоит в том, что выпало либо
четное число очков, либо число очков большее четырех, т.е.
произошло либо событие A, либо событие B. Очевидно, что A + B W
Пусть события A и В — несовместные,
причем вероятности этих событий известны.
Как найти вероятность того, что наступит
либо событие A, либо событие В? Ответ на
этот вопрос дает теорема сложения.
Теорема сложения вероятностей
несовместных событий
Теорема: Вероятность появления одного из
двух несовместных событий, безразлично
какого, равна сумме вероятностей этих
событий:
P (A + B) = P(A) + P(B).
Доказательство
Введем обозначения: n — общее число возможных
элементарных исходов испытания; m1 — число
исходов, благоприятствующих событию A; m2—
число исходов, благоприятствующих событию В.
Число элементарных исходов, благоприятствующих
наступлению либо события А, либо события В, равно
m1 + m2. Следовательно,
Р (A + В) = (m1 + m2) / n = m1 / n + m2 / n.
Приняв во внимание, что m1 / n = Р (А) и m2 / n = Р
(В), окончательно получим
Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Теорема сложения вероятностей
несовместных событий
Пример: В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых.
Найти вероятность появления цветного шара.
Решение: Появление цветного шара означает появление
либо красного, либо синего шара.
Вероятность появления красного шара (событие А):
P (A) = 10/30 = 1/3.
Вероятность появления синего шара (событие В):
P (В) = 5/30 = 1/6.
События А и В несовместны (появление шара одного цвета
исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема
сложения применима.
По формуле искомая вероятность:
P (A + B) = P(A) + P(B) = 1/3 + 1/6 = 1/2.
Произведение событий
Произведением двух событий А и В называют
событие АВ, состоящее в совместном появлении
(совмещении) этих событий.
Например, если А — деталь годная, В — деталь
окрашенная, то АВ — деталь годна и окрашена.
Произведением нескольких событий называют
событие, состоящее в совместном появлении всех
этих событий.
Например, если А, В, С — появление «герба»
соответственно в первом, втором и третьем
бросаниях монеты, то АВС — выпадение «герба» во
всех трех испытаниях.
Произведением независимых событий A и B
называется событие C=AB, заключающееся в том,
что произошло и событие A, и событие B.
Рассмотрим два независимых события A и B.
Пусть событию А благоприятствует m исходов, из
общего числа n исходов P(A)=m/n. Событию B –
соответственно k и l исходов: P(B)=k/l. Тогда для
события C=AB по правилу произведения
благоприятных исходов будет mk, общее число – nl.