Функция Грина

Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики
6 семестр
Лекция 2
Гармонические функции 2.
24 марта 2014 года
Лектор: профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович
Гармонические функции
Внутренняя задача Неймана (область Ω ограничена):
 u ( x )  0, x  

 u ( x )
    ( x ), x  
 u1 ( x )  0, x  

u1 ( x )
    ( x ), x  
 u2 ( x )  0, x  

u2 ( x )
    ( x ), x  
u  u1  u2
 u( x )  0, x  

 u( x )
   0, x  
u( x )  const

u1 ( x )  u2 ( x )  const
Гармонические функции
Единственность гладкого решения
 u( x )  0, x  

 u( x )
   0, x  
u
2
u

udx

u
dS

|

u
|
dx 

 

u  0  u  const
2
|

u
|
dx  0


Гармонические функции
Единственность классического решения
 u( x )  0, x  

 u( x )
   0, x  
Доказательство от противного:
u  const
В силу принципа максимума решение достигает в некоторой точке
границы своего максимального значения, тогда в этой точке в силу
принципа максимума Жиро
(противоречие).
u
0

Гармонические функции
Внешняя задача Неймана
 u ( x )  0, x  

 u ( x )
    ( x ), x  
 u1 ( x )  0, x  

u1 ( x )
    ( x ), x  
 u2 ( x )  0, x  

u2 ( x )
    ( x ), x  
u  u1  u2
Дополнительное условие:
n=2 функция u(x) ограничена
n>2 функция u(x) имеет предел
на бесконечности, равный нулю
 u( x )  0, x  

 u( x )
   0, x  
u( x )  const

u1 ( x )  u2 ( x )  const
Гармонические функции
 u( x )  0, x  

 u( x )
   0, x  
| u( x ) | sup | u( x) |
x
Доказательство от противного:
u  const
В силу принципа максимума решение достигает в некоторой точке
границы своего максимального значения, тогда в этой точке в силу
принципа максимума Жиро
(противоречие).
u
0

Гармонические функции
Уточнение для n>2
функция u(x) имеет предел на бесконечности, равный нулю
u1 ( x)  u2 ( x)  const  const  0  u1 ( x)  u2 ( x)
При n=2 два решения одной внешней задачи Неймана
отличаются на константу. При n>2 решение внешней
задачи Неймана единственно.
Функция Грина
xn

 ограничена в R n
y 
y

x1
x2
 g  0 в 

 g    E ( x, y )
g  g ( x, y )
 1
n2
  2 ln | x  y |,
E ( x, y )  
1

, n2
n 2
 (n  2) n | x  y |
G ( x, y )  E ( x, y )  g ( x, y )
G – классическая, если g классическое решение
G – гладкая, если g гладкое решение
Функция Грина
Свойства функции Грина
1)  xG ( x, y )  0 ( x )

2) G ( x, y ) x  0
3) lim G( x, y )  
y
x y
4) G ( x, y )  0 ( x )
3)  (  0 | x  y |   G ( x, y )  1)

G ( x, y )  min G ( z, y )  0
y
G
z

 0, G |x  y|  1  G  const

Функция Грина
Физический смысл функции Грина при n=3



q

1
4
y

  идеальный проводник




1
E ( x, y ) 
4 | x  y |
(потенциал точечного заряда)
g ( x, y )  потенциал индуцированных зарядов
  x g ( x, y )  0

 g ( x, y ) x   E ( x, y )
G ( x, y )  E ( x, y )  g ( x, y )  результирующий потенциал
Функция Грина
Функция Грина полупространства
x3
q
|x y|



|x y|
1
4
y  ( y1, y2 , y3 )




x1 , x2
y  ( y1, y2 ,  y3 )
q
1
4
1
E ( x, y ) 
4 | x  y |
1
g ( x, y )  
4 | x  y |
x    | x  y || x  y |
1
1
G ( x, y ) 

4 | x  y | 4 | x  y |
Функция Грина
Функция Грина полупространства в Rn (n>2)
E ( x, y ) 
xn
y  ( y1 , y2 ,..., yn )
|x y|
|x y|
1
( n  2) n | x  y |n 2
1
g ( x, y )  
( n  2) n | x  y |n 2
x1 , x2 ,..., xn 1
x    | x  y || x  y |
y  ( y1, y2 ,...,  yn )
1
1
G ( x, y ) 

n 2
( n  2) n | x  y |
( n  2) n | x  y |n 2
Функция Грина
Функция Грина полуплоскости
1
E ( x, y )  
ln | x  y |
2
1
g ( x, y ) 
ln | x  y |
2
x2
y  ( y1, y2 )
|x y|
x1
|x y|
x    | x  y || x  y |
y  ( y1,  y2 )
1
1
G ( x, y )  
ln | x  y | 
ln | x  y |
2
2
Функция Грина
Функция Грина шара
| y || y | R 2
x
y
R
O
R2
y
y
2
|y|
y
xOy xO y
|y| R

, xOy  xO y
R |y|
|x y| |x y|
R

 | x  y |
|x y|
|y|
R
|y|
Функция Грина
R
|x|=R  | x  y |
|x y|
|y|
x



y
R

y
O
q

R
4 | y |

1
4


q
1
E ( x, y ) 
4 | x  y |
R
g ( x, y )  
4 | y || x  y |
1
R
G ( x, y ) 

4 | x  y | 4 | y || x  y |
Функция Грина
Функция Грина n-мерного шара (n>2)
x
y
R
O
y
|x|=R  | x  y |
R
|x y|
|y|
1
E ( x, y ) 
( n  2) n | x  y |n 2
R n 2
g ( x, y )  
( n  2) n | y |n 2 | x  y |n 2
1
R n 2
G ( x, y ) 

n 2
(n  2) n | x  y |
(n  2) n | y |n 2 | x  y |n 2
Функция Грина
Функция Грина круга
x
y
R
O
y
|x|=R  | x  y |
R
|x y|
|y|
1
ln | x  y |
2
1 | y || x  y | 1 | y | 1
g ( x, y ) 
ln

ln

ln | x  y |
2
R
2
R 2
E ( x, y )  
1
1 | y || x  y |
G ( x, y )  
ln | x  y | 
ln
2
2
R
Функция Грина
Симметрия функции Грина
x, y   G ( x, y )  G ( y , x )
zn
Доказательство для n=3
x

z1

u( z )
v ( z ) 
  v ( z )  z  u( z )  z  dSz  0

y
z2
u( z )  G ( z, x )
v ( z )  G ( z, y )
   {| z  x |  } {| z  y |  }
Функция Грина

G ( z, x )
G ( z, y ) 
  G( z, y )  z  G ( z, x )  z  dS z 

G ( z, x )
G ( z, y ) 
   G ( z, y )
 G ( z, x )
 dS z 
 z
 z 
| z  x |  

G ( z, x )
G ( z, y ) 
   G ( z, y )
 G ( z, x )
 dS z  0
 z
 z 
| z  y |  
G( z, x) z  G( z, y ) z  0
Функция Грина

G ( z, y )
G ( z, x ) 
 G ( z, y )
 G ( z, x )
 dS z 

 z
 z 
| z  x |  

G ( z, x )
G ( z, y ) 
   G ( z, y )
 G ( z, x )
 dS z
 z
 z 
| z  y |  

G( z, y )
G( z, x ) 
F ( x, y )    G ( z , x )
 G ( z, y )
 dS z
 z
 z 
|z  x| 
Утверждение.
F ( x, y )  G ( x, y )
G ( x, y )  G ( y , x )
Функция Грина

G( z, y )
G( z, x ) 
F ( x, y )    G ( z , x )
 G ( z, y )
 dS z
 z
 z 
|z  x| 
z
z
x

r | z  x | 



 z r
1
1
 g ( z, x ) 
 g ( z, x )
4 | z  x |
4 r
G ( z, x )
1
g ( z , x )


 z
4 r 2
 z
G ( z, x ) 
G ( z, x ) 
1
 g ( z, x )
4
G ( z, x )
1
g ( z, x )


 z
4 2
 z
Функция Грина
 1

1
g ( z, x )  
 G ( z, y )
F ( x, y )    
 g ( z, x ) 
 G ( z, y )  

  dS z 
2
4
 z  
  z
 4
| z  x |   

 1 G ( z, y )
1 

G
(
z
,
y
)
dS z 

2 

4  z
4 
| z  x |  
0

G ( z, y )
g ( z, x ) 
g
(
z
,
x
)

G
(
z
,
y
)

 dS z 

 z
 z 
| z  x |  
1
G ( z, y )
1
1

dS

G
(
z
,
y
)
dS

G ( z, y )dS z 
z
z
2
2



4 |z  x|  z
4 |z  x|
4 |z  x|

0

1
4
2
  G( z, y )dS
z
 G ( x, y )
|z  x | 
теорема о среднем
Функция Грина
Следствие
g ( x, y )  g ( y , x )
 y g ( x, y )  0
 y G ( x, y )  0
G ( x, y ) y  0 ( x  )
g ( x, y )  G ( x, y )  E ( x, y )  G ( y , x )  E ( y , x )  g ( y , x )
 y g ( x, y )   y g ( y , x )  0
 y G ( x, y )   y G ( y , x )  0
G ( x, y ) y  G ( y , x ) y  0
Функция Грина
Решение задачи Дирихле с помощью функции Грина

 u( x )  f ( x ), x 

u( x )   ( x ), x 
1). Область  имеет гладкую функцию Грина G ( x, y )
2). Существует гладкое решение поставленной задачи
G( x, y )
u( x )   
 ( y )dS y   G( x, y ) f ( y )dy ( x )
 y


(формула Пуассона)
Функция Грина

G ( x, y )  E ( x, y )  g ( x, y )

u( y )
E ( x, y ) 
u ( x )    E ( x, y )
 u( y )
dS y   E ( x, y ) u( y )dy

 y
 y 
 

0

u( y )
g ( x, y ) 
0    g ( x, y )
 u( y )
dS y    g ( x, y ) u( y )  u( y )  y g ( x, y )  dy

 y
 y 
 


 E ( x, y ) g ( x, y )  
u( y )
u( x )    ( E ( x, y )  g ( x, y ))
 u( y ) 

 dS y   ( E ( x, y )  g ( x, y )) u( y )dy








y
y
y
 



 ( y ) u( x )    ( y ) G( x, y )dS  G( x, y ) f ( y )dy
f ( y)
y
0


 y


Функция Грина
Формула Пуассона для шара в R3
 u( x )  0, x  
G ( x, y )
 u( x )   
 ( y )dS y

 y
u( x )   ( x ), x  

1
R
G ( x, y ) 

4 | x  y | 4 | y || x  y |
x

O
y
y

R2
y
2
|
y
|


y

R2


| y | r  | y |
,

r
 y r
| x  y | r 2  | x |2 2r | x | cos 
| x  y | | y |  | x | 2 | y || x | cos  
2
2
R4
R2
2
 | x | 2
| x | cos 
r2
r
Функция Грина

  1   
1
 



2
2
r  | x  y |  r  r  | x | 2r | x | cos  
1
2r  2 | x | cos 
| x | cos   r


2 ( r 2  | x |2 2r | x | cos  )3/2
| x  y |3
R

| y || x  y |
R
R4
R2
2
r 2  | x | 2
| x | cos 
r
r

R
R 4  r 2 | x |2 2rR 2 | x | cos 
  
 
R
R


r  | y || x  y |  r  R 4  r 2 | x |2 2rR 2 | x | cos 
R(2r | x |2 2 R 2 | x | cos  )

2( R 4  r 2 | x |2 2rR 2 | x | cos  )3/2




R( r | x |2  R 2 | x | cos  )

( r | x  y |)3
Функция Грина
r | y | R  y  y
  1  | x | cos   r | x | cos   R




3
r  | x  y | 
|x y|
| x  y |3


R
R( r | x |2  R 2 | x | cos  )
(| x |2  R | x | cos  )




3
r  | y || x  y | 
R | x  y |3
( r | x  y |)
G ( x, y ) 1  | x | cos   R (| x |2  R | x | cos  ) 




3
3
 y
4  | x  y |
R|x y|

( R | x | cos   R 2 )  (| x |2  R | x | cos  )
| x |2  R 2


3
4 R | x  y |
4 R | x  y |3
Функция Грина

Формула Пуассона для шара радиуса R
 u( x )  0, x 

u( x )   ( x ), x 
Любое гладкое решение задачи дается формулой
R |x|
u( x ) 
 ( y )dS y ( x )
3

4 R | y| R | x  y |
1
2
2
Функция Грина
Формула Пуассона для круга в R2
 u( x )  0, x  
G ( x, y )
 u( x )   
 ( y )dS y

 y
u( x )   ( x ), x  

1
1 | y || x  y |
G ( x, y )  
ln | x  y | 
ln
2
2
R
x

O
y
y

R2
y
2
|
y
|


y

R2


| y | r  | y |
,

r
 y r
| x  y | r 2  | x |2 2r | x | cos 
| x  y | | y |  | x | 2 | y || x | cos  
2
2
R4
R2
2
 | x | 2
| x | cos 
r2
r
Функция Грина




 ln | x  y |  ln r 2  | x |2 2r | x | cos  
r
r
1 
1
2r  2 | x | cos 
r  | x | cos 
2
2

ln  r  | x | 2r | x | cos   

2
2
2 r
2 ( r  | x | 2r | x | cos  )
| x  y |2
R4
R2
2
| y || x  y | r 2  | x | 2
| x | cos   R 4  r 2 | x |2 2rR 2 | x | cos 
r
r


  | y || x  y |  
ln R 4  r 2 | x |2 2rR 2 | x | cos   ln R 
 ln

r 
R
 r
(2r | x |2 2 R 2 | x | cos  )
r | x |2  R 2 | x | cos 


4
2
2
2
2( R  r | x | 2rR | x | cos  )
( r | x  y |)2
Функция Грина
r | y | R  y  y

r  | x | cos  R  | x | cos 

 ln | x  y | 
2
r
|x y|
| x  y |2
  | y || x  y |  ( r | x |2  R 2 | x | cos  ) (| x |2  R | x | cos  )

 ln

2
r 
R
R | x  y |2
( r | x  y |)

G ( x, y ) 1  | x | cos   R | x |2  R | x | cos  




2
2
 y
2  | x  y |
R|x y|

( R | x | cos   R 2 )  (| x |2  R | x | cos  )
| x |2  R 2


2
2 R | x  y |
2 R | x  y |2
Функция Грина

Формула Пуассона для круга радиуса R
 u( x )  0, x 

u( x )   ( x ), x 
Любое гладкое решение задачи дается формулой
R |x|
u( x ) 
 ( y )dS y ( x )
2

2 R | y| R | x  y |
1
2
2
Функция Грина
Формула Пуассона для шара в Rn
 u( x )  0, x  
G ( x, y )
 u( x )   
 ( y )dS y

 y
u( x )   ( x ), x  

1
R n 2
G ( x, y ) 

n 2
(n  2) n | x  y |
(n  2) n | y |n 2 | x  y |n 2
x

O
y
y

R2
y
2
|
y
|


y

R2


| y | r  | y |
,

r
 y r
| x  y | r 2  | x |2 2r | x | cos 
| x  y | | y |  | x | 2 | y || x | cos  
2
2
R4
R2
2
 | x | 2
| x | cos 
r2
r
Функция Грина
  

 
1
1




n 2 
2
2
( n  2)/2 
r  | x  y |  r  ( r  | x | 2r | x | cos  )


n2
2r  2 | x | cos 
( n  2)(| x | cos   r )

2 ( r 2  | x |2 2r | x | cos  ) n /2
| x  y |n
R n 2

n 2
n 2
| y| |x y|
R n 2
R

R
r n 2  2  | x |2 2
| x | cos  
r
r

4
2
( n  2)/2

R
R n 2
4
 r | x | 2rR | x | cos  
2
2
2

  
 
R n 2
R n 2


 n 2
(
n

2)/2
n 2 

r  | y | | x  y |  r   R 4  r 2 | x |2 2rR 2 | x | cos  


(n  2) R n 2 (2r | x |2 2 R 2 | x | cos  )
( n  2) R n 2 ( r | x |2  R 2 | x | cos  )


2( R 4  r 2 | x |2 2rR 2 | x | cos  ) n /2
( r | x  y |)n
( n 2)/2
Функция Грина
r | y | R  y  y
 (n  2)(| x | cos   r ) (n  2)(| x | cos   R)
 
1



n 2 
n
r  | x  y | 
|x y|
| x  y |n


R n 2
(n  2) R n 2 ( r | x |2  R 2 | x | cos  )
(n  2)(| x |2  R | x | cos  )


 n 2
n 2 
n
r  | y | | x  y | 
R | x  y |n
( r | x  y |)
 (n  2)(| x | cos   R) ( n  2)(| x |2  R | x | cos  ) 
G ( x, y )
1




n
n
 y
(n  2) n 
|x y|
R|x y|

( R | x | cos   R 2 )  (| x |2  R | x | cos  )
| x |2  R 2


n
nR | x  y |
 n R | x  y |n
Функция Грина

Формула Пуассона для шара радиуса R в Rn
 u( x )  0, x 

u( x )   ( x ), x 
Любое гладкое решение задачи дается формулой
1
R |x|
u( x ) 
 ( y )dS y ( x , n  2)
n

 n R | y| R | x  y |
2
2
Функция Грина
Разрешимость задачи Дирихле для шара (круга)

R
 u( x )  0, x 

u( x )   ( x ), x 
Предельная постановка задачи: граничное
условие понимается как продолжение по
непрерывности решения изнутри области
1
R 2  | x |2
u( x ) 
 ( y )dS y ( x , n  2)
n

 n R | y| R | x  y |
Функция Грина
u ( x )  C 2 ( )

 ( x )  C ()   u( x )  0, x  
 lim u( x )   ( x ), x  
0
0
 x x0
Ядро Пуассона
R 2  | x |2

P( x, y ) 

G ( x, y )
n
nR | x  y |
 y
u( x ) 

| y| R
P( x, y ) ( y )dS y
Функция Грина
Свойства ядра Пуассона
1) x  y  P( x, y )  C 
2) | x | R  P( x, y )  0
3)  x P( x, y )  0 (| x | R )
4)

P( x, y )dS y  1 (| x | R )
| y | R
R 2  | x |2

P( x, y ) 

G ( x, y )
n
nR | x  y |
 y

n
G ( x, y )

 x P( x, y )   x
G ( x, y )   x 
 i    i
 xG ( x, y )  0
 y
yi
yi
i 1
i 1
n
Функция Грина
u( x )  0, x 
u( x )  1  
 1   P( x, y )dS y
u( x)  1, x 
| y| R
Доказательство теоремы
 2u
2
 2 P ( x, y )
( x) 
P( x, y ) ( y )dS y  
 ( y )dS y

xi x j
xix j | y| R
xix j
| y| R
u ( x )  

P( x, y ) ( y )dS y 
| y | R


| y | R
 x P( x, y ) ( y )dS y 

| y | R
0   ( y )dS y  0
Функция Грина
| u( x )   ( x0 ) |

P( x, y ) ( y )dS y   ( x0 )  1 
| y | R


P( x, y ) ( y )dS y   ( x0 )

P( x, y ) ( y )dS y 
| y | R

| y | R


| y | R

P( x, y )dS y 
| y| R

P( x, y ) ( x0 )dS y 
| y| R
P( x, y )  ( y )   ( x0 )  dS y 

| y | R
P( x, y )  ( y )   ( x0 ) dS y
Функция Грина
| u( x)   ( x0 ) |

P( x, y )  ( y )   ( x0 ) dS y
| y| R
  0   0  0 : | y  x0 |  0  |  ( y )   ( x0 ) |
  C ()  M  0 x   |  ( x) | M
  S1
S2
S1  { y : | y | R, | y  x0 |  0}
S2  { y : | y | R, | y  x0 |  0}

2
I1   P ( x, y )  ( y )   ( x0 ) dS y
S1
I2 
 P( x, y )  ( y )   ( x ) dS
0
S2
| u( x)   ( x0 ) | I1  I 2
y
Функция Грина
Оценка первого интеграла
I1   P( x, y )  ( y )   ( x0 ) dS y 
S1

 P( x, y )dS y 
2 S1

2 | y| R
P( x, y )dS y 

2
Оценка второго интеграла
|  ( y )   ( x0 ) ||  ( y ) |  |  ( x0 ) | 2 M
| x  x0 |
0
2
 | x  y || y  x || ( y  x0 )  ( x  x0 ) || y  x0 |  | x  x0 |  0 
0
2
2 M R 2  | x |2
I 2   P( x, y )  ( y )   ( x0 ) dS y  2 M  P ( x, y )dS y 
dS y 
n

 n R S1 | x  y |
S2
S1
2M
R 2  | x |2
2 M ( R 2  | x |2 )
2

dS

y
  dS y 
n


 n R | y| R | x  y |
nR

| y | R 
n
2 M ( R 2  | x |2 )  2 

 
nR
 
n
n
n
2
2 M ( R 2  | x |2 )  2 
n 1
dS


R
 F ( x)




y
n


nR
 0 
| y | R  0 

0
2
Функция Грина
| u( x )   ( x0 ) | I1  I 2
I1 

2
 при всех x   
2M ( R  | x |
I 2  F ( x) 
nR
2
2
n
) 2 
0 
n 1 

R
при
|
x

x
|

  n
0



2


 0
lim F ( x )  0  1  0 : | x  x0 | 1  F ( x) | F ( x)  0 |
x  x0
 
0 
  min  , 1  , | x  x0 |   | u( x)   ( x0 ) |   
2 2
2

lim u( x)   ( x0 )
x  x0

2
Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики.
Гармонические функции 2.
Лекция 2 завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции:
Гармонические функции 3.
Лекция состоится в понедельник 31 марта
В 10:00 по Московскому времени.