Document 4881424

Альберт
Эйнштейн
1879 - 1955
«Мне приходится делить
время между политикой и
уравнениями. Однако
уравнение, по-моему, гораздо
важнее. Политика существует
только для данного момента, а
уравнения будут
существовать вечно».
А. Эйнштейн
Девиз:
•Дорогу осилит
идущий, а
математику –
мыслящий.
Решите
систему
уравнений:
Греческий
(2; 1)
Латинский
(1; 2)
 x  y  2, Английский

Немецкий
x

y

1
.

(1,5; - 1,5)
(1,5; 0,5)
Французский (0,5; - 0,5)
1.
Подберите решение
системы
уравнений:
(-15; -11)
( x  15)( y  11)  0,

2
2
( x  15)  ( y  11)  0.
(15;М
- 11)
(-11; 15)
2. Используя графическое
представление, определить,
сколько решений имеет
система: 2
2
 x  y  16,

2
 y  x  4.
2
Ни
одного
1
О
3. Используя теорему Виета и
теорему, обратную теореме
Виета, решить систему
уравнений:
(10; -2);
Л10)
(-2;
 x  y  8,

xy


20
.

(5; 3);
(-3; 5)
4. Решите систему
уравнений:
 x  y  2 xy  5x,

 x  y  10
2
(1; 9)
2
(20;
Н10)
(-11; 15)
5.Используя графическое
представление, определите,
сколько решений имеет
система:

 y  x  3,

y

x


2
1
2
И
6. На рисунке изображены графики
функций у = х + 3, у = 1 - х и у = -х2 - 2х + 3.
Пользуясь рисунком решите систему
 y   x  2 x  3,

 y  x  3,
2
(-2; 3);
(1; 0)
(-3; 0);
Я
(0; 3)
Л
О
М
Н
И
Я
1. Найдите х+у :
 x  y  16,

 x  y  2.
2
2
2. Найдите xy :
 x  y  5,

1
10
1


.
x
y
11

3. Подберите решение системы
уравнений:
( x  y  2)  ( y  1)  0,

(
x

1
)(
y

1
)

0
.

2
2
4. Используя теорему Виета и
теорему, обратную теореме Виета,
решить систему уравнений:
 x  y  3,

xy

2
.

5.
Используя графическое
представление,
определить, сколько
решений имеет система:

 x  y  16,

2

 y  x  4.
2
2
Ответы:
1. 8
2. 5,5
3. (-1; 1)
4. (2; 1); (1; 2)
5. 3
«Кто не знает, в какую
гавань он плывет, для того
нет попутного ветра».
Сенека
Решите систему
уравнений:
 x  xy  y  4
,

x

xy

y

2
.

2
2
Решение.
 x 2  xy  y 2  4,

 x  xy  y  2.
Существует универсальный метод решения симметрических систем :
 x  y  u,
вводится подстановка 
 xy  v.
Преобразуе м первое уравнение системы, прибавив к обеим частям xy.
x 2  2 xy  y 2  4  xy,
( x  y ) 2  4  xy,
( x  y ) 2  4  xy,

 x  y  xy  2.
Используем
универсальную подстановку.
u 2  4  v,

u  v  2;
u 2  v  4;

u  v  2,
u2  u  6  0
D  1  24  25,
u1  2,

v1  0;
u2  3,

v2  5.
Выполняем обратную замену переменной.
 x  y  2,
(2;0); (0;2)

 xy  0;
 x  y  3, 2
z  3z  5  0

 xy  5;
D  9 - 20  -11 Система не имеет решения.
Ответ : (2;0); (0;2)
Решите систему
уравнений:
8

2
8
x


3
y
,

y

 y  1  3x 2 ;
 x
x  0, y  0
Решение.
Решим систему методом почленного деления.
8

2
8x


3
y
,

y


 y  1  3x 2 .

x

1

2
8(x

)

3
y
,

y


 y  1  3x 2 .

x

 xy  1
2
8


3
y
,

y

:
 xy  1  3 x 2 .

 x
_______________
x
y2
8  2 ,
y x
8x3  y 3 ,
y  2 x.
Составим новую систему уравнений :
 y  2 x,

 xy  1
2

3
x

 x
 y  2 x,
 y  2x,

2
 2x 1
 3
2
2

3
x
;
3x  2 x  1  0;

x

3 x 3  2 x 2  1  0.
x 1
Любой целый корень многочлена с целыми коэффициен тами
является делителем его свободного члена.

3x 3  2 x 2  1 x  1
3x 3  3x 2

3x 2  x  1
x 2 -1
x2  x

x 1
x 1
0
3 x 3  2 x 2  1  ( x  1)(3 x 2  x  1)  0
D  11
 x  1,

 y  2.
Ответ : (1; 2)
Системы
уравнений
Графический
способ
Аналитический
способ
Метод
подстановки
Метод
сложения
Метод
почленного
умножения и
деления
Метод
Гаусса
Метод
замены
переменной
Симметрические
cистемы
x+у=u,
xy=v
Системы
однородных
уравнений
Карточка-консультант по теме
«Системы линейных уравнений»
Графический
способ
1. В каждом уравнении
выразить у через х.
2. Построить график
каждого уравнения.
3. Определить координаты
точек пересечения
графиков.
Способ
подстановки
Способ сложения
1. Из какого-либо
уравнения выразить одну
переменную через
другую.
2. Подставить полученное
выражение в другое
уравнение и решить
его.
3. Подставить найденное
значение переменной и
вычислить значение
второй переменной.
1. Уравнять модули
коэффициентов какойлибо переменной.
2.Сложить (вычесть) почленно
уравнения системы.
3. Составить новую систему:
одно уравнение новое;
другое – одно из старых.
4. Решить новое уравнение и
найти значение одной
переменной.
5. Подставить значение
найденной переменной в
старое уравнение и
найти значение другой
переменной.
I вариант
1. Какая пара из данных чисел является решением
системы уравнений:
 x  y  100,

x

y


2
.

2
1. (-6;8);
3. (-8;6);
2
2. (0;-2);
4. (7;-9)
2. Из данных уравнений подберите второе
уравнение системы
1

,
y 
x


...
1. y=-x;
2
3. y=x ;
так чтобы она
имела два решения
2. y=x;
2
4. y=-x
3. В классе 18 учащихся. Для поливки сада каждая девочка
принесла по два ведра воды, а каждый мальчик – по 5 ведер. Всего
было принесено 57 ведер воды. Сколько в классе девочек и сколько
мальчиков?
Решение.
Пусть в классе х девочек и у мальчиков.
Какая система уравнений соответствует условию задачи?
 x  y  18
 x  y  18

2.  x  y  57
1. 
5
2
2 x  5 y  57. 
 x  y  18
x  y  18

3. 
4.

2
2
5 x  2 y  57
2 x  5 y  57
4. На рисунке изображены парабола и три прямые.
Укажите систему уравнения, которая имеет два
решения.
 у  1 х2
1. 
x  4  0
 y  1 x
2. 
x  y  4
2
 y  1 x
3. 
 y  10  0
2
4. Такой системы нет
II вариант
1. Какая из нижеуказанных пар чисел
является решением системы
уравнений:
x  y  5

2
2 x  y  7
1. (-3;2);
3. (8;-3);
2. (1;4);
4. (3;2)
2. Из данных уравнений подберите второе
уравнение системы
1

,
y 
x


...
1. y=x;
2
3. y=x ;
так чтобы она
не имела решений
2. y=-x;
2
4. y=-x
3. В классе 25 учащихся. При посадке деревьев в школьном саду
каждая девочка посадила по 2 дерева, а каждый мальчик по 3
дерева. Всего было посажено 63 дерева. Сколько в классе девочек
и сколько мальчиков?
Решение.
Пусть в классе х девочек и у мальчиков. Какая система
соответствует условию задачи?
 x  y  25
1. 
2 x  3 y  63
 x  y  25

2.  x y
 3  2  63
 x  y  25
4.
3.  2
2
3x  2 y  63
 x  y  25

3x  2 y  63
4. На рисунке изображена парабола и три
прямые. Укажите систему уравнений,
которая не имеет решений.
 y  x2 1
1. 
x  5  0
2
 y  x 1
2. 
 y  10  0
 y  1 x2
3. 
x  y  3
4. Все три указанные системы
Код правильных ответов
4 балла – оценка «5» - переход к IV
этапу
3 балла – оценка «4» - переход к III
этапу
2 балла - оценка «3» переход ко
II этапу
«Я слышу – я забываю, я
вижу – я запоминаю, я
делаю – я усваиваю».
Китайская мудрость.
Карта с заданиями
№№ 245(а), 239(б),
269
№№ 252(а), 258(б),
270
№№ 254(а), 262(б),
277
«Три пути ведут к знанию: путь
размышления – это путь самый
благородный, путь подражания –
это путь самый легкий и путь
опыта – это путь самый горький».
Конфуций.
Домашнее задание
№ 315 (а, б)
5
№ 310
4
№ 275
3
№ 286
Если в жизни ты хоть на мгновенье
Истину в сердце своем ощутил,
Если луч света сквозь мрак и
сомненье
Ярким сияньем твой путь озарил:
Что бы в решенье твоем неизменном
Рок ни назначил тебе впереди,
Память об этом мгновенье священном
Вечно храни, как святыню в груди.
Тучи сберутся громадой нестройной,
Небо покроется чёрною мглой,
С ясной решимостью, с верой
спокойной
Бурю ты встреть и померься с грозой.