НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА Нечеткие множества Необходимость введения нечетких множеств (НМ) обоснована тем, что по мере роста сложности систем падает наша способность делать точные и значащие утверждения относительно поведения системы. • U – универсальное множество объектов; • A – конечное размытое подмножество. Нечеткие множества U и A = ui ; (ui), где ui U, и (ui) – мера членства, которая указывает степень принадлежности к множеству U. Если (ui) = 0,1, то (ui) – обычная булева функция. Лингвистические переменные “верно”, “совершенно верно”, “не вполне верно” могут рассматриваться как метки размытых множеств. Нечеткие множества Классические В размытом системы множестве Предикаты «истинно» и «ложно» Модификатор отрицание предикатов Кванторы «высокий», «большой», «скоро» и т.д. «очень», «более или менее», «вполне» существования «несколько», , всеобщности «главным образом», «почти всегда». Пример. Понятие высокий. Рост A (ui) 2.20 1 2.10 1 2.00 0.8 1.90 0.6 1.80 0.4 1.70 0.2 1.60 0.0 Отличие A (ui) от функции распределения случайной величины: - функция, определяющая субъективное мнение специалиста, а функция распределения – это объективный закон, независимый от отношения специалиста к этому явлению. Нечеткие множества Определение: P(X1, ….,Xn) B - предикат, где B – множество булевых переменных. Определение: ~ = ( X, F~) – нечеткое отношение, где X – множество, F~ – нечеткое подмножество X2. X – область задания, F~- нечеткий график отношения. Способы задания отношений • теоретико-множественный, • матричный, • графический и с помощью нечетких предикатов. Способы задания отношений • Теоретико-множественный: перечисление X= Xi и задание F~ = F (xi, xj), (xi, xj), где (xi, xj)X2. • Матричный: задается матрица смежности R , где на пересечении i-ой строки и j – го столбца стоит rij = F (xi, xj ). Способы задания отношений Можно задать ~ в виде графа с множеством вершин X, дугами (xi, xj), которым приписано F (xi, xj). ~ = ( X, F~) – нечеткое отношение, если F (a,b) F; a,b X, то a ~ b – нечеткое логическое высказывание, значение истинности которого F (a,b). Пример. Теоретико-множественное задание отношения “любит”. Имя Имя (ui) Имя Имя (ui) Имя Имя (ui) Джим Ирен 1 Джон Томи 0.7 Джон Мэри 0.6 Гарри Джейн 0.4 Джейн Том 0.2 Ирен Джим 0.9 Томи Джон 0.8 Операции над нечеткими множествами: • Отношение вложения: A B A (ui) B (ui), ui U ; • Отношение дополнения: Ā (ui) = 1 - A (ui); ui U; • Операция степени нечеткого множества А A (ui) = A (ui) - ui; Операции над нечеткими множествами: • Произведение нечетких множеств: AUB (ui) = A (ui) v B (ui) или max {A (ui), B (ui)}; • Отношение суммы A и B: A∩B (ui) = A (ui) ∩ B (ui) или min {A (ui), B (ui)}; Бинарные операции: • Алгебраическое произведение: AB (ui) = A (ui) B (ui); • Граничное произведение: AB (ui) = max A (ui) + B (ui) –1, 0. Размытое число Размытое число используется для обозначения неточно определяемой величины, такой как «около 5». Размытое число – это любое подмножество = x, m (x), где x – число на прямой R и , m (x) 0,1. Два числа равны, если их меры членства равны. Размытое число Размытое число может быть представлено в дискретной или непрерывной форме. Определение операции сложения двух размытых чисел: M+N (zi) = maxM (xi) N (yi) Пример. ….. два размытых числа Пусть М – представляет собой «целые числа близкие к 3» N - представляет собой «целые числа близкие к 2» M N ( zi ) max ( xi ) ( yi ) zi xi yi 0 1 2 3 4 5 6 0 0,3 0,8 1 0,8 0,2 0 0,1 0,7 1 0,9 0,5 0,1 - xi , yi M ( xi ) N ( yi ) «z = 6» xi 0 1 2 3 4 5 6 yi 6 5 4 3 2 1 0 ( yi ) 0 0,3 0,8 1 0,8 0,2 0 ( xi ) - 0,1 0,5 0,9 1 0,7 0,1 ( xi ) ( yi ) 0 0,1 0,5 0,9 0,8 0,2 0 ( 6 ) max 0; 0.1; 0.5; 0.9; 0.8; 0.2; 0 0.9 Лингвистические переменные Лингвистическая переменная (ЛП) переменная, заданная на некоторой количественной шкале и принимающая значения в виде слов и словосочетаний естественного языка. Значение ЛП описывается нечеткими переменными. Любая ЛП связана с конкретной количественной шкалой. Эта шкала называется базовой. Масштаб шкалы может быть любой.