Элементы теории делимости

Элементы
теории
делимости
Автор учебно-методического проекта
Киселев П.Н., учитель математики
Ядринской национальной гимназии
Дорогой мой ученик, я рад,
что ты готов
сотрудничать со мной в
познании математики
Самое важное
•
•
•
•
•
Понятие делимости;
Признаки делимости;
Деление с остатком;
Свойства деления с остатком;
Алгоритм Евклида нахождения НОД
целых чисел;
Понятие делимости
Определение. Целое число a делится на целое число b,
не равное нулю, если существует целое число k,
такое, что a=bk.
Пример. –48 делится на 8, так как
существует целое число –6, что -48=8*(-6).
Запись 0:0 не имеет
числового значения, т.к.
для всех целых b
справедливо равенство
0=b*0 и потому 0:0 не
определено однозначно.
Не имеет числового
значения запись а:0,
т.к. в этом случае нет
ни одного целого
числа с, что а = 0*с.
Признаки делимости
• Число делится на 2 тогда и только тогда, когда оно
оканчивается четной цифрой.
• Число делится на 5 тогда и только тогда,
когда его последняя цифра 0 или 5.
• Число делится на 4 (n-ую степень 2) тогда и только
тогда, когда число, выраженное двумя ( n)
последними цифрами, делится на 4 (n-ую степень 2).
• Число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда
на 3 (9) делится его сумма цифр.
•Число делится на 11 тогда и только тогда, когда
разность его цифр, стоящих на четных местах, и
суммой цифр, стоящих на нечетных местах,
делится на 11.
Деление с остатком
Основой применения понятия деления с остатком является следующая теорема:
Теорема (о делении с остатком). Для любого целого
числа а и натурального числа b существует
единственная пара целых чисел q и r , таких, что
выполняются два условия: a=bq + r и 0<=r<b.
Пример. Найдем остаток, который
получается при делении на 9 числа 286167.
Решение. Исходя из признака делимости
числа на 9, остаток от деления числа на 9
равен остатку от деления на 9 суммы его
цифр. Сумма цифр данного числа равна 30
и при делении на 9 дает в остатке 3. Значит,
286167 = 9р + 3, где р – натуральное число.
Свойства деления с остатком
Числа a и b дают при делении на n равные
остатки тогда и только тогда, когда разность
a - b делится на n.
Пример 1. 204 и – 71 при делении на 5 дают равные
остатки, так как 204 – (- 71)=275 , а 275 делится на 5.
Пример 2. Найдем остаток от деления числа 1763 на 14.
Решение. 17 ≡ 3 (mod 14). Тогда 1763≡363 (mod 14). Чтобы найти
остаток от деления 363 на 14, воспользуемся тем, что
33≡ -1(mod 14).
-1≡13 (mod 14).
Значит, (33)21≡(-1)21 (mod 14). Но (-1)21= -1 и
Тогда по свойству транзитивности
1763≡13 (mod 14), т.е. остаток от деления 1763 на 14 равен 13.
Ответ: 13.
Алгоритм Евклида
Пусть при делении а на b, получается остаток r, не
равный нулю, т.е. a = bq + r, где 0<r<b. Отсюда
r = a - bq . Из свойств делимости вытекает, что
если числа а и b делятся на m, то число r также
делится на m, а если числа b и r делятся на k ,
то и число а делится на k. Значит, множество
общих натуральных делителей чисел a и b
совпадает с множеством общих делителей
чисел b и r, поэтому D(a, b) = D(b, r).
Пример. Найти D(1271, 713).
Решение.
Будем делить большее число на меньшее.
Последний отличный от нуля
остаток есть наибольший
общий делитель
62
62
0
93
62
31
2
155
93
62
1
1271 713
1
713
713
558
1
558
558 155
3
465
93
1
D(1271, 713) = 31
Математический
диктант
Вариант 1
Вариант 2
Задача 1
Задача 1
Из данных пар чисел
выберите те, которые
при делении на 3 дают
равные остатки
Из данных пар чисел
выберите те, которые
при делении на 5 дают
равные остатки
а) 748 и 445; б) 91 и
20; в) 152 и –28.
а) 867 и 522; б) 77 и 24;
в) 101 и -14
Вариант 1
Задача 2
Не выполняя
деления, найдите
остаток, который
получается при
делении на 9 числа
513494.
Вариант 2
Задача 2
Замените *
цифрой так,
чтобы число
283*645 делилось
на 55.
Вариант 1
Задача 3
Вариант 2
Задача 3
Не выполняя
деления, найдите
остаток, который
если число а
получается при
делится на 6, то
делении на 9 числа
оно делится и на 12. 8008437.
Верно ли
высказывание:
Вариант 1
Задача 4
Замените *
цифрой так,
чтобы число
345*76 делилось
на 22.
Вариант 2
Задача 4
Верно ли
высказывание:
Если число а не
делится на 6, то
оно не делится и
на 12.
Вариант 1
Вариант 2
Задача 5
Задача 5
Найдите
Найдите
D(48;60).
D(54;72).
Вариант 1
Вариант 2
Задача 6
Задача 6
Найдите
Найдите
K(84;90).
К(64;96).
Вариант 1
Вариант 2
Задача 7
Задача 7
Найдите
количество
Найдите
количество
делителей числа
делителей числа
23  34  52
2  7  11
2
4