Дистанционная олимпиада по математике 6 класс (III тур

Дистанционная олимпиада по математике 6 класс (III тур).
Задание 1.
Указать такое натуральное число начиная с которого 12 последующих чисел являются
составными.
Решение:
Нужно посмотреть таблицу простых чисел и найти два соседних числа,
разность между которыми больше 13.Например. соседние простые числа 523 и 541.После
523 идут 12 составных чисел:524,525 526, 527, 528, 529, 530, 531, 532, 533, 534,
535.Подойдут 12 чисел между 839 и 853.
Задача имеет бесконечное множество решений.
Задание 2.
В некотором месяце три четверга пришлись на четные числа. Какой день недели был
двадцать шестого числа этого месяца?
Решение: Четверг был 2-го, 9-го, 16-го, 23-го, 30-го.Если бы четверг был 4-го, то не
получилось бы 3 четных числа.30 - четверг, 29 - среда, 28-вт., 27 - понедельник.
Ответ: 26 - Воскресенье.
Задание 3.
В ящике 24 кг гвоздей.Как на чашечных весах без гирь и без стрелки отмерить 9 кг?
Решение:
24 кг разложить на две чаши весов так, чтобы они были в равновесии.
24 : 2 = 12(кг)
С одной чаши весов убираем 12 кг, а оставшиеся 12 кг снова раскладываем на две чаши
весов поровну.12 : 2 = 6 (кг).
6кг с одной чаши весов убираем.Оставшиеся на другой чаше весов 6кг снова
раскладываем на две чаши весов поровну: 6 : 2 = 3(кг).
Просто к любому весу в 3 кг прибавляем те самые 6кг, отложенные 3+6+9(кг).
Вот так, без гирь, мы отмерим 9 кг гвоздей.
Задание 4.
На доске написано число 321321321321. Какие цифры необходимо стереть, чтобы
получить возможное наибольшее число, делящееся на 9?
Решение:
Число делится на 9 тогда , когда сумма его цифр делится на 9.
3+2+1+3+2+1+3+2+1+3+2+1= 24 .На 9 делятся 9, 18, 27, 36.
Чтобы сумма цифр в искомом числе была 18, необходимо стереть цифры, сумма которых
равна 6 (24-18). Ближайшее число 18 (так как надо цифры стереть, т. е. ищем ближайшее
число, кратное 9, но меньшее 24). Стираем последние две цифры "3". А ПОСЛЕДНИЕ
стираем, так как чем цифра первее, тем число 321321321321 будет меньше. Поэтому
наибольшее число, делящееся на 9 будет 3213212121.
Ответ: 3213212121.
Задание 5 :
Среди 81 монеты имеется 1 фальшивая (более легкая). Как ее найти, используя всего 4
взвешивания?
Решение: Разделим монеты на три кучки по 27 монет. Взвесим первую и вторую кучки.
Если весы в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке.Если весы не в равновесии,
то фальшивая монета в той кучке, которая легче. После этого разбиваем кучку из 27 монет
(в которой есть фальшивая монета) на три кучки по 9 монет и вторым взвешиванием
определяем более лёгкую кучку. Третьим взвешиванием определяем более лёгкую тройку
монет. И, наконец, четвёртым взвешиванием определяем фальшивую монету.
Задание 6.
Ребро куба равно 2 дм. Этот куб разрезали на кубические миллиметры, а затем
выложили их в один сплошной ряд. Какой длины получился этот ряд?
Ответ:
8 км
Задание 7.
Два самолета вылетели одновременно из Москвы в одном и том же направлении: один
- со скоростью 350 км/ч, другой - со скоростью 280 км/ч. Через два часа первый уменьшил
скорость до 230 км/ч. На каком расстоянии от Москвы второй самолет догонит первый?
Решение:
1) 350-280=70км/час скорость, в которой первый удалялся от второго сначала.
2) 70 х 2=140км расстояние между ними, когда первый уменьшил скорость.
3) 2802-230=50км/час скорость, с которой второй догоняет первый
4) 140:50=2.8 часа догонит первый самолёт второй.
5) 2+2,8=4,8 часа был в пути второй самолет.
2) 280 х 4,8=1344 км
Ответ: 1344 км на таком расстоянии второй самолёт догонит первый самолет.
Задание 8.
В хозяйстве есть куры и овцы, сколько тех и других, если известно, что у всех вместе
19 голов и 46 ног?
Решение:
Пусть в хозяйстве было x овец, тогда кур было 19 – x. Число ног у овец равно 4x, а у
кур 2(19 – x). Составим уравнение:
4x + 2(19 – x) = 46.
4х +38 - 2х = 46
2х = 8
х = 4,тогда кур 19 - 4 = 15.
Ответ: овец 4, кур 15.
Задание 9.
Шестизначное число начинается слева цифрой 1. Если эту цифру перенести с первого
места слева на последнее место справа, то вновь полученное число будет втрое больше
первоначального. Найти первоначальное число?
Ответ: 142857.
Задание 10.
Сейчас Сереже 11 лет, а Вове 1 год. Сколько лет будет Сереже и Вове, когда Сережа
станет втрое старше Вовы?
Ответ: Когда Серёжа станет втрое старше Вовы, разность их возрастов будет равна
удвоенному возрасту Вовы. Поскольку разность возрастов не меняется со временем, она
всегда равна 11 – 1 = 10 годам. Значит, Вове будет 5 лет, а Серёже — 15.