Десятичные дроби

Десятичные дроби
Авторы проекта
Ученики 6 “А”
класса:
Зенин Илья
Зенин Матвей
История десятичных дробей
Дроби в древнем Египте
Первая дробь, с которой
познакомились люди, была,
наверное, половина. За ней
последовали 1/4, 1/8 …, затем 1/3, 1/6 и
т.д., то есть самые простые дроби,
доли целого, называемые
единичными или основными
дробями. У них числитель всегда
единица. Некоторые народы
древности и, в первую очередь,
египтяне выражали любую дробь в
виде суммы только основных
дробей. Лишь значительно позже у
греков, затем у индийцев и других
народов стали входить в
употребление и дроби общего вида,
называемые обыкновенными, у
которых числитель и знаменатель
могут быть любыми натуральными
числами.
Дроби в Древнем Риме
Римляне пользовались, в основном, только
конкретными дробями, которые заменяли
абстрактные части подразделами
используемых мер. Они остановили свое
внимание на мере «асс», который у римлян
служил основной единицей измерения массы, а
также денежной единицей. Асс делился на
двенадцать частей – унций. Из них
складывали все дроби со знаменателем 12, то
есть 1/12,2/12, 3/12…Так возникли римские
двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у
которых знаменателем всегда было число 12.
Вместо 1/12 римляне говорили «одна унция»,
5/12 – «пять унций» и т.д. Три унции
назывались четвертью, четыре унции –
третью, шесть унций – половиной. Сейчас
«асс» - аптекарский фунт.
Правила вычислений с десятичными дробями описал знаменитый ученый
средневековья аль-Каши Джемшид Ибн Масуд (умер около 1430 года), работавший в
городе Самарканде в обсерватории Улугбека .
Этот ученый был хорошо знаком с вавилонской шестидесятеричной системой счисления,
распространенной и на шестидесятеричные дроби, то есть на дроби со знаменателями
60, и т.д.
Знакомство с этими дробями и с десятеричной позиционной системой Индии навело
ученого на мысль применить десятеричную позиционную систему к дробям. Он первым
начал разрабатывать этот раздел в науке. Аль-Каши стал записывать дроби в одну
строку с числами в десятеричной системе. Чтобы отделить целое число от дробного, он
пользовался вертикальной чертой или чернилами разного цвета; например, целое число
записывал черными чернилами, а дробные знаки - красными.
В Европе о трудах аль-Каши долгое время не знали. Потребность же в более простых
вычислениях с дробями с развитием науки и культуры росла, математики настойчиво
искали пути решения этой проблемы.
Действия над дробями в средние
века считались самой сложной областью
математики.
До сих пор немцы говорят про
человека, попавшего в затруднительное
положение, что он "попал в дроби".
В 1585 году, независимо от альКаши, нидерландский ученый Симон
Стевин (1548-1620) сделал важное
открытие, о чем написал в своей
книге "Десятая". Эта маленькая
работа (всего 7 страниц) содержала
объяснение записи и правил
действия с десятичными дробями.
Стевин ещё не пользовался запятой,
но писал дробные знаки в одну
строку с цифрами целого числа. При
этом он нумеровал десятичные
знаки, вписывая порядковые номера
в окружности рядом с цифрой или
над цифрой. Например, число 12,761
он записывал так: 12 (0) 7 (1) 6 (2) 1
(1)
•
Десятичные дроби постепенно
распространились по Европе. Но
лишь в 19 веке они стали
пользоваться широкой
известностью в связи с
введением десятичной системы
мер.
Применение запятой при записи
дробей впервые встречается в
1592 году. Несколько позже - в
1617 году отделять десятичные
знаки от целого числа
предложил Джон Непер (15501617) - знаменитый
шотландский математик,
изобретатель логарифмов.
•
В России впервые о десятичных
дробях сказано в "Арифметике"
Магницкого.
Теория
Десятичная дробь, дробь, знаменатель которой есть целая степень числа
10. Десятичная дробь пишут без знаменателя, отделяя в числителе справа
запятой столько цифр, сколько нулей содержится в знаменателе.
Например, 3/100 = 0,03
В такой записи часть, стоящая слева от запятой, обозначает целую часть
дроби, первая цифра после запятой — количество десятых долей, вторая —
количество сотых и т.д. Десятичная запись рациональных чисел, знаменатель
которых не имеет других простых множителей, кроме 2 и 5, содержит
конечное количество цифр (например, 4/25 = 0,16); в общем случае цифры в
десятичной записи рационального числа, начиная с некоторого места,
периодически повторяются (такое число представляется бесконечной
периодической дробью, например, 7/6 = 1,1666...); иррациональные числа
представляются непериодическими бесконечными десятичными дробями,
например 7/6 = 1,1666..
Сложение и вычитание
Сложение и
вычитание
десятичных чисел
производится точно
так же, как сложение
и вычитание целых
чисел, нужно только
записывать
одноимённые
разряды один под
одним. Например,
Умножение
Умножение
десятичных дробей
проводится следующим
образом. Перемножаем
данные числа, как целые,
не обращая внимания на
запятые. Затем ставим в
произведении запятую по
следующему правилу:
число знаков после
запятой в произведении
равно сумме чисел знаков
после запятой во всех
сомножителях. Заметим,
что до постановки
запятой отбрасывать
знаки нельзя.
Пример
Вычислить
0,225 ∙ 0,04.
Решение
225 ∙ 4 = 900. Число
знаков после запятой
должно быть 3 + 2 = 5.
Приписывая к 900 нули
слева (00900),
отделяем справа пять
знаков. Получаем 0,09.
Итак, 0,225 ∙ 0,04 =
0,09.
Деление
Для того чтобы
разделить десятичную
дробь (или целое число)
на десятичное дробь,
нужно отбросить запятую
в делителе; в делимом же
переносим запятую
вправо на столько
знаков, сколько их было
в дробной части делителя
(в случае необходимости
в конце делимого
приписывают нули).
После чего делим
полученное число на
натуральное.
Геометрическая
интерпретация
Десятичные дроби поддаются геометрической
интерпретации. Так, десятичному числу 3,14 отвечает
точка на координатной прямой, которая получается
следующим образом. Нужно от начала координат
отложить три раза единичный отрезок, после отложить
один раз отрезок длины от единичного; затем отложить
отрезок длины единичного. Полученная точка и
соответствует числу 3,14.
• Десятичная дробь не
изменит величины,
если отбросить нули,
стоящие справа в ее
конце.
• Если десятичная
дробь имеет
нечетное число
десятичных знаков,
из нее точно
квадратный корень
не извлекается.
В науке и промышленности, в сельском
хозяйстве при расчетах десятичные дроби
используются значительно чаще, чем
обыкновенные. Это связано с простотой правил
вычислений с десятичными дробями,
похожестью их на правила действий с
натуральными числами.
Конец