МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ Методическое пособие для инженерных классов

Министерство образования и молодежной политики
Чувашской Республики
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ИНДУКЦИИ
Методическое пособие для
инженерных классов
физико-математического профиля
Автор: Николаева С.А.,
учитель математики
высшей категории
МБОУ «СОШ №3» г. Ядрина
В связи с переходом на профильное обучение возникла
необходимость в обеспечении углубленного изучения
предмета математики и подготовки учащихся к
олимпиадам, сдаче ЕГЭ, продолжению образования в
ВУЗах.
Владение
приемами
решения
задач
методом
математической индукции можно считать критерием
знаний основных разделов школьной математики, уровня
математического и логического мышления.
Цель курса:
 Формировать у учащихся умения и навыки по решению
задач методом математической индукции, сводящихся к
их исследованию для подготовки к олимпиадам, к ЕГЭ и к
обучению в вузе.
 Развивать
исследовательскую
и
познавательную
деятельность учащегося.
 Обеспечить условия для самостоятельной творческой
работы.
1.
2.
3.



Реализация данного курса опирается
на следующие принципы:
Обучение через сотрудничество.
Формирование посильного умения самостоятельно
сделать законченную и эстетически оформленную
творческую и исследовательскую работу.
Сочетание в практической деятельности
индивидуальной и коллективной форм работы.
Принцип вариативности курса:
Распределение времени на программные темы;
Использование средств обучения;
Выбор формы контроля.
Разработанный курс направлен на решение следующих
задач:
1. Развивать способности учащихся к математической
деятельности.
2. Развивать логическое мышление учащихся.
3. Предоставить
учащимся
возможность
проанализировать свои способности к математической
деятельности.
4. Познакомить
учащихся с понятием дедукция и
индукция, полная и неполная математическая
индукция.
5. Изучить общий принцип и метод математической
индукции.
6. Исследовать
на
наглядном
примере
метод
математической индукции.
7. Уметь применять метод математической индукции в
задачах на суммирование и для доказательства
тождеств, к доказательствам неравенств, к задачам на
делимость,
для
изучения
свойств
числовых
последовательностей
Основная
функция
предметно-ориентированного
курса математики «Метод математической индукции":
выявление
средствами
предмета
математики
направленности
личности,
ее
профессиональных
интересов.
Содержание курса не дублирует, а расширяет базовый
курс по математике и дает возможность познакомиться
учащимся с интересными, нестандартными вопросами.
Роль индуктивных выводов в экспериментальных
науках очень велика. Они дают те положения, из
которых потом путем дедукции делаются дальнейшие
умозаключения. И хотя теоретическая механика
основывается на трех законах движения Ньютона, сами
эти
законы
явились
результатом
глубокого
продумывания опытных данных, в частности законов
Кеплера движения планет, выведенных им при
обработке многолетних наблюдений датского астронома
Тихо Браге. Наблюдение, индукция оказываются
полезными и в дальнейшем для уточнения сделанных
предположений.
В математике роль индукции в значительной степени
состоит в том, что она лежит в основе выбираемой
аксиоматики.
Метод математической индукции можно сравнить с
прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате
логического мышления приходим к высшему. Человек
всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою
мысль
логически,
а
значит,
сама
природа
предначертала ему размышлять индуктивно.
Тематическое и поурочное планирование курса
«МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ»
для классов физико – математического профиля.
№
Тема
Количество
часов
1
Метод математической индукции (лекция)
1 ч.
2
Доказательство
делимости
Самостоятельная работа (25 мин).
3
Доказательство равенств. Самостоятельная работа (15-20
3 ч.
мин.).
4
Доказательство
(домашняя).
5
Последовательности.
6
Доказательство неравенств и
Домашняя контрольная работа.
7
Урок-зачёт.
2 ч.
8
Контрольная работа (4 варианта)
2 ч.
всего
18 ч.
тождеств.
и
кратности.
Проверочная
работа
2 ч.
3 ч.
2 ч.
нахождение
суммы.
3 ч.
Метод математической индукции.
а) Полная и неполная индукция.

Метод доказательства, при котором мы проверяем
утверждение
для
конечного
числа
случаев,
исчерпывающих все возможности, называют полной
индукцией. Этот метод применим сравнительно редко,
поскольку математические утверждения касаются, как
правило, не конечного, а бесконечных множеств
объектов.
Например:
 Теорема: «Любое число – чётное является суммой двух
простых чисел».
 В естественных науках (физике, химии, биологии)
применяют неполную индукцию: проведя эксперимент
несколько раз, переносят полученные результаты на все
случаи.
 Тем не менее разбор конечного числа случаев играет
важную роль в математике: не давая доказательства
того или иного утверждения, он помогает угадать
правильную формулировку того утверждения, если она
ещё не известна.

Пример 1.
 Угадаем с помощью неполной индукции формулу суммы
кубов первых n натуральных чисел.
 Решение:
13  1
13  23  9
13  23  33  36
13  23  33  43  100,
но
11
2
9  32
36  62
100  102.
Осталось сообразить, что представляет собой
последовательность чисел 1, 3, 6, 10, .......
Но
1=1,
3=2+1,
6=1+2+3,
10=1+2+3+4.
Мы приходим, таким образом, к гипотезе, что
13+23+33+…+n3 = (n2(n+1)2)/4
Метод математической индукции.
 В основе метода математической индукции лежит
принцип математической индукции, который
принимается как аксиома.
Утверждение P(n), зависящее от натурального n, справедливо при n  N, если:
1) утверждение P(n) справедливо при n=1;
2) для k  N из справедливости P(k)  справедливость P(k+1)
Доказательство методом математической индукции
проводится следующим образом:
Сначала доказывается при n = 1. Эту часть
доказательства называют базисом индукции.
Затем следует часть доказательства, называемая
индукционным шагом. В этой части доказывают
n  k 1
справедливость утверждения при
в предположении справедливости утверждения при n = k
(предположение индукции).
Пример.
Доказать, что любых натуральных n, число
an = n3 + 3n2 + 5n кратно 3.
Докажем методом полной математической индукции
1) если n = 1, то an =a1 = 13+3*12 + 5*1 =9 – кратно 3,
То есть утверждение справедливо при n = 1.
2) Предположим, что утверждение справедливо при
n=k, k  1, т.е.число a k =k 3 +3k 2 +5k
делится на 3. Установим, что при n=k+1, число
a k+1 =(k+1)3 +3(k+1) 2 +5(k+1) кратно 3
a k+1 =(k+1)3 +3(k+1) 2 +5(k+1)=
=k 3 +3k 2 +3k+1+3k 2 +6k+3+5k+5=
=(k 3 +3k 2 +5k)+(3k 2 +9k+9)=
=(k 3 +3k 2 +5k)+3(k 2 +3k+3)
Первое слагаемое кратно 3 по допущению, второе
слагаемое кратно 3, так как один множитель равен 3.
Итак, на основании принципа математической индукции
делаем вывод, что при
n  N число an  n3  3n 2  5n кратно 3
Самостоятельная работа. (15-20 мин.)
1 Вариант (2*).
1) 13  33  53  ...  (2n  1)3  n 2 (2n 2  1)
1
1
1
1
n
2)


 ... 

.
45 56 67
( n  3)( n  4) 4( n  4)
2 Вариант (1*,2**).
1)
7
7
7
7
1
+
+
+...+
=1.
1  8 8 15 15  22
(7n-6)(7n+1)
7n-1
2)
n(2n 2 +9n+1)
2+7+14+...+(n +2n-1)=
6
2
3 Вариант (1*,2**).
1 2 3
n
n+2
1)
+ 2 + 3 +...+ n =2- n .
2 2 2
2
2
1
1
1
1
1
1
2)
+
+
+...+
= .
4  8 8 12 12 16
4n(4n+4) 16 16(n+1)
Урок зачёт. (2ч)
 Цель урока: Дифференцированная проверка
усвоения знаний, умений и навыков учащимися
по теме «Метод математической индукции».
План урока:
 1. Орг. момент. Деление класса на пять групп.
В каждой группе есть консультант, сильный,
средний и слабый учащиеся.
 2. Каждая группа получает по 4 задания
дифференцированного характера:
I группа (1**,2***,3*).

1. Доказать:.
4n(2n  1)(2n  1)
2  6  ...  (4n  2) 
, n N
3
2. Дана последовательность
a1 , a2 ,..., an .
a1  2
n2
an 1 
 an
3. Доказать: .
n
1 3 5
2n  1
n 1
 2  3  ...  n  1  n Доказать: an  n(n  1)
3 3 3
3
3
2



2
4. Доказать: .
n  11n кратно 6, n  N
3
2
II группа (1***,2*,4**).

1. Доказать:
nn  5 справедливон неравенство 2n  n2  n  2.

2. Доказать:.
1
1
1
n

 ... 

, n N
1 2 2  3
n(n  1) n  1

3. Доказать:
7n  3n1 делится на 4, n  N

4. Доказать:
1 1 1
1
1
1
1
1
1     ... 



 ... 
2 3 4
2n  1 2n n  1 n  2
2n
III группа (1*,2***,4**).

1. Доказать:

2. Доказать:
1
1
1
n

 ... 

, n N
1 2 2  3
n(n  1) n  1
1

3. Доказать:

4. Доказать:
1 1 1
1
1
1
1
1
   ... 



 ... 
2 3 4
2n  1 2n n  1 n  2
2n
7n  3n1 делится на 4, n  N
1 3 5
2n  1
n 1
 2  3  ...  n  1  n
3 3 3
3
3
IV группа (1**,2*,4***).

1. Доказать:
nn  5 справедливон неравенство 2n  n2  n  2.

2. Доказать:
4n(2n  1)(2n  1)
2  6  ...  (4n  2) 
, n N
3
2

2
2
3. Доказать:
n3  11n кратно 6, n  N

4. Доказать:
11!+2  2! ...  n  n !  ( n  1)! 1
V группа (2***,3**,4*).

1. Доказать:
4n  15n  1 кратно 9, n  N

2. Дана последовательность
a1 , a2 ,..., an .
a1  2


n2
an 1 
 an
3. Доказать:
n
1 3 5
2n  1
n  1 Доказать: a  n(n  1)
   ... 
 1
n
3 32 33
4. Доказать:
3n
3n
n  11n кратно 6, n  N
3



3. В течение первого урока все группы решают свои
задания. Кто выполнил все задания - помогает
товарищам в группе.
4. В конце урока подводятся в каждой группе итоги
работ. Результаты зачёта выставляются в журнал
оценок.
5. На втором уроке разбираются на доске задания с
подробными решениями. Также решаются задания,
предложенные сильным учащимся.
Итоговая контрольная работа по теме
«Метод математической индукции». (2ч)

I вариант (1*,3**).
1) Докажите методом математической индукции:
1 3 5
2n  1
n 1
 2  3  ...  n  1  n
3 3 3
3
3
2) Доказать:

10n  9n  1 делится на 81, n  N
3) Докажите, что если

a1  2, a2  8, an  2  4an 1  3an , то an  3n 1 , n  N

II Вариант (1**,2*).
1) Докажите методом математической индукции:
4+60+...+(n+1)(3n-1)  4n-1  n2  4n



2) Докажите, что
6n1  72 n1 делится на 43, n  N
3) Докажите, что при n  N
n  4 имеет место неравенство 3n  5n2 .
III Вариант.

1*) Докажите методом математической индукции
1 8 2 11
n(3n  5)
n(n  1)

 ... 

4  7 7 10
(3n  1)(3n  4) 3n  4

2) Докажите, что для n  N справедливо
утверждение:
2n
3  8n  1 кратно 16

3**) Докажите, что если
a1  1, a2  5, an  2  5an 1  6an , то an  3n  2n , n  N
IV Вариант.

1*)Докажите методом математической индукции:
3  2+4  22  5  23...  (n  2)  2n  (n  1)  2n1  2

2) Докажите, что для n  N справедливо утверждение:
5  9n1  24n3 кратно 7

3**) Докажите, что при , n  N
n  6 имеет место неравенство 2n  n(n  4).
Задачи на применение метода
математической индукции для
подготовки к олимпиадам и
ЕГЭ по математике.
 1. Ханойские башни.

Есть три стержня и n колец разного
размера. Класть можно только кольцо
меньшего размера на кольцо большего
размера. Можно ли переместить пирамидку
с одного стержня на другой?
2. Пересечение прямых.
 Докажите, что для любых n прямых, расположенных на
одной плоскости, никакие две из которых не
параллельны, и никакие три не пересекаются в одной
точке, пересекаются ровно в
точках.
3. Разрезание квадрата.


Из квадрата клетчатой бумаги размером вырезали одну
клетку. Докажите, что полученную фигуру можно
разрезать на «уголки» из трёх клеток.
4. Три острых угла.
 Докажите, что при каждом натуральном n, начиная с 3,
существует выпуклый n-угольник, имеющий ровно три
острых угла.
5. Раскраска плоскости.

Плоскость разделена на части n прямыми. Докажите,
что эти части можно раскрасить в два цвета так, что
соседние куски будут раскрашены в разные цвета.
6. Сумма углов n-угольника.

Докажите что сумма углов выпуклого n-угольника
равна
, (или (n − 2)π радиан). В частности
для треугольника получаем
, а для
четырехугольника —
7. Число кусочков.
 Чему равно количество кусочков, на которые n прямых
(не проходящих через одну точку) делят плоскость на
части? Одна прямая — на две части, две — на четыре. А
пятнадцать прямых?
 Метод математической индукции на примере
задания С6 из тренировочного ЕГЭ 2010.

Задача: решить уравнение 2n = 3m + 1, n и m натуральные.
Решение: Перепишем уравнение в виде 2n − 1 = 3m (1).
Рассмотрим два случая - когда n-нечетное и когда nчетное.
1) n-нечетное, т.е. n=2k-1. Докажем, что 22k -1 − 1 не
делится нацело на 3, давая остаток 1, при натуральных k
методом математической индукции.
Для доказательства методом математической
индукции необходимо выполнить два пункта доказать утверждение при наименьшем k, и доказать,
что есть утверждение выполняется для какого-либо
k, то оно выполняется и для k+1.
а) пусть k=1, тогда
2 2*1-1-1 =1 не делится нацело на три, давая остаток 1.
б) пусть 22k − 1 − 1 не делится на 3, давая остаток 1. Это
означает, что 22k − 1 − 1 = 3t + 1.
Тогда 22(k + 1) − 1 − 1 = 22k − 1 + 2 − 1 = 4 * 22k − 1 − 1 = 4 * 22k − 1 −
4 + 3 = 4(22k − 1 − 1) + 3 = 4(3t + 1) + 3 = 12t + 7 = 3(4t + 2) + 1
- не делится нацело, давая остаток 1.
Выполнив оба пункта, мы доказали утверждение методом
математической индукции. Так как при нечентых n левая
часть равенства (1) не делится на 3, а правая делится на 3
всегда, то равенство не выполняется.
2) n-четное, т.е. n=2k. Тогда применив формулу разности
квадратов к левой части получим равество
(2k − 1)(2k + 1) = 3m.
Так как правая часть равенства - целая степень числа 3,
то левая тоже должна быть целой степенью 3. Значит,
2k − 1 = 3p, 2k + 1 = 3q, где p+q=m, q>p.
3q − 3p = 2k + 1 − (2k − 1) = 2. Вынесем за скобки 3p.
Получаем 3p(3q − p − 1) = 2. Так как все числа целые, то
такое возможно если один из множителей равен 1, а
второй 2. Первый множитель не может равняться 2, т.к.
является степенью 3. Получаем, что 3p = 1, p = 0.
Тогда (3q − p − 1) = 2, 3q − p = 3, q − p = 1, q = 1,
m = p + q = 0 + 1 = 1.
Подставив в изначальное уравнение,
получим 2n = 31 + 1, 2n = 4, n = 2
Ответ: m=1, n=2.
Заключение.
Изучение курса «Метод математической индукции»
необходимо учащимся в наше время, как при подготовке к
ЕГЭ, к олимпиадам, так и к вступительным экзаменам в
вузы. Владение приемами решения задач методом
математической индукции можно считать критерием
знаний основных разделов школьной математики, уровня
математического и логического мышления.
Метод математической индукции открывает перед
учащимися значительное число эвристических приемов
общего характера, ценных для математического развития
личности, применяемых в исследованиях и на любом
другом математическом материале. Именно такие задачи
играют большую роль в формировании логического
мышления и математической культуры у школьников.
Поэтому учащиеся, владеющие методом математической
индукции успешно справляются с самыми сложными
задачами на олимпиадах и в тестах ЕГЭ по математике
(С6).
Список использованной литературы.
1. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике / Вавилов В.В., Мельников
И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. - М.: Наука. - 1987. - стр.396.
2. Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика/ Пособие для учителей. - М.:
Просвещение. – 1976. - стр.4 - 18.
3. Головина Л.И., Яглом И.М. Индукция в геометрии. - М.: Госуд. издат. ттеор литер. - 1956 - стр.100.
4. Пособие по математике для поступающих в вузы/ Под ред. Яковлева Г.Н. М.: Наука. – 1981. - стр.47-51.
5. Рубанов И.С. Как обучать методу математической индукции/ Математика в
школе. - №1. – 1996. - стр. 14-20.
6. Соломинский И.С. Метод математической индукции. - М.: Наука. - 1974.
- стр. - 63.
7. Соломинский И.С., Головина Л.И., Яглом И.М. О математической индукции.
- М.:Наука. – 1967. - стр.7-59.
8. Виленкин Н.Я и др. Алгебра и математический анализ 10. – М.:
Просвещение. – 1992. - стр.39-49.
9. Галицкий М.Л. и др. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа/
Пособие для учителей. - М.:Просвещение. – 1986. - стр.11-19.
Рекомендуемая литература для учащихся.
1. Болдырева М.Х., Дворянинов С.В.и др., «Избранные вопросы школьного курса
математики», Выпуск №1, Самара, СИПКРО, 2001г.
2. И.Н. Антипов, Н.Я. Виленкин Избранные вопросы математики, Москва,
«Просвещение», 1979г.
3. К.У. Шахно, Элементарная математика для окончивших среднюю школу, Ленинград,
1976г., стр. 46-53.
4. Универсальная энциклопедия школьника, Математика и программирование, Минск,
ТОО «Харвест», 1996г., стр. 176-178.