Документ 486553

НОВАЯ КИНЕМАТИКА
Канарёв Ф.М. [email protected]
Анонс. Основные положения НОВОЙ КИНЕМАТИКИ будут включены в учебники по
теоретической механике и физике в ближайшие годы.
2.1. Основные понятия и аксиомы кинематики
Кинематика - раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных точек и твердых тел независимо от сил, приложенных к ним.
Кинематика, как и вся теоретическая механика, базируется на фундаментальных аксиомах и постулатах Естествознания.
Аксиома – очевидное утверждение, не требующее экспериментальной проверки и
не имеющее исключений.
Постулат – неочевидное утверждение, достоверность которого доказывается
экспериментально или - совокупностью теоретических результатов, следующих из
экспериментов.
Гипотеза – недоказанное утверждение, которое не является постулатом. Доказательство может быть теоретическим и экспериментальным. Оба эти доказательства не
должны противоречить аксиомам и общепризнанным постулатам.
Ценность аксиомы не зависит от её признания. Она сама защищает свою достоверность очевидной связью с реальностью.
Ценность постулата определяется уровнем признания его достоверности научным сообществом.
Под движением в механике понимается изменение положения твердого тела в пространстве и во времени.
Пространство в классической механике рассматривается как абсолютное, трехмерное,
в котором все построения базируются на геометрии Евклида. В качестве основной единицы
измерения пространственной протяженности принят метр.
Время в теоретической механике также абсолютно. Оно одинаково и равномерно течет во всех точках пространства. Пространство и время считаются абсолютными потому,
что в Природе нет таких явлений, которые бы могли влиять на пространство и время.
Например, искривлять пространство или изменять темп течения времени (ускорять или замедлять его ход). Единица измерения времени в системе СИ – секунда.
Абсолютное пространство и абсолютное время - главные аксиомы теоретической
механики. Они в корне отличаются от псевдонаучных постулатов относительного пространства и относительного времени.
В задачах кинематики время - скалярная величина (аргумент). Все другие переменные
величины: расстояния, скорости, ускорения и замедления - функции времени.
Чтобы точно описать движение одного тела относительно другого, нужно с одним из
тел связать систему отсчета и рассматривать в ней движение другого тела.
В Теоретической механике системы отсчета делятся на два класса: инерциальные и
неинерциальные. Система отсчета, которая находится в покое или движется прямолинейно
и равномерно называется инерциальной. В практике инженера - механика сельского хозяйства инерциальной системой отсчета считается система отсчета, связанная с Землей. Однако, в астрономических исследованиях система отсчета, связанная с Землей уже не может
быть инерциальной, так как Земля движется не прямолинейно, а криволинейно - по орбите
вокруг Солнца со скоростью около 30 км/с.
2
Задать закон движения точки или тела - значит составить такое математическое уравнение, которое позволит определить положение рассматриваемой точки или тела в выбранной системе отсчета в любой момент времени.
Все законы Теоретической механики работают в рамках основной аксиомы Естествознания – аксиомы Единства пространства, материи и времени. Математическая суть этой
аксиомы выражается в зависимости координат объектов, движущихся в пространстве, от
времени.
2.2. Классификация движений материальных точек и тел
Необходимость классификации движений материальных точек и тел обусловлена тем,
что в реальной действительности они всегда начинают двигаться ускоренно, а потом переходят в фазы равномерного и замедленного движений. Так как все эти фазы взаимозависимы, то описание их движений надо всегда начинать с фазы ускоренного движения. Иначе
будет потеряна информация о предшествующей фазе движения и появятся противоречия,
которые трудно заметить в математических моделях, которые описывают эти движения.
Так как все тела всегда начинают двигаться ускоренно и лишь потом переходят в фазу
равномерного движения, то постанока на первое место закона равномерного движения и
породило совокупность противоречий в динамике Ньютона.
Из изложенного следуют три последовательные фазы движений материальных объектов: ускоренная, равномерная и замедленная. Если мы хотим отразить реальность изучаемого процесса движения материального объекта, то обязаны начинать его с анализа ускоренной фазы движения, так как фазы равномерного и замедленного движеий материальных
объектов – всегда, повторим ещё раз, всегда являются следствиями ускоренного их движения. Это требование обусловлено тем, что любое следствие имеет причину, поэтому нельзя
изучать следствие, не зная причину, породившую это следствие. Из этого автоматиески
следует логический запрет постановки на первое место равномерного движения материального объекта.
Однако, Иссак Ньютон не обратил внимание на этот фундаметальный факт и начал в
своей динамике описание движения материальных объектов с равномерного движения. Не
заметили этого факта и его последователи. В результате, множились теоретические заблуждения в других фундаментальных науках и сейчас развитие этих заблуждений достигло апогея.
Человеческая мысль не может мириться с обилием противоречий, сформировавшихся
в фундаментальных науках, и ищет выход из научного тупика. Представленная классификация движений материальных объектов – начало выхода из него. Мы попытаемся изложить последовательно начальную информацию выхода из этого кризиса, владея которой
исследователи будут понимать причины кризиса фундаментальных наук и излагаемую
нами последовательность выхода из этого кризиса.
2.3. Кинематика точки
Точка – упрощённая модель реального объекта, которая позволяет описать его поведение математически. Cуществуют следующие основные способы задания движения точки
по отношению к выбранной системе отсчета: а - координатный; б - векторный; в - естественный.
2.3.1. Координатный способ задания движения точки
Это наиболее наглядный и удобный способ задания движения точки. Положение точки М по отношению к выбранной системе отсчета, в данном случае, определяют ее декар-
3
товы координаты x, y, z (рис. 2.1). При изменении положения точки М меняются ее координаты x, y, z ; следовательно, они являются функциями времени:
x  f1 (t );
y  f 2 (t );
z  f 3 (t ).
(2.1)
Эти уравнения описывают закон движения точки в пространстве. Уравнения, описывающие закон движения точки в плоскости XOY и по прямой OX соответственно, имеют
вид:
(2.2)
z  0.
x  f1 (t );
y  f 2 (t );
x  f1 (t );
y  0;
z  0.
(2.3)
Приведенные уравнения содержат переменный параметр t , поэтому их называют
уравнениями движения точки в параметрической форме. Они определяют закон движения
точки. Чтобы найти уравнение траектории движения точки, надо исключить из них параметр t .
Рис. 2.1. Схема к координатному способу задания движения точки
Пример. Определить траекторию движения точки, если заданы уравнения ее движения:
x  R sin t ;
y  R cos t .
Исключив параметр t , получим:
x 2  y 2  R 2 sin 2 (t )  R 2 cos 2 (t )  R 2 .
Как видно, траектория движения точки - окружность.
2.3.2. Векторный способ задания движения точки
Пусть точка М движется в системе отсчета XYZ . Ее положение можно определить с
помощью радиуса -вектора, проведенного из начала координат в точку М (рис. 2.2).
4
Рис. 2.2. Схема к векторному способy задания движения точки
При движении точки М ее координаты x, y, z будут изменяться, следовательно, будет меняться модуль и направление вектора r . Таким образом, вектор r является переменным вектором (вектором функцией), зависящим от аргумента t , поэтому можно записать:
r  r (t );
r  xi  y j  z k ,
(2.4)
(2.5)
где x, y, z - проекции вектора r на оси координат; i, j , k - единичные векторы - орты
декартовых осей.
Приведенные уравнения определяют закон движения точки М в векторной форме.
Так как проекции вектора r на оси координат равны координатам его конца, то есть координатам точки М , то уравнение (2.5) позволяет перейти от векторного способа задания
движения точки к координатному. В уравнении (2.5) x  f 1(t ), y  f 2 (t ) и z  f 3 (t ). Построив соответствующий радиус вектор r , мы с помощью его проекций x,y,z на оси координат устанавливаем положение движущейся точки М в пространстве. Модуль вектора r
определится по формуле
r  x2  y2  z2 ,
(2.6)
а направление вектора r в пространстве определится через направляющие косинусы
(рис. 2.2):
x
cos  
;
(2.7)
2
x  y2  z2
y
cos  
;
(2.8)
x2  y2  z2
z
cos 
.
(2.9)
x2  y2  z2
5
Таким образом, приведенные формулы позволяют определить в любой момент времени положение конца вектора r в пространстве, соответствующее положению точки М .
Геометрическое место концов вектора r называется годографом этого вектора и
представляет собой траекторию движения точки М .
М
r  2t i  3t 2 j  t 3 k .
Пример.
Точка
движется
по
закону:
Здесь:
x  2t; y  3t 2 ; z  t 3 . Пусть t  1c , тогда r  2i  3 j  1k . Таким образом, при t  1c координаты точки М равны: x  2; y  3; z  1. По этим координатам определяют положение точки М в пространстве в момент времени t  1c .
Как видно, преимущество векторного способа задания движения точки заключается в
экономности записи (2.4), (2.5), а недостаток в том, что при построении траектории движения приходится переходить к координатам точки (2.1).
2.3.3. Естественный способ задания движения точки
Естественный способом задания движения точки используется в том случае, когда
траектория движущейся точки заранее известна, тогда саму траекторию берут в качестве
координатной оси и выделяют на ней начало отсчета O с положительным (+) и отрицательным (-) направлениями (рис. 2.3).
При естественном способе задания движения точки, ее положение на траектории однозначно определяется дуговой координатой S .
Рис. 2.3. Схема к естественному способу задания движения точки М
С течением времени t положение точки М на траектории изменяется, меняется и ее
координата S . Отсюда видно, что для определения положения точки М в любой момент
времени надо знать закон изменения ее дуговой координаты S , то есть функцию
S  f (t ) .
(2.10)
Эта функция является законом движения точки вдоль траектории. Заметим, что
S  f (t ) не уравнение траектории, а уравнение закона движения точки вдоль заданной траектории.
Таким образом, чтобы задать движение точки естественным способом, надо задать: а)
траекторию точки; б) начало движения этой точки (начало отсчета на этой траектории; в)
закон движения точки вдоль траектории в виде S  f (t ) .
Если точка движется прямолинейно вдоль оси x , то S  x  f (t ) - закон прямолинейного движения точки.
6
2.3.4. Переход от координатного способа задания движения точки к естественному
Если движение точки задано координатами: x  f1 (t ); y  f 2 (t ); z  f 3 (t ) то, используя
известную зависимость между дифференциалом дуги dS и дифференциалами ее проекций
dx, dy , dz , имеем
(2.11)
(dS ) 2  (dx) 2  (dy) 2  (dz ) 2 .
Это соотношение можем переписать так
2
2
2
2
 dS 
 dx   dy   dz 
        .
 dt 
 dt   dt   dt 
(2.12)
Учитывая, что:
dx 
 x;
dt
dy 
 y;
dt
dz 
z,
dt
получим



dS  ( x) 2  ( y ) 2 ( z ) 2 dt
(2.13)
Считая, что при t  0 , S  0 , и интегрируя выражение (2.13)
S
t
 dS  S  
0



( x) 2  ( y) 2 ( z ) 2 dt ,
(2.14)
0
получим закон движения точки: S  f (t ).
Пример. Движение точки задано уравнениями:
y  r cos t.
x  r sin t ;
Найти траекторию точки и закон ее движения по этой траектории. Исключая из уравнений t , имеем:
x 2  y 2  r 2 sin 2 t  r 2 cos 2 t  r 2 .
Это - окружность. Дифференцируя уравнения движения точки, имеем:
dx 
 x  r  cos t ;
dt

dy 
 y  r  sin t.
dt

Далее, подставляя в уравнение (2.14) x и y , получим:
t
t
0
0
S    2 r 2 cos 2 t   2 r 2 sin 2 t  dt  r  dt  rt.
7
Окончательно имеем: S  f (t )  rt - закон движения точки по окружности в естественной форме. Точка движется по окружности равномерно.
Скорость и ускорение материальной точки
Скорость и ускорение движения материальной точки - величины векторные. В силу
этого у них могут изменяться сразу две характеристики: модуль вектора и направление его
в пространстве.
Изменение положения точки или тела в пространстве в единицу времени называется скоростью, а изменение модуля и направления вектора скорости точки тела с
течением времени - ускорением.
2.3.5. Определение скорости точки при векторном способе задания её движения
Пусть точка М в момент времени t 0 находится в положении M 0 , определяемом вектором r 0 , а в момент времени t1 - в положении М 1 , определяемом вектором r 1 (рис. 2.4).
Рис. 2.4. Схема к определению скорости точки в момент времени t 0
Если точка движется криволинейно, то вектор  r направлен по хорде (рис. 2.4), а если она движется прямолинейно вдоль прямой M 0 M 1 , то из векторного треугольника
OM 0 M 1 видно, что
r1  r 0  M 0 M1 ,
откуда
M 0 M 1  r 1  r 0  r
За время t  t1  t 0 точка М переместится в пространстве на величину M 0 M 1  r .
Средняя скорость движения точки за время t определится по формуле:
V CР 
r
.
t
(2.15)
8
Направление векторов V CР и M 0 M 1  r совпадают. В пределе, когда t  0 , получим скорость точки М в данный момент времени.
r d r

м / с.
t 0 t
dt
V  lim V CР  lim
t 0
(2.16)
Вектор V скорости точки M в данный момент времени равен первой производной от
радиуса - вектора r по времени t .
Рис. 2.5. Направление вектора V скорости точки М
Так как предельным направлением секущей М 0 М 1 является касательная, то вектор
скорости V точки M в данный момент времени t направлен по касательной к траектории
точки в сторону ее движения (рис. 2.5.).
2.3.6. Определение ускорения точки при векторном способе задания ее движения
Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение модуля и направления вектора скорости точки с течением времени.
Рис. 2.6. Схема к определению ускорения точки
Пусть в момент времени t 0 скорость точки равнялась V 0 , а в момент времени t1
-
V 1 . Тогда за время t  t1  t 0 cкорость точки изменится на величину V  V 1  V 0 .
Изменение вектора V за время t - есть среднее ускорение a cр .
a cр 
V
.
t
(2.17)
9
Направление векторов a c и V совпадают. В пределе при t  0 получим вектор
a - ускорение точки в данный момент времени.
V dV d 2 r

 2 .
t 0 t
dt
dt
a  lim
(2.18)
Вектор ускорения a точки М в данный момент времени равен первой производной
от вектора V скорости или второй производной от радиуса - вектора r по времени.
Направление вектора a
При прямолинейном движении точки вектор a , очевидно, направлен вдоль прямой.
При криволинейном движении точки в плоскости вектор a , как и вектор a ср (рис. 2.6),
направлен в сторону вогнутости кривой.
Если траектория точки не плоская кривая, то a направлен в сторону вогнутости кривой и лежит в плоскости П, проходящей через касательную к траектории в точке М 0 и
прямую, параллельную касательной в соседней точке М 1 (рис. 2.7).
В пределе, когда t  0 и М 1  М 0 плоскость П занимает положение, при котором
она не касается, а соприкасается с кривой М 0 М 1 в точке М 0 и поэтому называется соприкасающейся плоскостью. Следовательно, в общем случае вектор a лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.
Рис. 2.7. Схема к определению расположения кривой М 0 М 1 в соприкасающейся плоскости
2.3.7. Определение скорости и ускорения точки
при координатном способе задания её движения
При координатном способе задания движения материальной точки сами координаты
являются функциями времени:
z  f 3 (t ).
(2.19)
x  f1 (t );
y  f 2 (t );
Проекции V X ;VY ;VZ вектора скорости V точки на оси координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.
dx
 VX ;
dt
dy
 VY ;
dt
dz
 VZ .
dt
(2.20)
10
Тогда модуль вектора скорости
V  V X2  VY2  VZ2 .
(2.21)
Углы  ,  и  между вектором V и осями координат OX, OY, OZ определяются с
помощью направляющих косинусов:
cos  
VX
;
V
cos  
VY
;
V
cos  
VZ
.
V
(2.22)
Проекции ускорения точки
Известно, что a  dV / dt. Поэтому на основании теоремы: проекция производной от
вектора на какую-нибудь ось равна производной от проекции дифференцируемого вектора
на ту же ось, имеем:
 dV

 dt


dV
d 2x
  x  2  ax ;

dt
dt
X
(2.23)
 dV

 dt

dV y d 2 y

 
 2  ay ;

dt
dt
Y
(2.24)
 dV

 dt


dV
d 2z
  z  2  az .

dt
dt
Z
(2.25)
То есть проекции a x , a y , a z ускорения точки на оси координат равны вторым производным от соответствующих координат точки по времени.
Модуль ускорения точки
2
2
2
 d 2x   d 2 y   d 2z 
a  a  a  a   2    2    2  .
 dt   dt   dt 
2
x
2
y
2
z
(2.26)
Направляющие косинусы вектора ускорения:
cos  
ax
;
a
cos  
ay
a
;
cos  
az
;
a
Если точка движется прямолинейно, например, вдоль
x  f (t ); y  0; z  0 , а скорость и ускорение определятся по формулам:
V  Vx 
dx
;
dt
a  ax 
d 2x
.
dt 2
(2.27)
оси
OX ,
то:
(2.28)
11
2.3.8. Определение скорости и ускорения точки при
естественном способе задания её движения
Закон движения точки в этом случае записывается так S  f (t ). За время t  t1  t
дуговая координата точки изменится на величину S  S1  S . Средняя скорость изменения
дуговой координаты будет равна (рис. 2.8).
S  S S
(2.29)
VC  1

.
t1  t
t
Рис. 2.8. Схема к определению скорости точки
при естественном способе задания ее движения
Переходя к пределу, найдем численную величину скорости точки в данный момент
времени
S dS
V  lim

.
(2.30)
t 0 t
dt
Численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от криволинейной координаты S по времени.
Ускорение точки при естественном способе задания её движения рассматривается относительно самой траектории движения. Для четкости представления закономерности изменения модуля и направления вектора ускорения вводятся естественные оси. Они
необходимы для того, чтобы учесть изменение кривизны траектории движения точки в
пространстве. Естественные оси направляются следующим образом (рис. 2.9):
Касательная ось M - вдоль касательной к траектории в сторону положительного отсчета координаты S ;
Нормальная ось Mn - по нормали, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории.
Рис. 2.9. Схема к аналазу образования касательного a
и нормального a n ускорений точки
12
Бинормальная ось Mb - перпендикулярно первым двум осям так, чтобы она образовала с ними правую систему координат.
Нормаль Mn называют главной нормалью, а Mb - бинормалью.
Нам уже известно, что полное ускорение a точки М , движущейся по криволинейной
траектории, направлено в сторону вогнутости кривой и лежит в соприкасающейся плоскости.
Проектируя полное ускорение a точки на касательную и нормаль, получим касательное a и нормальное a n ускорения.
Касательное ускорение
Пусть в момент времени t точка занимает положение М (рис. 2.9) и имеет скорость
V , а в момент времени t1 - положение М 1 и - скорость V1 . Тогда предел отношения разности скоростей ко времени t определит касательное ускорение a точки в данный
момент времени.
Из рис. 2.9 находим:
V cos   V
(2.31)
a  lim 1
.
t 0
t
Поскольку при t  0 угол   0 и cos   1 , то
a  lim
t 0
V1  V
V dV
 lim

.

t

0
t
t
dt
(2.32)
Следовательно, касательное ускорение a направлено вдоль касательной к траектории и численно равно
dV d 2 S
a 
 2 .
(2.33)
dt
dt
Нормальное ускорение
Для определения нормального ускорения возьмем предел разности проекций скоростей точек М 1 и М на нормаль к интервалу времени их изменения t . Из рис. 2.9 также
имеем
V sin   0
V sin   S  
a n  lim 1
 lim 1
.
(2.34)
t 0

t

0
t
t  S  
Составляющие формулы (2.34) равны:
lim V1  V ;
t 0
и
sin 
 1;
t 0 
lim
S
V
t  0 t
lim

1
k .
t 0 S

lim
(2.35)
13
Величина k - кривизна кривой, а  - радиус ее кривизны. После подстановки полученных данных в исходное уравнение (2.34) окончательно имеем
an  V 2 /  .
(2.36)
Нормальная составляющая a n полного ускорения a точки М при ее криволинейном
движении равна частному от квадрата скорости на радиус кривизны  траектории в данный момент времени.
Касательное замедление
Касательное ускорение a  возникает при ускоренном движении материальной точки
или тела (рис. 2.10, а), но как только оно становится отрицательным, то мы лишаемся логического права называет его ускорением, так как оно характеризует замедленное движение
точки или тела. С учётом этого логичнее будет назвать отрицательное ускорение замедлением и обозначить его в данном случае символом b (рис. 2.10, б). Необходимость такой
условности обусловлена тем, что, если точка или тело движутся ускоренно, то это ускорение формируется активной Ньютоновской силой F  m  a . Когда Ньютоновская сили исчезает, то точка или тело могут двигаться равномерно или замедленно. При равномерном
движении ускорение a равно нулю, а когда начинается фаза замедленного движения, то её
уже нельзя характеризовать понятием ускорение, даже если оно и отрицательно. Для характеристики замедленного движения точки или тела надо ввести новое понятие «замедление b » (рис. 2.10, б).
Рис. 2.10. Направления векторов: касательного ускорения a  и касательного замедления
b
Полное ускорение точки при её ускоренном движении
2
2
 dV   V 
 ;
a  a  a  
  
 dt    
2
2
2
n
(2.37)
Когда точка движется замедленно, то направление касательного ускорения изменяется
на противоположное и оно превращается в замедление, а направление нормального ускорения осевращается таётся прежним, поэтому полное замедление b точки при её замедленном движении определяется по формуле
14
2
2
 dV   V 

b  b  a  

   .
 dt    
2
2
2
n
tg 
где
a
b

.
an
an
(2.38)
(2.39)
 - угол между нормалью Mn к кривой и вектором a полного ускорения или
полного замедления b точки (рис. 2.10, б).
Таким образом, если движение точки задано естественным способом (известна траектория движения) то, зная закон движения S  f (t ) , можно определить модули векторов a
и b и их направления в пространстве в любой момент времени.
2.3.9. Некоторые частные случаи движения точки
Прямолинейное ускоренное движение. В этом случае радиус кривизны траектории
точки равен бесконечности (    ) , а нормальное и тангенциальное ускорения равны соответственно:
dV
V2
a 
.
an 
 0;
dt

Ускорение a в этом случае имеет только положительную величину. Из dV  a  dt
после двукратного интегрирования получим закон прямолинейного ускоренного движения
точки x  S  f (t ). Таким образом, тангенциальное (касательное) ускорение точки характеризует изменение численной величины ее скорости.
Равномерное прямолинейное движение точки
Нетрудно видеть, что в этом случае: an  0; a  0 и
V 
Из этого имеем:
dS
 const .
dt
dS  Vdt  S  Vt  f (t ).
Это - единственный вид движения, в котором полное ускорение точки равно нулю.
Замедленное прямолинейное движение точки
В этом случае радиус кривизны траектории точки равен бесконечности (    ) . Нормальное ускорение равно нулю ( a n  V 2 /   0 ), а вместо касательного ускорения a действует касательное замедление b  dV / dt . После двукратного интегрирования этого
уравнения получим закон прямолинейного замедленого движения точки x  S  f (t ). Та-
15
ким образом, тангенциальное (касательное) замедление точки характеризует изменение
численной величины ее скорости.
Равномерное криволинейное движение точки.
При равномерном криволинейном движении V  const , поэтому a  0 и действует
только нормальное ускорение a n  V 2 /  , которое в данном случае характеризует изменение вектора скорости V по направлению.
2.3.10. Сложное движение точки
Во многих задачах механики целесообразно, а иногда и необходимо рассматривать
движение точки сразу относительно двух систем отсчета, одна из которых X 0Y0 Z 0
неподвижна, а вторая XYZ движется относительно первой определенным образом (рис.
2.11).
Рис. 2.11. К описанию сложного движения точки М
при поступательном переносном движении подвижной системы отсчета
Движение точки М по отношению к подвижным осям координат XYZ называется
относительным, траектория этого движения - относительной траекторией, скорость V r относительной скоростью, и ускорение a r - относительным ускорением.
Движение, совершаемое подвижной системой отсчета XYZ и неизменно связанной с
ней точкой М по отношению к неподвижной системе X 0Y0 Z 0 является для точки М
переносным движением.
Скорость точки М , неизменно связанной с подвижными осями XYZ , называется переносной скоростью V e , а ускорение - переносным ускорением a e .
Движение, совершаемое точкой М по отношению к неподвижной системе отсчета,
называется абсолютным движением, скорость - абсолютной скоростью V , а ускорение - абсолютным ускорением a .
Рассмотрим вначале самый простой случай, когда подвижная система отсчета XYZ
движется поступательно (рис. 2.11). Движение подвижной системы отсчета считается переносным движением.
16
Теорема сложения скоростей при поступательном
переносном движении подвижной системы отсчета
Теорема: При поступательном переносном движении абсолютная скорость V точки
М равна геометрической сумме переносной V e и относительной V r скоростей.
V  V e V r
(2.40)
Из векторного треугольника O0 OM на рис. 2.11 для радиуса – вектора точки
М относительно неподвижной системы отсчёта имеем
ra  re  rr .
(2.41)
Разложим вектор r r на составляющие по осям
r a  r e  xi  y j  z k .
(2.42)
Так как оси XYZ параллельны осям X 0Y0 Z 0 то, дифференцируя составляющие этого
уравнения, характеризующие поступательное движение, по времени, имеем
d r a d r e dx
dy
dz

  i   j   k.
dt
dt
dt
dt
dt
(2.43)
В этой формуле:
dra
V ;
dt
dre
Ve;
dt
dx
dy
dz
i 
 j  k V r.
dt
dt
dt
Подставляя результаты в уравнение (2.43), получим V  V e  V r . Теорема доказана.
Теорема сложения ускорений при поступательном переносном движении подвижной
системы отсчета
Теорема:
При поступательном переносном движении подвижной системы отсчета
абсолютное ускорение a точки М равно геометрической сумме переносного a e и
относительного a r ускорений.
a  ae  ar .
Дифференцируя уравнение (2.43) второй раз, имеем
d 2 ra d 2 re d 2x
d2y
d 2z



i


j

 k.
dt 2
dt 2
dt 2
dt 2
dt 2
(2.44)
17
В этой формуле:
d 2ra
a ;
dt 2
d 2re
 ae ;
dt 2
d 2x
d2y
d 2z

i


j

 k  ar .
dt 2
dt 2
dt 2
Подставляя результаты дифференцирования в исходное уравнение (2.43), имеем
a  a e  a r . Теорема доказана.
Теорема сложения скоростей при непоступательном переносном движении
подвижной сиситемы отсчета
Теорема: при непоступательном переносном движении абсолютная скорость V точки
М равна геометрической сумме переносной V e и относительной
V r скоростей
V  V e V r .
Из векторного треугольника O0 OM (рис. 2.12) имеем
ra  re  rr .
(2.45)
Так как переносное движение непоступательное, то единичные векторы i, j , k также
переменные величины.
r a  r e  xi  y j  z k .
(2.46)
Рис. 2.12. К описанию сложного движения точки М при непоступательном
переносном движении подвижной системы отсчета
Обратим внимание на уравнение (2.46). Оно представляет собой сложную функцию с
независимыми переменными r e , x, y, z, i, j , k которые являются функциями времени t .
Поэтому при дифференцировании уравнения (2.46) необходимо определять частные
производные. Однако, чтобы упростить процедуру дифференцирования, будем считать
функцию r a суммой переменных, зависимых от t и определять не частные, а обычные
производные.
18
После дифференцирования уравнения (2.46) с учетом того факта, что в этом случае
i, j , k - величины также переменные, имеем
dra dre
di
dj
d k dx
dy
dz

x y
z
  i   j   k.
dt
dt
dt
dt
dt dt
dt
dt
(2.47)
dra
V .
dt
(2.48)
В этой формуле
Переносную скорость V e движения подвижной системы отсчета определят: производная, фиксирующая движение начала О подвижной системы отсчета, и производные от
орт i, j , k , фиксирующие вращение этой системы в пространстве
Ve 
dre
di
dj
dk
x y
z
.
dt
dt
dt
dt
(2.49)
Производные по времени от координат x, y, z подвижной системы отсчета дают
относительную скорость V r .
dx
dy
dz
i 
 j  k V r.
dt
dt
dt
(2.50)
После подстановки полученных данных в исходное уравнение (2.47), имеем
V  V e  V r теорема доказана.
Теорема сложения ускорений при непоступательном переносном движении
подвижной системы отсчета
Теорема: При непоступательном переносном движении подвижной системы отсчета
абсолютное ускорение a точки М равно геометрической сумме переносного a e ,
относительного a r и кориолисова a k ускорений
a  ae  ar  ak .
(2.51)
Учитывая, что x, y, z и i, j , k - величины в этом случае переменные, и дифференцируя
уравнение (2.47) по времени второй раз последовательно: вначале переменные r e , i, j , k ,
которые характеризуют переносное движение в каждом слагаемом, а затем - переменные
x, y, z , которые характеризуют относительное движение, имеем
19
d 2ra d 2re d 2i
d2 j
d2k



x


y

z
dt 2
dt 2
dt 2
dt 2
dt 2
dx d i dy d j dz d k dx d i dy d j dz d k
  

 
  

 

dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt
d 2x
d2y
d 2z
 2  i  2  j  2  k.
dt
dt
dt
(2.52)
В этой формуле:
d 2ra
;
dt 2
(2.53)
d 2 re d 2i
d2 j
d2k


x


y

 z;
dt 2
dt 2
dt 2
dt 2
(2.54)
d 2x
d2y
d 2z
a r  2  i  2  j  2  k;
dt
dt
dt
(2.55)
 dx d i dy d j dz d k 
.
a k  2   
 

dt
dt
dt
dt
dt
dt


(2.56)
a
ae 
Подставляя результаты дифференцирования в исходное уравнение (2.52), окончательно
получим
(2.51)
a  ae  ar  ak
.
Здесь: a k - ускорение, установленное французким профессором механиком
Кориолисом и названное в его честь кориолисовым ускорением.
Придерживаясь принципа последовательности, видим, что в выражении
 dx d i dy d j dz d k 

a k  2   
 

 dt dt dt dt dt dt 
(2.57)
для наблюдателя, находящегося в неподвижной системе отсчета X 0Y0 Z 0 , важны в первую
очередь те составляющие, которые характеризуют переносную часть движения. Это составляющие:
di d j d k
,
,
.
(2.58)
dt dt dt
В них заложен механический смысл, соответствующий вращению подвижной системы отсчета XYZ в пространстве. Следовательно, эти составляющие мы можем заменить
вектором угловой переносной скорости  e , с которой вращается подвижная система отсчета. Составляющие же
dx dy dz
, ,
,
(2.59)
dt dt dt
20
соответствуют вектору относительной скорости V r точки М . Учитывая это и опуская
преобразования в скобке выражения (2.57), можем записать его так
a k  2( e  V r ).
(2.60)
Это и есть кориолисово ускорение. Оно характеризует одновременное изменение
направления вектора переносной угловой скорости  e (ввиду того, что орты i, j , k , входящие в выражение (2.57), переменны по направлению), а также изменение модуля и направления вектора относительной скорости V r точки М .
2.3.11. Определение модуля и направления кориолисова ускорения
a k  2( e  V r ).
(2.61)
Известно, что модуль векторного произведения двух векторов равен

a k  2eVr sin(  e V r ).
(2.62)

Если ( e V r )   то
a k  2eVr sin  .
(2.63)
Для определения направления вектора кориолисова ускорения a k надо спроектировать вектор V r относительной скорости точки М на плоскость, перпендикулярную вектору  e (оси переносного вращения), и полученную проекцию повернуть в сторону этого
вращения на 90 0 . Полученное таким образом направление совпадает с направлением вектора a k (рис. 2.12, 2.13, 2.14).
Если точка М движется в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения
(вектору  e , то sin   sin 90 0  1 и формула (2.63) становится такой
ak  2eVr .
Рис. 2.13. К определению направления вектора
кориолисова ускорения при движении точки в пространстве
(2.64)
21
Кориолисово ускорение обращается в нуль, если:
1.  e - переносное движение поступательно или когда в данный момент  e  0.
2. Vr  0 - относительная скорость в данный момент равна нулю.
3. Когда   0 или   180 0 , то есть когда вектор V r параллелен вектору  e .
А теперь рассмотрм фазы движения материальной точки вдоль горизонтально
вращающегося стержня и покажем, что при совпадении вектров V e и a k кориолисово
ускорение выполняет функции ускорения, а когда эти векторы противоположны, то оно
выполняет функции замедления b k . Вариации возможных сочетаний направления вектров
переносной V e и относительной скоростей V r материальной точки, движущейся вдоль
вращающегося стержня, представлены на рис. 2.14.
Рис. 2.14. Примеры определения направления векторов a k и b k для точки М
2.4. Кинематика твердого тела
В кинематике рассматриваются следующие виды движения твердого тела:
- поступательное движение;
- вращательное движение;
- плоское или плоскопараллельное движение;
-движение твердого тела относительно неподвижной точки;
- движение свободного твердого тела;
Основные задачи кинематики твердого тела
1. Установление математических способов задания движения твердого тела по отношению к выбранной системе координат.
2. Установление кинематических характеристик тела в целом и отдельных его точек
при известных уравнениях движения.
Рассмотрим вначале простейшие движения твердого тела: поступательное и вращательное.
2.4.1. Поступательное движение твердого тела
Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором
любая прямая (например, AB), связанная с этим телом, остается параллельной своему первоначальному положению за все время движения твердого тела (рис. 2.15).
22
Простейшим примером поступательного движения твердого тела является прямолинейное движение. В общем случае при поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями.
В примерах, приведенных на рис. 2.16, прямая АВ , связанная с телом, остается параллельной своему первоначальному положению, а точки тела описывают окружности
(движутся по окружностям).
Рис. 2.15. Схема поступательного движения тела
Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой.
Рис. 2.16. Примеры поступательного движения
а) - колесо обозрения; б) - соломотряс комбайна; в) – спарник
При поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые
траектории и имеют в каждый данный момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.
ТЕОРЕМА.
Рис. 2.17. Схема к определению скоростей и ускорений точек поступательно движущегося
тела
23
Пусть положение точек А и В тела в момент времени t определяется радиусами векторами rA и rB (рис. 2.17). Проведем вектор АВ , соединяющий эти точки, тогда
r A  AB  r B .
(2.65)
Так как тело абсолютно твердое, то AB  const вследствии постоянства расстояния
между точками тела.
По определению поступательного движения, вектор AB не меняет своего модуля и
направления с течением времени. Следовательно, при наложении вектора AB на вектор
A' B' траектории всех точек прямой AB окажутся одинаковые.
Скорости и ускорения точек поступательно движущегося тела
Из рис. 2.17 и уравнения r A  AB  r B после дифференцирования по времени имеем
d r A d AB d r B


dt
dt
dt
(2.66)
dr A drB

.
dt
dt
(2.67)
но AB  const , поэтому d AB / dt  0 и
Поскольку:
dr A
V A ;
dt
drB
V B,
dt
то V A  V B следовательно, скорости любых точек тела при поступательном движении одинаковы в каждый данный момент времени.
Учитывая, что вектор АВ постоянен, и дифференцируя исходные уравнения (2.67)
второй раз, имеем:
d2rA d2rB

.
dt 2
dt 2
Можем обозначить:
d 2 r A dV A

 a A;
dt
dt 2
d 2 r B dV B

 aB.
dt
dt 2
или
a A  aB .
Следовательно, ускорения точек А и В поступательно движущегося тела также одинаковы. Так как точки А и В были выбраны произвольно, то и другие точки имеют такие
же скорости и ускорения.
24
Следствия теоремы
1. Поступательное движение твердого тела вполне определяется движением какойнибудь одной его точки. Следовательно, изучение поступательного движения тела сводится
к задаче кинематики точки.
2. Векторы V и a можно изображать приложенными в любой точке тела при его поступательном движении.
3. Понятия скорость и ускорение всего тела имеют смысл только при поступательном движении.
4. Во всех остальных видах движения абсолютно твердого тела (кроме поступательного) его точки движутся с разными скоростями и ускорениями и термины: скорость тела и
ускорение тела для всех других видов движения тела теряют смысл, так как разные точки
тела имеют в этих случаях разные скорости и ускорения.
2.4.2. Вращательное движение твердого тела
Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором какиенибудь две точки, принадлежащие телу, все время остаются неподвижными. Прямая,
проходящая через эти неподвижные точки тела, называется осью вращения.
При вращении тела вокруг оси OZ угол  поворота тела является функцией времени
(рис. 2.18), то есть
Рис. 2.18. Схема вращения тела: HП—неподвижная плоскость; ПП—подвижная плоскость.
   (t ) .
(2.68)
Это уравнение—закон вращательного движения твердого тела. Кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются:
 - угол поворота;
 - угловая скорость;
 - угловое ускоpение.
Если функция  (t ) известна, то легко находятся и другие характеристики вращения, а
если нет, то её надо найти.
Так как положение твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется одним параметром - углом  то говорят, что такое тело имеет одну степень свободы.
Угловая скорость вращения тела характеризует изменение угла его поворота в единицу времени. Пусть за время t угол поворота изменится на величину  , тогда средняя
25
угловая скорость тела c   / t . При t  0 угловая скорость  тела в данный момент
времени

  lim
.
(2.69)
t  0  t
Угловое ускорение вращения тела характеризует изменение его угловой скорости в
единицу времени. Если за время t угловая скорость тела изменится на величину  , то
среднее угловое ускорение будет равно

 cр 
.
(2.70)
t
Переходя к пределу при t  0 , получим угловое ускорение  в данный момент
времени t
 d d 2  
(2.71)
  lim

 2   .
t 0 t
dt
dt
Размерность углового ускорения рад/ c 2 .
Векторы угловой скорости и углового ускорения
Угловую скорость  и угловое ускорение  тела можно представить в виде вектoров
 и  , направленных вдоль оси вращения. Векторы  и  , можно изображать в любых
точках оси вращения. Они являются скользящими векторами (рис. 2.19). Вектор  направлен в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки.
Рис. 2.19. Направление векторов  и  :
а) при ускоренном вращении тела; б) при замедленном вращении тела.
Вектор 
векторы  и 
направлен в сторону вектора  , если вращение тела ускоренное. Если
направлены в разные стороны, то тело вращается замедленно.
26
Равномерное вращение твердого тела
Если   const , то   0 и вращение тела называется равномерным. Большинство деталей тракторов и сельскохозяйственных машин вращается равномерно при отсутствии
нагрузки и неравномерно при наличии нагрузки.
Найдем закон равномерного вращения (   const ).
Учитывая, что   d / dt или d  dt , и интегрируя последнее выражение, запишем

t
0
0
 d    dt    t.
(2.72)
Это - закон вращения тела. Как видно, угол поворота равномерно вращающегося тела
равен произведению угловой скорости  на время t .
В инженерных расчетах скорость вращения тела определяется числом оборотов в минуту. Обозначая число оборотов в минуту через n об/мин., найдем зависимость между n и
. За один оборот   2 рад., а за n оборотов   2n рад. Следовательно, за 1 минуту
(60 сек)   2n  t    60. Отсюда имеем

2n n

 0,1n.
60 30
(2.73)
Равнопеременное вращение твердого тела
Если угловое ускорение тела все время остается постоянным (   const ), то вращение
называется равнопеременным. Для нахождения закона равнопеременного вращения необходимо знать начальную угловую скорость.  0 . Пусть в момент времени t  0 ,   0 и
   0 , тогда

t
o
0
d  dt   d    dt    0  t.
Далее
   0  t  
d
  0  t  d   0 dt  tdt.
dt
(2.74)
(2.75)
После интегрирования последнего уравнения получим
   0 t  t 2 / 2.
(2.76)
Это математическое выражение закона равнопеременного вращения. Если при этом
имеют одинаковые знаки, то движение равноускоренное, а если разные - равноза и
медленное.
2.4.3. Скорость и ускорение точек вращающегося тела
При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса r , плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр O1 лежит на самой оси (рис 2.20).
27
Если за время dt тело повернется на угол d , то точка М опишет элемент дуги dS ,
причем dS  rd тогда
dS
d
r
 r  V .
(2.77)
dt
dt
В отличие от угловой скорости  скорость V называется линейной или окружной
скоростью. Окружная скорость точки М равна произведению угловой скорости  на расстояние r от этой точки до оси вращения. V    r . Направлена эта скорость по касательной к окружности в сторону вращения.
Рис. 2.20. К определению скорости точки М вращающегося тела
Так как значение  для всех точек тела в данный момент времени одно и то же, то
линейные скорости точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям r от оси
вращения (рис. 2.20).
Для определения ускорений точек вращающегося тела воспользуемся известными
формулами (2.34), (2.38):
a 
dV d (r )
d

r
  r
dt
dt
dt
(2.78)
V 2  2r 2

  2r
r
r
(2.79)
a  a2  an2   2 r 2  r 2 4  r  2   4 .
(2.80)
an 
Полное ускорение точки М
Отклонение вектора a от радиуса окружности, описываемой точкой М , определяется
углом  (рис. 2.21).
Так как в данный момент  и  для всех точек тела имеют одно и то же значение, то
полное ускорение a всех точек вращающегося тела пропорционально их расстояниям от
28
оси вращения и образует в данный момент один и тот же угол  с радиусами r описываемых ими окружностей (рис. 2.21)
Рис. 2.21. Схема к определению направления вектора a
tg 
a
an


.
2
(2.81)
2.4.4. Метод Эйлера для определения скорости и
ускорения точки вращающегося тела
На рис. 2.22 видно, что скорость V точки М определится по формуле V    r . Поскольку треугольник OO1 M прямоугольный, то r   sin  . Тогда в общем виде (рис.
2.22).
V     sin  .
Рис. 2.22. Схема для определения скорости и ускорения точки вращающегося тела методом
Эйлера
Это скалярное выражение векторного произведения
V    ,
(2.82)
предложенного Эйлером для определения скорости и ускорения точки вращающегося тела.
Действительно, модуль данного векторного произведения определяется по формуле
29
 

       sin      r  V ,
 
(2.83)

где  sin    r .
Вектор V     , перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы  и
 , входящие в векторное произведение, и направлен по касательной к окружности.
Таким образом, векторное произведение    по модулю и направлению определяет
скорость точки М . Следует только считать этот вектор приложенным не в точке О, а в точке М .
Ускорение точки вращающегося тела (рис. 2.22)
a
dV d (   ) d 
d


  
,
dt
dt
dt
dt
(2.84)
но
d
 ,
dt
d
 V.
dt
Поэтому a        V . С другой стороны     a  - это касательное ускорение,
  V  a n - это нормальное ускорение. Модуль векторного произведения


     sin(   ) Так как  sin(   )   sin   r , то   r   - касательное ускорение
а
(рис. 2.22). Нормальное ускорение равно

  V  V sin(  V )  V  r 2  a n .
(2.85)
Так как векторы  и V взаимноперпендикулярны, то направление вектора векторного произведения   V параллельно вектору a n и направлен он от точки М к оси OZ вращения (рис. 2.22). Таким образом, векторное произведение   V и есть вектор нормального ускорения a n    V .
Векторное произведение    дает вектор, перпендикулярный плоскости, в которой
лежат эти векторы и направленный по касательной к окружности в точке М в сторону углового ускорения  . Следовательно, полученный вектор и есть вектор касательного ускорения a      .
Таким образом, вектор полного ускорения точки вращающегося тела
a  a  a n .
(2.86)
Модули касательного и нормального ускорений определяются соответственно:
a    r ,
(2.87)
a n   r.
(2.88)
2
Модуль полного ускорения точки М вычисляется по формуле
30
a  a2  an2  r  2   4 .
(2.89)
Полученные формулы позволяют определить скорость V и ускорение a любой точки
тела, если известен закон вращения тела и расстояние r от точки до оси вращения.
По этим же формулам можно, зная характеристики движения одной точки тела, найти
движение другой точки, а также кинематические характеристики движения всего тела в целом.
2.4.5. Вращение тела относительно нескольких осей
Вращения направлены в одну сторону
На рис. 2.23 показана схема вращения тела (диска), направленного в одну сторону вокруг двух параллельных осей:  1 - угловая скорость относительного вращения вокруг оси
aa';  2 - угловая скорость переносного вращения вокруг оси bb'. Ось aa' параллельна оси
bb'.
Если вращения направлены в одну сторону, то в этом случае точка А получает скорость только от вращения вокруг оси bb' (рис. 2.23, б) и её скорость равна VA  2  AB.
Точно так же VB  1  AB.
Поскольку векторы V A и V B параллельны друг другу (рис. 2.23, б) и направлены в
разные стороны, то точка С является мгновенным центром скоростей VC  0 . Ось сс' параллельная осям aa' и bb', является мгновенной осью вращения тела. Тогда, исходя из рис.
2.23, б имеем:
V
V
(2.90)
 A  B .
AC BC
Рис. 2.23. Сложение вращений, направленных в одну сторону относительно двух
параллельных осей aa' и bb'
С учетом свойств пропорции найдём
31

V A  VB
V  VB
 A
.
AC  BC
AB
(2.91)
Учитывая, что (рис. 2.23,а) VA  2  AB, VB  1  AB, найдём
  1  2 .
(2.92)
Тогда предыдущая пропорция дает такой результат:
1
BC

2
AC


AB
.
(2.93)
Таким образом, если тело участвует одновременно в двух, направленных в одну сторону, вращениях относительно параллельных осей, то его результирующее движение будет
мгновенным вращением вокруг мгновенной оси, параллельной данным осям, с угловой
скоростью   1  2 .
С течением времени мгновенная ось cc' будет менять положение, описывая цилиндрическую поверхность.
Вращения направлены в разные стороны
Такая схема вращения показана на рис. 2.24. Для определенности примем, что
1  2 .
Рис. 2.24. Сложение вращений вокруг параллельных осей
(вращения направлены в разные стороны)
Тогда из рис. 2.24 имеем: VA  2  AB; VB  1  AB.
При этом V A и V B параллельны друг другу ( V A || V B ) и направлены в одну сторону (рис.
2.24). Поэтому мгновенная ось вращения проходит через точку С (рис. 2.24, б), причем,

VB
V
 A .
BC AC
(2.94)
32
или, с учетом свойств пропорции

VB  V A
V  VA
 B
.
BC  AC
AB
(2.95)
Учитывая значения V A и VB , имеем
  1  2
и
1
BC

2
AC

(2.96)

AB
.
(2.97)
Итак, и в этом случае результирующее движение является мгновенным вращением с
абсолютной угловой скоростью   1  2 вокруг оси cc'.
Полученный результат показывает, что векторы угловых скоростей при вращении вокруг параллельных осей складываются, если направления вращения совпадают и вычитаются, если они противоположны.
Сложение вращений вокруг пересекающихся осей
Вращение тела вокруг пересекающихся осей показано на рис. 2.25. Очевидно, что
скорость точки О пересечения осей, как лежащей одновременно на обеих осях, равна нулю.
Следовательно, результирующее движение тела 1 является движением вокруг точки О и
для каждого элементарного промежутка времени представляет собой элементарный поворот с угловой скоростью  вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через точку О.
Рис. 2.25. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей
Результирующее движение тела 1 является мгновенным вращением с угловой скоростью    1   2 .
Следовательно, при сложении вращений вокруг двух осей, пересекающихся в одной
точке О, результирующее движение тела будет мгновенным вращением вокруг оси ОС,
33
проходящей через точку О, причем угловая скорость  этого вращения равна геометрической сумме относительной  1 и переносной  2 угловых скоростей.
Мгновенная ось вращения ОС направлена вдоль вектора  , то есть по диагонали параллелограмма, построенного на векторах  1 и  2 .
С течением времени ось ОС меняет свое положение, описывая коническую поверхность, вершина которой находится в точке О.
Если тело участвует одновременно в мгновенных вращениях вокруг нескольких осей,
пересекающихся в точке О, то   1   2  ...   n .
2.4.6. Винтовое движение твердого тела
Если сложное движение тела слагается из вращательного вокруг оси Aa с угловой
скоростью  и поступательного со скоростью V r параллельной оси Aa, то такое движение
называется винтовым (рис. 2.26). Ось Аа - ось винта. Когда вектор  и проекция вектора
V r на ось винта направлены в одну сторону, то винт будет правым, если в разные стороны,
то - левым.
Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси
винта, называется шагом h винта. Если векторы V r и  постоянны, то шаг винта постоянен. Если время одного оборота Т, то Vr  T  h и  T  2 . Откуда
h  2
Vr

.
(2.98)
Скорость точки М направлена по касательной к винтовой линии. Она складывается из
относительной Vr    h / 2 и переносной Ve    r скоростей. Так как при этом V r  V e
то
V  Vr2  Ve2
Рис. 2.26. Схема винтового движения тела
(2.99)
34
Если цилиндрическую поверхность винта разрезать вдоль образующей bb' и развернуть, то винтовая линия обратится в прямую с углом наклона к основанию цилиндра  .
При этом tg  h / 2r.
2.4.7. Плоское (плоскопараллельное) движение твердого тела
Плоским (плоскопараллельным) движением твердого тела называется такое
движение, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости.
Техника имеет достаточно много деталей, движущихся по законам плоскопараллельного движения. Установлено, что такие же движения совершают и некоторые элементарные частицы. Фотон, например, представляет собой локализованное в пространстве электромагнитное образование, которое имеет плоскость поляризации и движется в этой плоскости плоскопараллельно.
Кинематику всех плоскопараллельных движений удобнее всего рассматривать на
примере катящегося колеса или кольца (рис. 2.27).
Рис. 2.27. Схема плоскопараллельного движения кольца
Если при качении кольца по прямой LL все его точки перемещаются параллельно
плоскости П, то движение кольца в этом случае называется плоским или плоскопараллельным.
Закон плоского движения твердого тела
Чтобы найти метод математического описания плоского движения твердого тела, рассмотрим это движение подробнее (рис. 2.27).
Центр A кольца совершает поступательное движение со скоростью VP . Следовательно, уравнения поступательного движения центра кольца имеют вид:
x  f1 (t )  VP t ;
y  f 2 (t )  0.
(2.100)
Второе движение кольца – вращательное отностительно центра A с угловой скоростью  . Эта часть движения описывается уравнением
   (t )    t .
(2.101)
35
Таким образом, плоское (плоскопараллельное) движение кольца описывается тремя
уравнениями (2.100), (2.101). Два первых описывают поступательное движение, а третье –
вращательное.
Таким образом, плоское движение твердого тела в общем случае складывается из поступательного движения одной из его точек, например, точки A , взятой за полюс, и вращательного движения вокруг оси, проходящей через этот полюс перпендикулярно плоскости
движения (плоскости П). Следовательно, закон плоского движения тела определится тремя
уравнениями, называемыми уравнениями плоского движения твердого тела. Поскольку все
точки тела в поступательном движении движутся с одной и той же скоростью, то любую
точку тела можно брать в качестве полюса. Однако, при решении конкретных задач в качестве полюса выбирают ту точку, которая приводит к получению простых уравнений движения. Нетрудно видеть, что при качении кольца такими точками являются точка A или точка ( P ) касания кольца с прямой, по которой оно катится.
2.4.8. Скорости и ускорения точки катящегося кольца
Начнём с самого простого случая. Составим уравнения движения точки M , расположенной на самом кольце для случая, когда кольцо движется без буксования и скольжения.
В этом случае поступательная скорость VP кольца будет равна по модулю окружной скорости V 0 , а в точке P их векторы будут направлены в противоположные стороны. Скорость
точки M в момент совпадения с точкой P будет равна нулю, поэтому эту точку называют
мгновенным центром вращения.
Конечно, точку P можно взять в качестве полюса, однако уравнения движения точки
M оказываются проще, если в качестве полюса взять центр кольца – точку A и учесть, что
VP  V0    r , то из рис. 2.27 имеем:
x  V P t  r sin t  r (t  sin t );
(2.102)
y  r cos t.
Дифференцируя эти уравнения, найдём проекции скорости точки M на оси координат.
dx
 V P    r  cos t ;
dt
dy
Vy 
   r sin t.
dt
Vx 
(2.103)
Учитывая, что при отсутствии буксования и скольжения кольца у точки M скорости равны VP  V0  r , найдём её абсолютную скорость (рис. 2.27)
V  Vx2  V y2    r 2  2 cos t .
(2.104)
Когда точка M оказывается в точке B , то t  90 0 и формула (2.104) даёт результат
V    r 2 , а когда точка M оказывается в точке P , то t  180 0 и эта же формула даёт
результат V  0.
Поскольку плоское движение тела складывается из поступательного движения, при
котором все его точки движутся со скоростью полюса A , и из вращательного движения
вокруг оси, проходящей через этот полюс перпендикулярно плоскости П движения, то ско-
36
рость точки M , лежащей на кольце, совершающем плоское движение, складывается геометрически из скорости полюса A и скорости точки M относительно полюса (рис. 2.27)
V M  V A  V MA .
(2.105)
Когда точка M оказывается в положении B , то, учитывая, что VP  V0  r , модуль
её абсолютной скорости определится из вектроного прямоугольного треугольника BDT по
теореме Пифагора V  VP2  V02    r 2 . Когда точка M окажется в положении точки
P , то V A  V P  V MA  V 0 и V M  0 (рис. 2.27).
Для определения закономерности изменения абсолютного ускорения точки M определим его проекции на оси координат. Дифференцируя уравнения (2.103) второй раз, имеем:
d 2x
a x  2   2  r  sin t ;
dt
(2.106)
d2y
a y  2   2  r  cos t.
dt
В результате абсолютное ускорение точки M оказывается постоянным и равным
нормальному ускорению
a  a x2  a y2   2 r  a n .
(2.107)
Если кольцо представить, как контур круга, то возникает возможность составить
уравнения движения точки K . Для этого обозначим AK   K . Тогда окружная скорость
точки K будет равна V0     K (рис. 2.27).
x  VP t   K sin t   K (t  sin t );
y   K cos t.
(2.108)
Проекции скорости точки определятся по формулам:
dx
 V p     K  cos t ;
dt
dy
Vy 
    K  sin t.
dt
Vx 
(2.109)
Абсолютная скорость точки K определится по формуле
V  Vx2  V y2     K  2  2 cos t .
(2.110)
Дифференцируя уравнения (2.109) ещё раз, найдем проекции ускорения точки K на
оси координат.
37
d 2x
  2   K  sin t ;
dt 2
d2y
a y  2   2   K  cos t.
dt
ax 
(2.111)
Абсолютное ускорение точки K определиться по формуле (2.107).
a  a x2  a y2   2  K  an
(2.112)
Если возьмём точку N на радиусе AN и обозначим AN   N , то уравнения её движения будут иметь вид (рис. 2.27):
x  VP t   N sin t   N (t  sin t );
(2.113)
y   N cos t.
Абсолютная скорость точки N запишется так
V  Vx2  V y2     N  2  2 cos t .
(2.114)
Абсолютное ускорение также будет равно нормальному ускорению
a  a x2  a y2   2  N  a n .
(2.115)
Обратим внимание на то, что все точки M , K , N имеют только нормальную составляющую a n полного ускорения. Обусловлено это постоянством угловой скрости вращения
кольца   const .
На рис. 2.28 представлены траектории точек M , K , N .
Рис. 2.28. Траектории движения точек M , K , N , представленных на рис. 2.27:
М – обыкновенная циклоида; К – укороченная циклоида; N – удлинённая циклоида
Обратим внимание на важные особенности. Радиус кольца равен r и точка M , лежащая на кольце, описывает обыкновенную циклоиду. Радиус окружности, описываемой
точкой K ,  K  r и она описывает укороченную циклоиду, а радиус окружности, описываемой точкой N -  N  r и эта точка описывает удлинённую циклоиду.
38
2.4.9. Кинематика игольчатого диска
На рис. 2.29 представлена модель игольчатого диска, используемого для обработки
почвы. Если он перемещается по плоской поверхности, то совершает импульсные, скачкообразные движения. У него угловая скорость вращения  непостоянна. Переменно и поступательное движение. Мы не будем описывать методику составления уравнений движения этого диска и уравнения движения его точек. Главными из них являются центр диска,
обозначим его буквой М , и конец иглы, обозначим его буквой E и приведём уравнения,
описывающие движение точки М .
Рис. 2.29. Схема движения игольчатого диска:
М - укороченная циклоида; E - волнистая циклоида
Если учесть, что процесс деформации почвы способствут плавным переходам центра
диска (точки М ) от одной дуги к другой, то амплитуда A колебаний этой точки будет
равна
r

A  (1  cos )  0,067r ,
(2.116)
2
2
а уравнения её движения можно привести к уравнениям укороченной циклоиды:
x  V P  t  0,067 r sin
y  0,067 r cos
t
6
t
6
;
(2.117)
.
Из этого следует закономерность изменения скорости центра масс М диска
t
 dx   dy 
V        VP  1,18  0,84 cos .
6
 dt   dt 
2
2
(2.118)
Обращаем внимание на интересный факт. Скорость центра масс диска (2.86) не зависит от его радиуса r . Эту особенность легко проверить, если шестигранникам разных размеров предоставить возможность катиться по одной и той же наклонной плоскости. В табл.
1 представлены результаты такого эксперимента.
39
Таблица 1. Кинематические параметры движения тел.
r,м
Форма тел
t, с
Цилиндрические
Шестигранные
0,008
0,010
0,0!3
0,0065
0,0080
0,0130
2,43
2,30
2,05
5,68
5,67
5,67
V, м/с
0,83
0,89
0,99
0,18
0,18
0,18
v  V / r , с 1
27,69
22,50
13,85
Удивительно, но эксперимент подтверждает достоверность уравнения (2.118). Шестигранники разных размеров скатываются по наклонной плоскости с постоянной скоростью
(табл. 1).
Обратим внимание (табл. 1) на то, что при увеличении радиуса r шестигранника частота  его движения уменьшается так же, как и у таинственного фотона - частицы света. А
что если фотон имеет структуру подобную игольчатому диску или шестиграннику?
Ответ на этот вопрос уже найден. Если взять вместо игольчатого диска (рис. 2.29) или
шестигранника (рис. 2.30, а) магнитную модель (рис. 2.30, с) с 6-ю кольцевыми магнитными полями, вращающимися в одном направлении, то в зоне их контакта возникают силы,
которые сжимают эту модель. Но так как она всё время движется, то магнитные силы, сжимающие модель фотона, уравновешиваются центробежными силами инерции. Так как магнитные поля замкнуты между собой по круговому контуру, то малейшее изменение плотности одного из таких полей создаст момент, который начнет вращать и перемещать такую
структуру в пространстве с постоянной скоростью, равной скорости света С (рис. 2. 31).
a)
b)
с) схема кольцевых
магнитных полей фотона
Рис. 2.30. Схема формирования магнитной модели фотона
Итак, если подставить в формулу (2.118) скорость света, равную поступательной
скорости движения шестигранника C  VP и постулировать, что размер грани шестигранника (рис. 2.30, а) или радиус иглы игольчатого диска (рис. 2.30, b) равны длине волны
фотона r   , то электромагнитная модель фотона оказывается такой, как на рис. 2.30, с).
Изменение скорости центра масс фотона, рассчитанное по формуле (2.118), оказывается таким как показано на рис. 2.31.
Как видно (рис. 2.31), скорость центра масс M фотона действительно изменяется в
интервале длины волны или периода колебаний таким образом, что её средняя величина
остается постоянной и равной C [1].
40
Рис. 2.31. График скорости центра масс фотона
Итак, мы увидели кинематическую аналогию между механической моделью шестигранника или игольчатого диска и электромагнитной моделью фотона. Если эта аналогия
близка к реальности, то из анализа движения этой модели должны выводиться аналитически все математические модели, которые опысывают поведение фотона. Подтверждаем
этот факт и сообщаем, что желающие знать детали могут обратиься к первоисточнику этой
информации. Указанные математические модели (их боле 30) совместно с электромагнитной моделью фотона (рис. 2.31, с) значительно облегчили интерпретацию неисчислимого
количества экспериментальных данных, в которых зарегистрировано поведение фотонов
всех частот шкалы электромагнитных излучений, которая теперь назвается шкалой фотонных излучений. Но мы не будем вникать в дальнейшие детали физики микромира, так как
главная наша задача - описание поведения объектов макромира.
2.4.10. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела
Определение модулей скоростей точек тела, совершающего плоское движение, из
формулы (рис. 2.32)
(2.119)
V B  V A  V BA
связано со сложными расчетами по теореме косинусов или синусов.Однако, исходя из этого
результата можно получить более простой метод расчета скоростей точек тела. Один из таких методов дает теорема о проекциях скоростей двух точек тела (рис. 2.32).
Рис. 2.32. К доказательству теоремы о равенстве проекций скоростей двух точек тела,
совершающего плоское движение, на прямую, соединяющую эти точки
ТЕОРЕМА. Проекции векторов скоростей двух точек тела, совершающего плоское
движение, на прямую, соединяющую эти точки, равны.
41
Взяв точку А за полюс и спроектировав обе части векторного равенства
V B  V A  V BA на линию AB , соединяющую точки А и B тела. Учитывая, что V BA  AB ,
находим VB cos   VA cos   0 . Отсюда
cos 
(2.120)
VB  V A
.
cos 
Эта формула позволяет легко находить модуль скорости любой точки B тела, если
известно направление и величина вектора скорости какой-нибудь другой точки А .
2.4.11. Методы отпределения скоростей точек механизмов
Механизмом называется совокупность твердых тел, соединённых между собой определенным образом. Если тела механизма соединены друг с другом шарнирно, то, взаимодействуя, они могут изменять положение между собой. Возникающие при этом движения тел
(их называют деталями или звеньями механизма) сообщают им скорости и ускорения.
Каждый механизм имеет первичное звено, которое приводится в движение внешним источником энергии и сообщает всем телам механизма и их точкам скорости и ускорения. Величины скоростей и ускорений точек механизма влияют на его прочность и на качество технологических процессов, которые совершаются теми телами механизма, которые называют
рабочими органами.
Таким образом, надежность работы механизма, его энергетические показатели и качество технологических процессов, осуществляемых его рабочими органами, зависит от правильного расчета скоростей и ускорений различных точек механизма.
Механизмы бывают разной сложности, но методику определения скоростей и ускорений точек механизма можно освоить и на примере анализа взаимодействия тел (деталей
или звеньев) простых механизмов. Одним из таких механизмов является наиболее распространённый кривошипно-шатунный механизм (КШМ) (рис. 2.33).
Рис. 2.33. Схема кривошипно-шатунного механизма
Точка О это - центр оси кривошипа или центр коленчатого вала двигателя. ОА  r - радиус кривошипа; AB  l - шатун. Точка B символизирует центр поршневого пальца поршня, который совершает возвратно-поступательное движение в цилиндре двигателя, например.
Нетрудно видеть, что точки А и В – наиболее нагруженные точки в работе этого механизма, поэтому при проектировании этого механизма нам надо знать скорости и ускорения
именно этих точек.
42
Аналитический метод определения скоростей точек КШМ
Ведущее звено ОА КШМ обычно вращается с заданой постоянной угловой скоростью 1  const , поэтому закон вращательного движения кривошипа запишется так
  1t . Поскольку точка О кривошипа неподвижна, то выбираем её в качестве полюса. Тогда скорость точки А относительно полюса будет равна VA  1  r . Для аналитического
определения скорости точки В необходимо составить уравнение её движения. Из рис. 2.33
имеем
x  x1  x 2  r sin 1t  l 2  r 2 cos 2 1t .
(2.121)
Тогда скорость точки В будет равна
1  r 2 cos 1t  sin 1t
dx
VB 
 1  r cos 1t 
.
dt
l 2  r 2 cos 2 1t
(2.122)
Конечно, это уже сложное выражение, но оно позволяет определить скорость точки В
при любом угле   1t поворота 1-го звена (кривошипа). Дальнейшее усложнение механизма затрудняет составление уравнения движения заданной его точки и усложняет аналитический метод определения её скорости. Поэтому в таких случаях используют более простые графоаналитические и графические методы. Применение этих методов оправдывается
тем, что обычно требуется знать скорость точки механизма лишь для нескольких положений его ведущего звена OA .
Графоаналитические методы определения скоростей точек механизма
Первым и наиболее простым из этих методов является метод определения скоростей
точек с помощью мгновенного центра скоростей. Положение мгновенного центра скоростей определятся для любого звена механизма следующим образом. Надо начертить механизм в масштабе и приложить вектор скорости к той точке, анализируемого звена, скорость
которой известна по величине и направлению (рис. 2.34).
Рис. 2.34. Схема КШМ для определения МЦС 2-го звена
Далее должно быть известно направление вектора скорости ещё одной точки звена.
Например, для второго звена (рис. 2.34), известна величина и направление скорости точки
43
А и направление ветора скорости точки В. Чтобы найти положение мгновенного центра
скоростей 2-го звена, надо провести перпендикуляры к векторам скоростей точек А и В.
Точка пересечения этих перпендикуляров, точка Р, и будет полюсом второго звена или его
мгновенным центром скоростей (МЦС).
Так как скорость точки А известна и известно расстояние AP от точки А до полюса Р,
то угловая скорость 2 вращения 2-го звена относительно полюса Р будет равна
2  VA / AP . Поскольку всё второе звено вращается относительно полюса Р с одной и той
же угловой скоростью 2 , то скорость любой точки второго звена будет равна произведению угловой скорости 2 на расстояние от этой точки до полюса. Например, скорости точек В и С будут равны соответственно: VB  2 PB , VC   2 PC .
Следующий метод определения скоростей точек механизма основан на применении
теоремы о равенстве проекций скоростей точек на прямую, соединяющую эти точки.
Так, для 2-го звена (рис. 2.35), проекции векторов скоростей точек А и В на прямую АВ
будут равны между собой
VA cos   VB cos  . Так как скорость V A известна, то при известных углах  и  скорость точки В будет равна
VB  V A
cos 
.
cos 
(2.123)
Рис. 2.35. Схема к равенству проекций скоростей
двух точек А и В 2-го звена на прямую АВ
Наиболее распространённый метод определения скоростей предусматривает построение плана скоростей анализируемых точек механизма. Он применяется для определения
скоростей точек сложных механизмов.
Определение скоростей точек звеньев механизма с помощью плана скоростей
На рис. 2.36 показана схема кривошипно-шатунного механизма. Дано: 1  const ,
OA  r , AC  CB , а также - геометрические размеры всех звеньев механизма.
Найти скорости точек A, B и C с помощью плана скоростей.
Задача решается в такой последовательности.
44
Рис. 2.36. Кривошипно-шатунный механизм: a) схема механизма; б) план скоростей точек
1. Вычерчивают схему механизма в масштабе в том положении его звеньев, для
которого необходимо определить скорости точек механизма. Если таких положений
несколько, то схему вычерчивают для каждого из них.
2. Нумеруют звенья механизма, рассматривая их как тела.
3. Указывают точки звеньев механизма, скорости которых подлежат определению.
Например, точки A, B и C (рис. 2.36).
4. Вычисляют скорость точки A ведущего звена.
Так как 1 const , то VA  1OA  1r. При этом вектор V A направлен в сторону
вращения звена 1  OA.
При определении скоростей точек B и C с помощью плана скоростей составляют для
точек B и C векторные уравнения их скоростей. Учитывая, что точки A и B принадлежат
второму звену AB и выбирая точку A, скорость которой уже известна, в качестве полюса,
для точки B имеем
(2.124)
V B  V A  V BA
При этом V BA  AB , а вектор V B направлен вдоль оси цилиндра, то есть
горизонтально.
Взяв точку Po (рис. 2.36, б) в качестве полюса, откладываем от нее вектор V A с
учетом его направления и масштаба. Напомним, что V A  1  OA  1  r и V A  OA. Далее
через точку (а) на плане скоростей проводим линию ab  AB . Вдоль этой линии (ab)
направлен вектор V BA .
Теперь обратим внимание на то, что вектор V B на плане скоростей направлен вдоль
оси цилиндра из полюса Po . При пересечении с линией ab он образует точку b. Модуль V B
будет равен отрезку Pb, умноженному на масштаб  плана скоростей,
а модуль
V BA  ab  . Для точки C имеем
V C  V A  V CA
(2.125)
Так как V CA  AC , то вектор V CA направлен вдоль линии ab. Поскольку AC = 0,5 AB,
то точка C на плане скоростей расположена на середине отрезка ab. Вектор V C направлен
45
от полюса Po до точки C на линии ab. Снимая с плана скоростей размеры векторов V B и
V С и умножая их на масштаб, получим величины скоростей точек B и C. Величины
скоростей V BA или V CA позволяют определить угловую скорость 2 второго звена
2 
V BA
AB

V CA
AC
(2.126)
.
В ряде случаев план скоростей удобнее строить на схеме механизма (рис. 2.37). Если
надо определить скорость точки B, то с нее и начинают построение плана скоростей путем
графического решения уравнения (2.83).
Рис. 2.37. Схема кривошипно-шатунного механизма с планом скоростей
Откладывают в масштабе вектор V A скорости точки A. Затем прибавляют к концу
вектора V A
линию, перпендикулярную AB. Далее из точки B проводят линию,
параллельную стенке цилиндра. На пересечении проведенных линий получают точку b, в
которой сходятся векторы V BA и V B . Умножая величину Bb на масштаб  , получим
величину скорости точки В.
2.4.12. Определение ускорений точек КШМ
Нетрудно видеть, что ускорение точки В (рис. 2.33), равное производной от выражения
(2.122)
значительно усложняется и это в условиях, когда анализируется работа
простейшего кривошипно-шатунного механизма (КШМ). Поэтому для определения
ускорений точек механизма обычно использую план скоростей. Его можно строить
отдельно (рис. 2.38) от механизма или вместе с ним (рис. 2.39).
В качестве примера вновь возьмем кривошипно-шатунный механизм. Для
определения ускорений его точек начертим сам механизм в масштабе в заданном
положении (рис. 2.38, а). При этом известно, что 1  const , AC = BC. Составим и решим
графически векторные уравнения ускорений точек A, B и C механизма (рис. 2.38, а).
Выбирая точку О в качестве полюса, для точки А имеем
n
a A  a AO ;
n
a A  a AO  12  AO;
n

a A  a O  a AO  a AO .
n
a AO || OA.
(2.127)
46

Здесь a O  0; a AO также равно нулю, так как 1  const , поэтому
n
a A  a AO ;
n
a A  a AO  12  AO;
n
a AO OA
Вектор a A на плане ускорений (рис. 2.38, б) уже имеется. Модуль
a
n
BA
  22  AB и направлен
вектора
|| AB (параллельно AB) от точки В к точке А.
Рис. 2.38. Схема механизма и план ускорений его точек
Угловую скорость 2 определим, основываясь на данных из плана скоростей (рис.
2.36, б), по формуле
V BA
2 
.
(2.129)
AB
n
2
/ AB. Проводя через точку a на плане ускорений (рис. 2.38, б) линию,
Тогда a BA  VBA
n
параллельную звену AB и откладывая на ней отрезок a BA , соответствующий направлению нормального ускорения от точки В к точке А, получим точку n.
n
Откладываем от полюса  (рис. 2.38, б) в масштабе вектор a A  a AO ; , который
направлен от точки А к точке О.
Составим векторное уравнение ускорения точки B, взяв в качестве полюса точку А,
ускорение a A которой известно.
n

a B  a A  a BA  a BA .
(2.128)

Далее нам известно, что вектор a BA  AB . Это дает основание провести через точку n

линию nk  AB . Модуль a BA нам не известен, так как не известно угловое ускорение
 2 второго звена. Однако нам известно, что вектор ускорения точки B направлен вдоль оси
цилиндра. Проводя из полюса  линию || оси цилиндра до пересечения с линией nk, полу-
47
чим точку b. Следовательно, b  a B . Соединяя точки a и b, получим вектор a BA полного
относительного ускорения точки B вокруг полюса A.
Так как точка C расположена на середине AB, то на плане ускорений она будет на середине вектора a BA , а отрезок C  a C .
Таким образом, определены ускорения всех точек A, B и C механизма в заданном его
положении. При этом появилась возможность определить и угловое ускорение  2 второго
звена (AB).

2 
a BA
AB
.
(2.130)
Иногда план ускорений точек механизма удобнее строить на схеме механизма.
Например, для определения ускорения точки B (рис. 2.38) кривошипно-шатунного механизма план ускорений строят на плане механизма, начиная с точки B. На рис. 2.39 показан
пример построения плана ускорений точки B на схеме механизма путем графического решения уравнения (2.128).
Рис. 2.39. Схема КШМ и плана ускорений его точек
Если возникает необходимость знать скорости и ускорения точек механизма в другом
положении его звеньев, то вновь вычерчивается схема механизма в новом положении и
процесс определения скоростей и ускорений точек механизма повторяется.
В практике иногда требуется знать скорости и ускорения точек звеньев механизма при
любом их положении, поэтому применение графоаналитического способа становится весьма трудоемким делом.
Чтобы избавиться от этого недостатка, надо составить уравнения движения точек механизма в системе отсчета, связанной с началом (точкой О) ведущего звена, и с помощью
ЭВМ определить скорости и ускорения точек механизма.
В принципе возможно создание автоматизированной системы, которая бы графоаналитическим методом определяла скорости и ускорения точек механизма для любых положений его звеньев.
При решении некоторых задач можно воспользоваться мгновенным центром ускорений.
2.4.13. Мгновенный центр ускорений
При поступательном движении тела в его сечении (S) в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром
ускорений (рис. 2.40).
48
Рис. 2.40. Схема к определению мгновенного центра ускорений
Положение центра Q можно определить, если известны: ускорение a A какой-нибудь
точки A тела и величины  и  . Положение Q определяют в такой последовательности
(рис. 2.40):
1. Вычисляют величину угла 

tg  2
(2.131)

2. Если вращение ускоренное, то угол  откладывают в сторону вращения от вектора
a A , а если замедленное, то - против, то есть всегда в сторону направления углового ускорения  . Далее откладывают по лучу AE отрезок (рис. 2.40)
aA
AQ 
 2 4
.
(2.132)
Построенная таким образом точка Q и будет мгновенным центром ускорений. В самом деле, если взять за полюс точку А, то для точки Q можем записать
a Q  a A  a QA .
(2.133)
Модуль ускорения
a QA  AQ   2   4 .
(2.134)
Учитывая, что
AQ 
найдем
aA
 2 4
,
(2.135)
a QA  a A .
Вектор a QA должен образовать с прямой AE угол  , следовательно, a QA || a A . Далее
направление вектора a QA
49
совпадает с направлением углового ускорения  , то есть на рис. 2.40 вектор a QA направлен
в сторону, противоположную вектору a A . Следовательно, a QA   a A . Поэтому ускорение
точки Q равно нулю
a Q  a A  (a QA )  0.
Если точку Q взять за полюс, то в силу того, что a Q  0, ускорение любой точки M
тела, согласно формулам будет
a M  a Q  a MQ  a MQ .
(2.136)
причем
a M  QM   2   4 .
(2.137)
Следовательно, ускорение любой точки тела при плоском движении равно ее ускорению во вращательном движении вокруг мгновенного центра ускорений Q. При этом
aM
a
 A .......... ,
QM QA
(2.138)
то есть ускорения точек тела пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра
ускорений.
Положение мгновенного центра скоростей P и мгновенного центра ускорений Q в
данный момент времени в общем случае не совпадают.
Если колесо (рис. 2.41) катится по горизонтальной плоскости равномерно без скольжения, то мгновенный центр ускорений Q совпадает с центром колеса, а мгновенный центр
скоростей - с точкой касания P.
Рис. 2.41. Мгновенный центр P скоростей и мгновенный центр ускорений
Q кольца - в точке O, когда V  V O  const
Мгновенные центры скоростей P и ускорений Q совпадают тогда, когда тело вращается вокруг неподвижной оси или неподвижного центра.
2.4.14. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки
Классическим примером движения тела, имеющего одну неподвижную точку, является сложное вращение волчка. Каким же образом описать это вращение? Какими параметрами? Свяжем с неподвижной точкой О неподвижную систему отсчета X 0Y0 Z 0 , а с самим
волчком (телом) – подвижную XYZ, с началом в точке О.
50
В процессе движения тела точка О остается все время неподвижной, а подвижные оси
XYZ, связанные жестко с телом, все время меняют свое положение относительно неподвижных осей X 0Y0 Z 0 (рис. 2.42).
Мы знаем, что положение одной подвижной оси (как и вектора) можно описать относительно неподвижных осей X 0Y0 Z 0 тремя направляющими косинусами. Естественно, что
положение трех осей OX, OY и OZ будет описываться в этом случае девятью направляющими косинусами. Девять уравнений - это громоздко.
Рис. 2.42. Схема к описанию движения твердого тела вокруг неподвижной точки О
Л. Эйлер предложил описать положение подвижных осей, а следовательно, и положение тела, тремя углами (рис. 2.42):
Угол X 0 ON   - угол прецессии.
Угол Z 0 OZ   - угол нутации.
Угол NOX   - угол собственного вращения.
При этом линия ON образуется пересечением координатной плоскости XOY с неподвижной плоскостью X 0 OY0 и называется линией узлов.
Положительные направления отсчета углов показаны на рис. 2.42 стрелками. Действительно, при повороте на элементарный угол  тело повернется вокруг оси OZ 0 . При
изменении угла  на величину  тело повернется вокруг линии узлов ON. При изменении угла  тело повернется вокруг собственной оси OZ на угол  .
Таким образом, три угла  ,  и  описывают перемещение тела вокруг двух осей
OZ 0 , OZ и линии узлов ON и, следовательно, определяют его положение в любой момент
времени. Поскольку тело, имеющее одну неподвижную точку, описывается тремя углами,
то оно имеет три степени свободы.
Уравнения   f1 (t ),   f 2 (t ) и   f 3 (t ) являются законом движения твердого
тела, имеющего одну неподвижную точку. Описание такого движения тела базируется на
теореме Эйлера - Даламбера:
Всякое элементарное перемещение тела, имеющего неподвижную точку, представляет собой элементарный поворот вокруг некоторой мгновенной оси вращения, проходящей
через эту точку.
Пусть положение тела определяется углами  ,  , , тогда за элементарный промежуток времени dt элементарное перемещение тела будет характеризоваться совокупностью
элементарных поворотов на углы d , d и d
51
вокруг осей OZ , ON и OZ 0 соответственно. Слагаясь, эти перемещения дадут истинное
элементарное перемещение тела.
Рассмотрим вначале результат сложения вращений вокруг осей OZ и OZ 0 (рис. 2.43).
Между осями OZ и OZ 0 всегда существует такая точка В, для которой
1  h1  2  h2 .
(2.139)
Рис. 2.43. К определению мгновенной оси ОР вращения
Следовательно, скорости точки В относительно осей OZ и OZ 0 равны по величине и
противоположно направлены. Поэтому их сумма равна нулю. Скорости всех точек
на линии ОВ также равны нулю в данный момент времени. Следовательно, OB - мгновенная ось вращения.
При вращении ОВ вокруг осей OZ и OZ 0 получим два конуса-аксоида: подвижный 1
и неподвижный 2 (рис. 2.44). Абсолютное движение тела - качение подвижного аксоида 1
по неподвижному 2.
Рис. 2.44. Подвижный - 1 и неподвижный 2 аксоиды
Рассуждая аналогично, найдем, что элементарные перемещения вокруг осей OB и ON
(рис. 2.43) эквивалентны элементарному повороту вокруг некоторой оси ОР, проходящей
через точку.
Ось ОР, элементарным поворотом вокруг которой тело перемещается из одного положения в соседнее, бесконечно близкое к данному, называется мгновенной осью вращения.
Скорости всех точек, лежащих в данный момент времени на мгновенной оси вращения, равны нулю.
52
Таким образом, элементарное перемещение твердого тела вокруг неподвижной точки
слагается из серии последовательных элементарных поворотов вокруг мгновенных осей
вращения, проходящих через эту неподвижную точку.
2.4.15. Кинематические характеристики движения твердого тела вокруг
неподвижной точки
Угловая скорость, с которой тело совершает элементарный поворот вокруг мгновенной оси вращения ОР, называется угловой скоростью в данный момент времени или мгновенной угловой скоростью. Ее изображают соответствующим вектором  (рис. 2.45).
Рис. 2.45. К определению направления вектора
мгновенной угловой скорости  и мгновенного углового ускорения 
Поскольку направление оси ОР все время меняется, то вектор  изменяется со временем и по величине и по направлению, а его конец описывает в пространстве некоторую
кривую AD - годограф вектора  (рис. 2.45).
Мгновенное угловое ускорение  определяет в данном случае изменение вектора  и
по величине и по направлению. Поэтому  - величина векторная (рис. 2.45). Она определяется по формуле
d

.
(2.140)
dt
Сравнивая (2.140) с выражением вектора скорости
V 
dr
,
dt
(2.141)
замечаем, что угловое ускорение  можно вычислить как скорость, с которой конец
вектора  перемещается вдоль кривой AD. Направление вектора  совпадает с направлением касательной к кривой AD в соответствующей точке.
Следовательно, в отличие от случая вращения тела вокруг неподвижной оси, направление вектора  не совпадает с направлением вектора  .
53
Таким образом, основные кинематические характеристики движения тела вокруг неподвижной точки - векторы  и  . Мгновенная угловая скорость будет равна векторной
сумме составляющих угловых скоростей

d d d 


.
dt
dt
dt
(2.142)
2.4.16. Скорости точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки
Из рис. 2.46 имеем: скорость точки М в соответствии с теоремой Эйлера равна

V    r , а ее модуль определится по формуле V    r  sin(  r )    R. Здесь R - кратчайшее расстояние от точки М до мгновенной оси ОР вращения.
Рис. 2.46. Скорость V точки М тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О
Проекции векторного произведения V    r на оси координат имеют вид:
V x   y  z   z  y;
V y   z  x   x  z; V z   x  y   y  x.
Откуда
V  V x2  V y2  V z2 .
(2.143)
2.4.17. Ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки
Теорема: Ускорение любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной точки,
равно векторной сумме вращательного и осестремительного ускорений.
Доказательство.
Возьмем произвольную точку М тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О
(рис. 2.47). Проведем радиус-вектор из точки О в точку М. Кратчайшее расстояние от нее
до векторов  и  обозначим через R и h соответственно. Тогда
a
dV d
d
dr
 (  r )  (
 r )  (  )  (  r )  (  V ),
dt
dt
dt
dt
(2.144)
54

где:   r    r  sin     h;   V    V  sin(  V )    V  sin 90 0   2  R.
Векторное произведение   V есть вектор a oc , перпендикулярный одновременно
векторам V и  . Он направлен по радиусу R к оси вращения ОР называется осестремительным ускорением a oc    V . Модуль этого ускорения равен a oc   2  R.
Рис. 2.47. К определению ускорения a точки М тела,
вращающегося вокруг неподвижной точки О
Векторное произведение   r есть вектор a v . Это ускорение направлено перпендикулярно к плоскости, образуемой векторами  и r . При этом a v    r Его модуль
a v    r    r sin     h . Вектор a v называют вращательным ускорением.
Таким образом, полное ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной
точки, равно
2
 av2  2aoc  av  cos  .
a  a oc  a v ; a  aoc
(2.145)
где  - угол между векторами a oc и a v . Когда   90 0 , то
a   2  h2   4  R2 .
2.4.18. Общий случай движения свободного твердого тела
Пусть свободное твердое тело как угодно перемещается относительно неподвижной
системы отсчета X 0Y0 Z 0 (рис. 2.48).
55
Рис. 2.48. Схема к описанию общего случая движения свободного твердого тела
Положение тела в любой момент времени будет известно в системе отсчета X 0Y0 Z 0 ,
если будем знать положение полюса А, то есть, координаты X OA , YOA , Z OA и положение тела
по отношению к осям AXYZ, определяемое углами Эйлера  , ,  . Тогда уравнения движения свободного тела относительно осей X 0Y0 Z 0 запишутся так:
X OA  f1 (t ) ;
  f 4 (t );
YOA  f 2 (t ) ;
Z OA  f 3 (t ).
(2.146)
  f 5 (t );
  f 6 (t ).
(2.147)
Элементарное перемещение свободного твердого тела слагается из поступательного
перемещения вместе с полюсом А, при котором оно переходит в положение А1 и некоторого перемещения по отношению к осям AXYZ, то есть вокруг точки А (как неподвижного
полюса). Последнее перемещение согласно теореме Эйлера - Даламбера представляет собой поворот вокруг мгновенной оси вращения АР, проходящей через точку А.
Следовательно, движение свободного тела слагается в общем случае из поступательного движения, при котором все точки тела движутся как произвольно выбранный полюс А
со скоростью V A и из серии элементарных поворотов с угловой скоростью  вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через полюс А (рис. 2.49).
Рис. 2.49. Схема свободного движения твердого тела
Поступательная часть движения тела описывается уравнениями: X OA  f1 (t ) ;
YOA  f 2 (t ) ; Z OA  f 3 (t ), а вращение вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через
полюс, уравнениями:   f 4 (t );   f 5 (t );   f 6 (t ).
56
Основные кинематические характеристики такого движения – скорость V A и ускорение a A полюса, а также угловая скорость  и угловое ускорение  во вращательном движении.
Скорость точки М свободно движущегося тела складывается из скорости V A полюса
А и скорости V MA , которую получает точка М при движении вместе с телом вокруг полюса
А, то есть, V M  V A  V MA . Поскольку V MA    AM , то V M  V A  (  AM ) .
Ускорение точки M тела определяется аналогично:
a M  a A  a MA ,
(2.148)
a MA  (  r )  (  V r ),
(2.149)
где r  AM ; V r  V    AM .
Напоминаем еще pаз, что курс лекций по кинематике – кpаткое изложение ее основных положений и теоpем. Для более глубокого изучения этого pаздела необходимо обpащаться к учебникам.
В следующем разделе излагается механодинамика точки, твёрдого тела и механической системы.
2.4.19. Кинематические заблуждения теоретиков XX века
Итак, мы рассмотрели главные фазы кинематических движений: ускоренную
равномерную и замедленную и установили, что равномерное кинематическое движение
является самым простым. И, тем не менее, все теоретики XX века, образно говоря,
капитально заблудились в этом движении и насочиняли немыслимое количетво теорий,
основанных на этих заблуждениях. В чём их суть?
Мы теперь знаем, что все процессы в Природе протекают в рамках Аксиомы Единства пространства, материи и времени, которая базируется на аксиоматическом утверждении: все перемещения любых объектов в пространстве неотделимы от процессов течения
времени, то есть являются функциями времени. При изучении поведения макромира
вплоть до XX века процесс следования Аксиоме Единства был автоматический. Он был
нарушен при переходе к описанию поведения микромира. В результате теоретики забрели в
такие непроходимые дебри и насочиняли столько научных небылиц, что нам потребуется
немало времени для возврата на классический путь развития.
Все эксперименты, выполненные нами, помимо нашей воли протекают в рамках Аксиомы Единства. Вполне естественно, что правильная интерпретация результатов этих экспериментов возможна только с помощью теорий и математических моделей, работающих
также в рамках Аксиомы Единства.
Если же мы привлечем для интерпретации результатов эксперимента математические
модели и теории, которые работают за рамками Аксиомы Единства, то мы неминуемо получим в лучшем случае приближенное представление о том явлении, которое изучаем, а в
худшем – полностью искаженное.
Начало теории относительности было положено Галилеем. Он показал, что при переходе из подвижной системы отсчета X ' O'Y ' , которая движется относительно неподвижной
- XOY с постоянной скоростью V , координата x' и время t ' преобразуются по соотношениям (рис. 2.50):
57
x'  x  Vt;
(2.150)
t'  t .
(2.151)
Рис. 2.50. Схема к анализу преобразований Галилея
Преобразования Галилея (150) и (151) работают в евклидовом пространстве и базируются на представлениях о пространстве и времени, как абсолютных характеристиках мироздания.
Впоследствии, основываясь на постулате о постоянстве скорости света С , Лоренц
нашел, что указанный переход связан со скоростью света зависимостями (рис. 2.51):
x' 
t' 
x  Vt
1V 2 / C 2
;
t  Vx / C 2
1V 2 / C 2
(2.152)
.
(2.153)
Из соотношения (152) неявно следует, что с увеличением скорости V  C величина
пространственного интервала x' уменьшается, что соответствует относительности пространства. Аналогичное следствие вытекает и из соотношения (153). При V  C величина
t ' также уменьшается, что соответствует уменьшению темпа течения времени (рис. 2.51)
или - относительности времени.
Рис. 2.51. Схема к
анализу преобразований Лоренца
Так сформировалось представление об относительности пространства и времени.
Нашлись и эксперименты, якобы подтверждающие преобразования Лоренца, поэтому они и
следующие из них Специальная и Общая теории относительности А. Эйнштейна были
58
признаны непогрешимыми. Эта непогрешимость не была поставлена под сомнение и тогда,
когда начали появляться экспериментальные результаты, противоречащие и преобразованиям Лоренца и Специальной теории относительности. Главным из них и весьма убедительным является эксперимент Саньяка. Удивительно, но мировое научное сообщество
вместо поиска причин этого противоречия проигнорировало результаты опыта Саньяка.
Как видно, в преобразованиях (152) и (153) Лоренца пространственный интервал x' ,
расположенный в подвижной системе отсчёта, отделён от времени t ' , текущего в этой системе. В реальной действительности такого не бывает. Изменяющийся пространственный
интервал – всегда функция времени. Поэтому преобразования Лоренца описывают не реальную, а ложную относительность.
Но главным судьей достоверности математических моделей оказалась давно существующая, но, как мы уже отметили, остававшаяся незамеченной Аксиома Единства пространства – материи – времени. Из неё следует, что пространство, материя и время не могут
существовать в разделенном состоянии. Они существуют только вместе, поэтому математические модели, в которых пространство, материя и время разделены, искажают реальность. Так как пространственный интервал x' (152) в подвижной системе отсчёта не является функцией времени t ' , текущего в этой системе отсчёта, то преобразования Лоренца
явно противоречат аксиоме Единства. Чтобы убедиться в этом. Обратим внимание ещё раз
на то, в формуле (152) присутствует координата x' , которая фиксируется в подвижной
системе отсчета (рис. 2.51), а в формуле (153) - только время t' , которое течет в этой же
системе отсчета. Таким образом, в математических формулах (152) и (153) изменяющаяся величина пространственного интервала x' в подвижной системе отсчета отделена,
повторим ещё раз, отделена от времени t' , текущего в этой системе отсчета.
Теперь мы знаем, что в реальной действительности отделить пространство от времени невозможно, поэтому указанные уравнения нельзя анализировать отдельно друг
от друга. Это - система уравнений и анализировать их необходимо вместе. Только такой
анализ будет соответствовать Аксиоме Единства пространства - материи - времени, и результаты только такого анализа будут отражать реальность. Но это простое правило до
сих пор игнорируется всеми теоретиками. Обратим ещё раз внимание на то, что из уравнения (152) неявно следует, что при V  C величина пространственного интервала x'
уменьшается. Из этого физики ХХ века делали вывод, что с увеличением скорости
системы отсчета величина пространственного интервала
V движения подвижной
x' сокращается. Далее, они брали для анализа одно уравнение (153)1 ( Отделяли пространственный интервал x’ от времени t’). Из него также следует неявно, что при
V  C величина t' уменьшается. Из этого они делали вывод о том, что с увеличением
скорости движения подвижной системы отсчета темп течения времени t' в ней замедляется.
Исправим ошибочную интерпретацию. Для этого обратим вначале внимание на
процедуру синхронизации часов в подвижной и неподвижной системах отсчёта. Её суть заключается в том, что в начальный момент, когда начала обоих систем отсчёта совпадают в
точке О (рис. 2.51) делается световая вспышка и одновременно подвижная система отсчёта
начинает двигаться относительно неподвижной с постоянной скоростью V. Совпадение
начала световой вспышки с началом движения подвижной системы отсчёта – эквивалентно
полной синхронизации часов в подвижной и неподвижной системах отсчёта. Чтобы отличать время, текущее в неподвижной и подвижной инерциальных системах отсчёта, их обозначают разными символами t и t ' соответственно. В результате Лоренц получил математические модели, которые показывали, зависимость темпа течения времени от скорости
движения подвижной системы отсчёта. Никто не обратил внимание на то, что время t '
1
Отделяли пространственный интервал x’ от времени t’.
59
(153), текущее в подвижной системе отсчёта, оказалось отделённым от пространственного
интервала x ' , изменяющегося в этой системе отсчёта (152). Поскольку в реальной действительности пространство невозможно отделить от времени, то проанализируем уравнения (152) и (163) совместно (в рамках аксиомы Единства), для этого разделим первое
на второе, в результате будем иметь
x'
x  Vt

.
(154)
t ' t  Vx / C 2
Вот теперь математическая формула (154) отражает зависимость координаты x' от
времени t' . Из этого следует, что формула (154) работает в рамках Аксиомы Единства
пространства - материи - времени, то есть в рамках реальной действительности. Обратим
внимание на то, что материя в уравнении (154) присутствует косвенно. Её роль выполняют
скорости V и C . Обусловлено это тем, что скорость могут иметь только материальные
объекты.
На рис. 2.51 видно, что x - это координата положения светового сигнала в неподвижной
системе отсчета. Она равна произведению скорости движения света C на время t . Если
мы подставим x  Ct в приведенную формулу (154), то получим координату x'  Ct ' , которая фиксирует положение светового сигнала в подвижной системе отсчета. Где же
расположен этот сигнал? Поскольку мы изменяем координаты x и x' , то в моменты времени t и t' он расположен на совпадающих осях OX и OX ' , точнее - в точке K - точке
пересечения световой сферы с двумя осями OX и OX ' (рис. 2.51).
Геометрический смысл преобразований Лоренца очень прост. В них зафиксированы: координата x' точки K в подвижной системе отсчета и её координата x в неподвижной системе отсчета (рис. 2.51). Это - точка пересечения световой сферы с осями
OX и OX ' . Вот и весь смысл преобразований Лоренца. Другой информации в этих преобразованиях нет и они не отражают никакие физические эффекты.
Важно и то, что приведённый анализ преобразований Лоренца придаёт всем математическим символам: x, x' , t , t ' , V , C , входящим в эти преобразования, четкий геометрический и физический смысл. Посмотрите внимательнее на рис. 2.51. При V  C величина x'
действительно уменьшается. Вполне естественно, что уменьшается и время t ' , необходимое световому сигналу для того, чтобы пройти расстояние x' . Вот Вам и причина сокращения пространственного интервала x' , темпа течения времени t ' и появления парадокса
близнецов. Приведите преобразования Лоренца к виду, соответствующему Аксиоме Единства пространства – материи – времени и все парадоксы исчезают.
20.11.2012.