РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА КОМБИНАЦИИ ТЕЛ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА КОМБИНАЦИИ
ТЕЛ
Составитель: Михайлова А.М.
• Наглядное геометрическое
представление может развиться только
в результате постоянной тренировки,
при решении большого количества
разнообразных задач. Именно решение
задач на комбинации тел способствует
развитию у учащихся пространственного
воображения и позволяет продемонстрировать разнообразие методов, применяемых в геометрии.
Цели разработки
• помочь повысить уровень понимания и
•
•
практической подготовки в таких вопросах,
как решение задач на комбинации тел;
создать в совокупности с основными
разделами курса геометрии базу для
развития способности учащихся;
помочь осознать степень интереса к предмету
и оценить возможности овладения им с точки
зрения дальнейшей перспективы.
Задачи разработки
• научить учащихся решать задачи на
комбинации тел;
• научить ученика оценить свой
потенциал с точки зрения
образовательной перспективы.
Теоретическое обоснование
методической разработки из
опыта работы.
Особые затруднения вызывают у
учащихся геометрические задачи,
в которых требуется хорошо
представлять себе нужные
геометрические конфигурации.
Примером таких задач являются
задачи на комбинации тел и
многогранников. Необходимо
всегда хорошо «с разных точек
зрения» представлять себе
взаимное расположение тел в
пространстве, о которых идет
речь в задаче, стараться
правильно, чётко и аккуратно
выполнять чертёж.
Для построения правильного изображения сферы, вписанной в куб,
сначала изобразим сферу с экватором и полюсами. Затем опишем около
экватора квадрат и построим его изображение. Это можно сделать
следующим образом. Отметим на эллипсе, изображающем экватор
какую-нибудь точку A и проведем касательную a к эллипсу в этой точке.
Через точку A и центр эллипса O проведем прямую, и ее точку
пересечения с эллипсом обозначим B. Через точку B проведем прямую b,
параллельную a. Она также будет касательной к эллипсу. Построим
диаметр CD, сопряженный диаметру AB эллипса и через точки C и D
проведем прямые c и d, параллельные AB. Они будут касательными к
эллипсу. Параллелограмм PQRS будет искомым изображением квадрата,
описанного около экватора. Через вершины параллелограмма проведем
прямые, параллельные оси SN сферы и отложим на них в обе стороны
отрезки, равные ON = OS. Получим вершины верхнего и нижнего
оснований куба, описанного около сферы. Соединяя теперь
соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований, получим
остальные ребра искомого куба.
При решении задач на другие комбинации
многогранников и сферы (вписанная сфера,
сфера, касающаяся только некоторых граней
многогранника или проходящая через какиелибо его вершины и т.п.) изображение самой
сферы часто бывает лишним. Достаточно
лишь указать точки касания сферы с
различными плоскостями и прямыми и ее
центр. При выполнении таких построений и
их обосновании полезно знать свойства
секущих и касательных прямых к сфере, а
также некоторые геометрические места точек
в пространстве.
Геометрические тела, вписанные в шар и
описанные около него.
• Центр вписанного шара есть точка, одинаково
удаленная от граней, и потом; будет находиться
на пересечении плоскостей — биссектрис
двугранных углов многогранника.
• Центр описанного шара есть точка, одинаково
удаленная от всех вершин многогранника, и
потому будет находиться на пересечении
плоскостей, перпендикулярных к ребрам в их
серединах.
• Центр вписанного шара находится всегда внутри
многогранника; центр описанного шара может
быть внутри, на и вне многогранника.
Дидактический анализ и методика
изучения темы из опыта работы.
Учащиеся должны научиться решать задачи более
высокой по сравнению с обязательным уровнем
сложности, овладеть рядом технических и
интеллектуальных умений на уровне их свободного
использования. Следует отметить, что требования к
знаниям и умениям ни в коем случае не должны быть
завышены. Чрезмерность требований порождает
перегрузку и ведет к угасанию интереса. Одна из
целей преподавания данной разработки
ориентационная - помочь осознать ученику степень
значимости своего интереса к математике.
На уроках можно использовать фронтальный опрос,
который охватывает большую часть учащихся класса.
Эта форма работы развивает точную, лаконичную
речь, способность работать в скором темпе, быстро
собираться с мыслями и принимать решения.
Можно рекомендовать комментированные упражнения, когда один из учеников
объясняет вслух ход выполнения задания. Эта форма помогает учителю
«опережать» возможные ошибки. При этом нет механического списывания с
доски, а имеет место процесс повторения. Сильному ученику комментирование
не мешает, среднему - придает уверенность, а слабому - помогает. Ученики приучаются к вниманию, сосредоточенности в работе, к быстрой ориентации в
материале.
Поурочные домашние задания являются обязательными для всех. Активным
учащимся можно давать задания из дополнительной части или предложить
творческие задания. Проверка заданий для самостоятельного решения
осуществляется на занятии путем узнавания способа действия и называния
ответа.
Проверочные работы рассчитаны на часть урока, целиком проверочная или
самостоятельная работа может быть предложена для домашнего решения.
Задания выбираются по усмотрению учителя.
Ученики самостоятельно, в микрогруппах, в сотрудничестве с
учителем выполняют различные задания в соответствии со своими
познавательными приоритетами и возможностями, на занятиях организуется
обсуждение результатов этой работы, а также разнообразных творческих
заданий.
Фронтальный опрос по теме: «Решение
задач на комбинацию шара и пирамиды»
Используя рисунки и модели шаров, описанных
около пирамид, выяснить смысл понятий
«пирамида вписана в шар (сферу)» и «шар
(сфера) описан около пирамиды». При этом
рекомендуется обратить внимание на вопросы:
а) Как расположены точки, общие для сферы и
пирамиды (на окружности,
по которой сфера пересекается плоскостью
основания пирамиды или
плоскостью любой боковой грани)?
б) Где расположен центр сферы относительно
пирамиды (на перпендикуляре, проходящем через
центр окружности, описанной около основания
пирамиды, или около любой боковой грани, к
плоскости этой окружности)?
в) Около всякой ли пирамиды может быть описана
сфера?
г) При каком условии центр сферы, описанной
около пирамиды, принадлежит высоте пирамиды?
д) Как провести большую окружность сферы,
включающую какие-либо
элементы пирамиды?
Примеры плакатов с изображением по
теме «Объемы тел»
Шар и пирамиды
а) Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к
основанию то в такую пирамиду можно вписать шар.
Центр шара лежит в точке пересечения высоты
пирамиды с биссектрисой линейного угла любого
двугранного при основании. В правильную пирамиду
всегда можно вписать шар. Проекция шара на основание
- круг, не вписанный в многоугольник основания, но
лежащий в плоскости оси.
б) Около пирамиды можно описать шар тогда и только
тогда, когда около ее основания можно описать
окружность (треугольная пирамида, четырехугольная, у
которой сумма противолежащих углов основания равна
180°).
Центр описанного шара лежит в точке пересечения
прямой, перпендикулярной основанию и проходящей
через центр окружности, описанной около основания, и
плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру и
проведенной через середину этого ребра. Если боковые
ребра
пирамиды
равны
между
собой
(или
равнонаклонены к плоскости основания), то около такой
пирамиды можно описать шар. Центр шара в этом случае
лежит I точке пересечения высоты пирамиды (или ее
продолжения) с осью сим метрии бокового ребра,
лежащей в плоскости бокового ребра и высоты.
Повторение по теме «Комбинации с
вписанными сферами» на карточках.
Примерные варианты самостоятельных и
контрольных работы.
Cамостоятельная работа.
Вариант I.
1. Сторона основания правильной четырехугольной
пирамиды равна т, а двугранный угол при стороне
основания а. Определить радиус вписанного в нее
шара.
2. Образующая конуса составляет с его осью угол а.
Определить отношение объема этого конуса к объему
описанного около него пирамиды.
3. В правильной треугольной пирамиде плоский угон
при вершине равен , а сторона основания m.
Определить объем пирамиды.
Контрольная работа
Вариант II
1. Площадь осевого сечения цилиндра равна 32см² . Длина
окружности основания цилиндра 8п см. Вычислите площадь
боковой поверхности цилиндра.
2. Отношение, диаметров двух шаров равно 5: 3. Чему равно
отношение площадей поверхностей этих шаров?
3. Равнобедренный треугольник с углом при вершине 2а
вращается вокруг прямой, проходящей через его вершину и
параллельной основанию. Высота треугольника, проведенная к
основанию, равна h. Вычислите:
а)площадь поверхности тела вращения;
б) объем этого тела.
Разбор различных задач на комбинации
тел.
Данная разработка ориентирована на
помощь ученику в лучшем овладении
общеучебными умениями и навыками,
которые позволяет ему успешно
осваивать учебный материал .
Предлагаемая тема изложена на уровне
повышенных требований с целью
развития учебной мотивации учащихся
и успешной сдачи ЕГЭ. Работая над
этой темой я добилась следующие
результаты :в этом учебном году из 23
выпускников справились с В 11 -9, что
составляет 40%, 3 выпускника набрали
по 1 б (13%) из группы С 4, один-2 б
(4%), 1-4 б(4%)