Теория вероятностей и комбинаторика на ГИА

Репкина Виктория Анатольевна
Учитель математики
МАОУ Сибирский лицей
 Достоверное событие –
то, которое
наступит обязательно
 Невозможное событие – событие которое
не наступит никогда
 Случайное событие – событие, которое
может наступить или не наступить
 Несовместные события – два события,
если в результате появление одного из
них исключает появление другого

Вероятностью события А при проведении некоторого
испытания (опыта)называют отношение числа
исходов, в результате которых наступает событие А, к
общему числу равновозможных между собой исходов
данного опыта
Р(А) =N(A) / N
Р(А) – вероятность события А
N(А) – число исходов, в результате которых наступает
событие А
N - общему числу равновозможных между собой
исходов данного опыта

Вероятность достоверного события 1

Вероятность невозможного события 0


Суммой нескольких событий называется событие,
состоящее в появлении хотя бы одного из этих
событий
Произведением нескольких событий называется
событие, состоящее в совместном появлении всех этих
событий
Для нахождения вероятности события А при
проведении некоторого опыта следует:
1. Найти число всех возможных исходов данного
опыта (N)
2. Принять предположение о равновероятности
всех этих исходов
3. Найти количество тех исходов опыта, в
которых наступает событие А (N(А))
4.Найти частное Р(А) =N(A) / N ,оно и будет
равно
вероятности события А
Оля, Денис, Коля, Витя и Света бросили жребий –
кому начинать игру. Найдите вероятность того,
что начинать игру должна будет Света?
Решение:
1. Число возможных исходов N = 5
2. Число исходов опыта, в которых наступает
событие А (начнет игру Света) N(A) = 1
3. Вероятность Р = 1:5 = 0,2
Оля, Денис, Коля, Витя и Света бросили жребий –
кому начинать игру. Найдите вероятность того,
что игру начинать будет мальчик.
Решение:
1. Число возможных исходов N = 5
2. Число исходов опыта, в которых
наступает событие А(начнет игру мальчик)
N(A) = 3
3. Вероятность Р = 3:5 = 0,6
В сборнике билетов по геометрии всего 36 билетов, в 9 из
них встречается вопрос по теме «Площади». Найдите
вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене
билете по геометрии школьнице Алисе не достанется
вопрос по теме «Площади»
Решение:
1. Число возможных исходов N = 36
2. Число исходов опыта, в которых наступает событие
А(Алисе не достанется вопрос по теме «Площади»)
N(A)=9
3. Вероятность Р(А) = 9:36= 0,25
В сборнике билетов по истории всего 50 билетов, в 9 из
них встречается вопрос по древней истории, а 11 – по
средневековью, при этом ровно в 3 билетах встречаются
вопросы и по древней истории, и по средневековью.
Найдите вероятность того, что в случайно выбранном
билете по истории школьнику Диме не достанется
вопроса ни по древней истории, ни по средневековью.
Решение:
1. Число возможных исходов N = 50.
2. Число исходов опыта, в которых наступает событие
А(Диме не достанется вопроса ни по древней истории,
ни по средневековью) N(A)=33 (9+11-3)
3. Вероятность Р(А) = 33:50= 0,66
На соревнования по метанию диска приехали 36
спортсменов, среди них 7 спортсмена из Голландии, 6
спортсменов из Испании, 5 – из Китая . Порядок
выступлений определяется жеребьевкой. Найдите
вероятность того, что девятым будет выступать
метатель из Испании.
Решение:
1. Число возможных исходов N = 36
2. Число исходов опыта, в которых наступает событие
А(выступает метатель из Испании) N(A)=6
3. Вероятность Р(А) = 6:36= 1/6
На конференцию приехали 7 ученых из Франции, 3 из
Италии, 6 из России и 9 из Канады. Найдите вероятность
того, что восьмым окажется доклад итальянца.
Решение:
1. Число возможных исходов N = 25 (7+3+6+9)
2. Число исходов опыта, в которых наступает событие
А(доклад итальянца) N(A)=3
3. Вероятность Р(А) = 3:25= 0,12
На чемпионат по прыжкам в воду приехали 7
спортсменов из США, 3 из Швеции, 4 из Мексики, 6 из
Германии. Порядок выступлений определяется
жеребьевкой. Найдите вероятность того, что третьим
будет выступать американец Джон Смит.
Решение:
1. Число возможных исходов N = 20 (7+3+4+6)
2. Число исходов опыта, в которых наступает событие
А(выступление Джона Смита) N(A)=1
3. Вероятность Р(А) = 1:20= 0,05
Научная конференция по биологии проводится в 4 дня.
Всего запланировано 45 докладов: в первый день 15
докладов, остальные распределены поровну между
вторым, третьим и четвертым днями. Порядок
выступлений определяется жеребьевкой. Найдите
вероятность, что доклад профессора Михайловского по
позвоночным запланирован на второй день
конференции.
Решение:
1. Число возможных исходов N = 45.
(45-15):3=по 10 докладов в каждый из следующих дней
2. Число исходов опыта, в которых наступает событие
А(доклад запланирован на второй день конференции)
N(A)=10
3. Вероятность Р(А) = 10:45= 2/9
Перед началом первого тура чемпионата по шахматам
участников разбивают на игровые пары случайным
образом с помощью жребия. Всего в чемпионате
участвует 106 шахматистов, среди которых 22 из России,
в том числе Николай Трифонов. Найдите вероятность
того, что в первом туре Николай Трифонов будет играть с
шахматистом из России.
Решение:
1. Число возможных исходов N = 105.(без Трифонова)
2. Число исходов опыта, в которых наступает событие
А(Трифонов будет играть с шахматистом из России)
N(A)=21 (без Трифонова)
3. Вероятность Р(А) = 21:105= 0,2
Найдите вероятность того, что при броске двух
симметричных монет оба раза выпадет орел.
Решение:
1. Возможные исходы: ОР; ОО; РР; РО. Значит, число
возможных исходов N = 4
2. Число исходов опыта, в которых наступает событие
А(выпадает ОО) N(A)=1
3. Вероятность Р = 1:4= 0,25
Найдите вероятность того, что при броске трех
симметричных монет два раза выпадет орел, а один раз
решка.
Решение:
1. Возможные исходы:
1м
О
О
О
О
Р
Р
Р
Р
2м
О
Р
О
Р
Р
О
О
Р
3м
О
О
Р
Р
Р
Р
О
О
Значит, число возможных исходов N = 8
2. Число исходов опыта, в которых наступает событие
А(выпадает 2 раза орел и 1 решка) N(A)=3
3. Вероятность Р(А) = 3:8= 0,375
Найдите вероятность того, что при броске игрального
кубика выпадет 2 или 5.
Решение:
1. Число возможных исходов N = 6
2. Число исходов опыта, в которых
наступает событие А(выпадение 2 или 5) N(A) = 2
3. Вероятность Р(А) = 2:6= 1/3
Оля и Вадим играют в кости. Они бросают кость по
одному разу. Выигрывает тот, у кого больше очков.
Считается ничья, если очков они выбросили поровну. Оля
выкинула 4 очка. Затем кубик бросает Вадим. Найдите
вероятность того, что Вадим не проиграет.
Решение:
1. Число возможных исходов N = 6
2. Число исходов опыта, в которых наступает событие
А(выпадение 4; 5 или 6) N(A) = 3
3. Вероятность Р(А) = 3:6= 0,5
Оля, Вадим и Виталик играют в кости. Они бросают кость
по одному разу. Выигрывает тот, у кого больше очков.
Считается ничья, если очков они выбросили поровну. В
сумме они выкинули 13 очков, причем Вадим с
Виталиком выбросили поровну очков. Найдите
вероятность того, что Оля выиграла у обоих мальчиков.
Решение:
Т. к. сумма очков 13 и двое выкинули поровну, то
возможны варианты: 6; 6; 1 (Оля проиграла), 5;5;3 (Оля
проиграла), 4; 4; 5 (Оля выиграла), получаем:
1. Число возможных исходов N = 3
2. Число исходов опыта, в которых наступает событие
А(Оля выиграла) N(A) = 1
3. Вероятность Р(А) = 1:3= 1/3


Событие В называют противоположным событию А
(В=Ᾱ), если событие В происходит тогда и только тогда,
когда не происходит событие А.
Для нахождения вероятности противоположного
события следует из 1 вычесть вероятность самого
события Р (Ᾱ)= 1-Р(А)
В сборнике билетов по геометрии всего 40 билетов, в 12
из них встречается вопрос по теме «Углы». Найдите
вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене
билете по геометрии школьнику Косте не достанется
вопроса по теме «Углы»
Решение:
| способ:
1. Число возможных исходов N = 40
2. Число исходов опыта, в которых наступает событие
А(Косте достанется вопрос по теме «Углы») N(A)=12
3. Вероятность Р(Ᾱ) = 1- Р(А) =1-12:40=0,7
|| способ:
1. 40-12=28 (количество билетов без темы
«Углы»)
2. Р(Ᾱ) = 28:40 =0,7
В каждой партии из 500 лампочек в среднем 3
бракованные. Найдите вероятность того, что наугад
взятая лампочка из партии будет исправной.
Решение:
| способ:
1. Число возможных исходов N = 500
2. Число исходов опыта, в которых наступает событие
А(лампочка бракованная) N(A)=3
3. Вероятность Р(Ᾱ) = 1- Р(А) =1-3:500=0,994
|| способ:
1. 500-3=497 (исправных лампочек)
2. Р(Ᾱ) = 497:500=0,994
В среднем из 300 гелевых ручек пишут 296. Найдите
вероятность того, что взятая наугад ручка не будет
писать.
Решение:
| способ:
1. Число возможных исходов N = 300
2. Число исходов опыта, в которых наступает событие
А(ручка будет писать) N(A)=296
3. Вероятность Р(Ᾱ) = 1- Р(А) =1-296:300=1/75
|| способ:
1. 300-296=4 (ручки не пишут)
2. Р(Ᾱ) = 4:300=1/75
Вероятность суммы двух несовместных
событий равна сумме вероятностей этих
событий.
На чемпионат по прыжкам в воду приехали 7
спортсменов из США, 3 из Швеции, 4 из Мексики, 6 из
Германии. Порядок выступлений определяется
жеребьевкой. Найдите вероятность того, что первым
будет выступать не мексиканец и не американец.
Решение:
1.Число возможных исходов N = 20 (7+3+4+6)
2. Число исходов опыта, в которых наступает событие
А(выступает швейцарец) N(A)=3
Число исходов опыта, в которых наступает событие
В(выступает германец) N(В)=6
3. Вероятность Р(А) = 3/20; вероятность Р(В)=6/20
4. Р(А+В)= 3/20+6/20=0,45
Научная конференция по истории проводится в 4 дня
так, что в каждый следующий день проводится в два раза
меньше докладов, чем в предыдущий, а всего
запланировано 60 докладов. Порядок докладов
определяется жеребьевкой. Найдите вероятность, что
доклад профессора Н. запланирован на первый или
последний день.
Решение:
Найдем количество докладов запланированных в 1-ый и
4-ый день (с помощью уравнения): пусть х – докладов в 4
день, тогда в 3 день – 2х, во 2-ой – 4х, в 1-ый – 8х. Зная,
что всего докладов 60, составим уравнение
х+2х+4х+8х=60
х=4
4 доклада в 4-ый день, значит в 1-ый – 32 доклада
Решение:
1.Число возможных исходов N = 60
2. Число исходов опыта, в которых наступает событие
А(доклад в 1-ый день) N(A)=32
Число исходов опыта, в которых наступает событие
В(доклад в 4-ый день) N(В)=4
3. Вероятность Р(А) = 32/60; вероятность Р(В)=4/60
4. Р(А+В)= 32/60+4/60=0,6
Перед началом первого тура чемпионата по шахматам
участников разбивают на игровые пары случайным
образом с помощью жребия. Всего в чемпионате
участвует 86 шахматистов, среди которых 14 из Венгрии,
а 21 из России, в том числе Николай Трифонов. Найдите
вероятность того, что в первом туре Николай Трифонов
будет играть с шахматистом из России или из Венгрии.
Решение:
1.Число возможных исходов N = 85 (без Трифонова)
2. Число исходов опыта, в которых наступает событие
А(игра с россиянином) N(A)=20 (без Трифонова)
Число исходов опыта, в которых наступает событие
В(игра с шахматистом из Венгрии) N(В)=14
3. Вероятность Р(А) = 20/85; вероятность Р(В)=14/85
4. Р(А+В)= 20/85+14/85=0,4
В показательных выступлениях по фигурному катанию
участвуют 4 девушки и 5 юношей. Порядок выступлений
определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того,
что первые две выступают девушки.
Решение:
1.Число возможных исходов N = 9
Число исходов опыта, в которых наступает событие
А(первой выступает девушка) N(A)=4.
Вероятность Р(А) = 4/9
2. Число возможных исходов (после выборки первого
выступающего) N =8
Число исходов опыта, в которых наступает событие
В(второй выступает девушка) N(В)=3.
Вероятность Р(В)=3/8
3. Р(А+В)= 4/9+3/8=1/6
 Относительная
частота – отношение
частоты к общему числу данных в ряду.

В таблице представлены результаты четырех стрелков,
показанные ими на тренировке. Тренер решил послать
на соревнования того стрелка, у которого
относительная частота попаданий выше. Кого из
стрелков выберет тренер?
Стрелок
Число
выстрелов
Число
попаданий
1
50
24
2
30
21
3
40
20
4
40
24
Чтобы найти стрелка, относительная частота
попаданий которого выше, нужно сравнить
следующие дроби и выбрать наибольшую.
24 21 20 24
; ; ;
50 30 40 40
Ответ: второй стрелок
В таблице представлены результаты четырех стрелков,
показанные ими на тренировке. Тренер решил послать
на соревнования того стрелка, у которого относительная
частота попаданий выше. Кого из стрелков выберет
тренер?
Стрелок
Число выстрелов
Число попаданий
1
30
21
2
40
29
3
50
36
4
60
43
Чтобы найти стрелка, относительная частота
попаданий которого выше, нужно сравнить
следующие дроби и выбрать наибольшую.
21 29 36 43
; ; ;
30 40 50 60
Ответ: второй стрелок
Рассматривают независимые повторения одного и того
же испытания с двумя возможными исходами, которые
условно называются «успех» и «неудача». Требуется
найти вероятность Рn(k), что при n таких повторений
произойдет ровно «k» «успехов»
Теорема Бернулли: Вероятность Рn(k) наступления ровно
к успехов в n независимых повторениях одного и того же
испытания находится во формуле :
Pn ( k )  C  p  q
k
n
k
nk
где р – вероятность «успеха», q = 1-p – вероятность «не
удачи» в отдельном испытании.
Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 4/5. Он
стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что он попадет
все 5 раз.
Решение:
1. «успех» р = 4/5; «неудача» q =1-4/5=1/5
2. Число повторений n=5; число «успехов» k=5
5
55
5
0
5
3.
4
P5 (5)  C   
5
5
5
1
 
5
4
 C  
5
5
5
1
 4  1024
    1   
5
 5  3125
Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 4/5. Он
стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что он попадет
в мишень 4 раза.
Решение:
1. «успех» р = 4/5; «неудача» q =1-4/5=1/5
2. Число повторений n=5; число «успехов» k=4
3.
4
5 4
4
1
5
 4 1
P5 (4)  C      
 5 5
4
5
 4 1
 4  1 256
 C      5   
 5 5
 5  5 625
4
5
Для того чтобы найти число всех
возможных исходов независимого
проведения двух испытаний А и В, следует
перемножить число всех исходов
испытания А и число исходов испытания В.
Учительница по очереди вызывает школьников к доске.
Найдите вероятность того, что она сначала вызвала Диму
Спицина , а после него к доске пойдет Юля Белкина, если
всего в классе 18 учеников.
Решение:
1.Число возможных исходов N = 18 (для события А)
Число исходов опыта, в которых наступает событие
А(вызвали Диму Спицина) N(A)=1. Вероятность Р(А) =
1/18;
2. Число возможных исходов N = 17 (без Спицина)
Число исходов опыта, в которых наступает событие
В(вызвали Юлю Белкину) N(A)=1. Вероятность Р(А) =
1/17;
3. Вероятность Р(А) ∙ Р(В)= 1/18∙1/17=1/306
Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 6/7. Он
стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что он попадет
в мишень первые три раза, а потом два раза промахнется.
Решение:
1.«успех» р=6/7; «неудача» q=1/7
2. Событие А – попадание из трех – три раза; событие В –
промах из двух - два раза.
3. Вероятность А : число повторений n = 3; число
«успехов» k = 3
3
0
3
6 1
6
6
P3 (3)  C        1   1   
7 7
7
7
3
3
3
4. Вероятность В : число повторений n = 2;
число «успехов» k = 2
1
P2 (2)  C   
7
2
2
5.
6
A B   
7
3
2
0
1 1
    
7 7
2
63 12
216
1
    373 
16807
7
7
2
1. Государственная итоговая аттестация выпускников 9
классов в новой форме. Математика 2013. Учебное
пособие/ А.В. Семенов, А.С. Трепалин, И.В. Ященко,П.И.
Захаров; под ред. И.В. Ященко; Московский Центр
непрерывного математического образования.- М.:
Интеллект-Центр, 2013.- 88 с.
2. События. Вероятности. Статистическая обработка
данных: Доп.параграфы к курсу алгебры 7-9 кл.
общеобразоват. учреждений. – 3 –е изд.- М.:Мнемозина,
2005.-112с.:ил.
3. Руководство к решению задач по теории вероятностей:
учебное пособие/Е. Н. Некряч, Е. И. Подберезина;
Томский политехнический университет.-Томск: Изд-во
Томского политехнического университета, 2012.- 216с.
Спасибо за
внимание!