Документ 4843715
реклама
З Д Р А В С Т В У Й Т Е! 11.8. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ИХ СВЯЗЬ С СИММЕТРИЕЙ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ В предыдущих лекциях нами были рассмотрены три основных закона природы: законы сохранения импульса, момента импульса и энергии. !!!Следует понимать, что эти законы выполняются только в инерциальных системах отсчета!!!. В самом деле, при выводе этих законов мы пользовались вторым и третьем законами Ньютона, а последние применимы только в инерциальных системах. Напомним также, что !!!импульс и момент импульса сохраняются в том случае, если систему можно считать замкнутой!!! (сумма всех внешних сил и собственно всех моментов сил равна нулю). Для !!!сохранения же энергии тела условия замкнутости недостаточно – тело должно быть еще и адиабатически изолированным!!! (т.е. не участвовать в теплообмене). Во всей истории развития физики законы сохранения оказались чуть ли не единственными законами, сохранившими свое значение при замене одних теорий другими. Эти законы тесно связаны с основными свойствами пространства и времени. 1. В основе закона сохранения энергии лежит однородность времени, т.е. равнозначность всех моментов времени. Равнозначность следует понимать в том смысле, что замена момента времени t1 на момент времени t2 без изменения значений координат и скорости частиц не изменяет механические свойства системы. Это означает то, что после указанной замены координаты и скорости частиц имеют в любой момент времени t2+t такие же значения, какие они имели до замены в момент времени t1+t. 2. В основе сохранения импульса лежит однородность пространства, т.е. одинаковость свойств пространства во всех точках. Одинаковость следует понимать в том смысле, что параллельный перенос замкнутой системы из одного места пространства в другое без изменения взаимного расположения и скоростей частиц не изменяет механические свойства системы (предполагается, что на новом месте замкнутость системы не нарушается). 3. В основе сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, т.е. одинаковость свойств пространства по всем направлениям. Одинаковость следует понимать в том смысле, что поворот замкнутой системы как целого не отражается на ее механических свойствах. Между законами типа основного уравнения динамики и законами сохранения имеется принципиальная разница. Законы динамики дают нам представление о детальном ходе процесса. Так, если задана сила, действующая на материальную точку, и начальные условия, то можно найти закон движения, траекторию, величину и направление скорости в любой момент времени и т.п. Законы же сохранения не дают нам прямых указаний на то, как должен идти тот или иной процесс. Они говорят лишь о том, какие процессы запрещены и потому в природе не происходят. Таким образом, законы сохранения проявляются как принципы запрета: любое явление, при котором не выполняется хотя бы один из законов сохранения, запрещено, и в природе такие явления никогда не Всякое явление, при котором не нарушается ни один из законов сохранения, в принципе может происходить. Рассмотрим следующий пример. Может ли покоящееся тело за счет своей внутренней энергии начать двигаться? Этот процесс не противоречит закону сохранения энергии. Нужно лишь, чтобы возникшая кинетическая энергия точно равнялась убыли внутренней энергии. На самом деле такой процесс никогда не происходит, ибо он противоречит закону сохранения импульса. Раз тело покоилось, то его импульс был равен нулю. А если оно станет двигаться, то его импульс сам собой увеличится, что невозможно. Поэтому внутренняя энергия тела не может превратиться в кинетическую, если тело не распадется на части. Если же допустить возможность распада этого тела на части, то запрет, налагаемый законом сохранения импульса, снимается. При этом возникшие осколки могут двигаться так, чтобы их центр масс оставался в покое, - а только этого и требует закон сохранения импульса. Итак, для того чтобы внутренняя энергия покоящегося тела могла превратится в кинетическую, это тело должно быть способно распадаться на части. Если же есть еще один какой-либо закон, запрещающий распад этого тела на части, то его внутренняя энергия и масса покоя будут постоянными величинами. Подчеркнем, что законы сохранения энергии, импульса и момента импульса являются точными законами, строго выполняющимися и в релятивистской области. Лекция 10. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 10.1. Принцип относительности Галилея. 10.2. Скорость света и закон изменения 10.3. Постулаты Эйнштейна 10.4. Преобразования Лоренца 10.5. Следствия из преобразований Лоренца 10.6. Релятивистская механика 10.7. Взаимосвязь массы и энергии покоя 10.1. Принцип относительности Галилея. При изложении механики предполагалось, что все скорости движения тел значительно меньше скорости света. Причина этого в том, что механика Ньютона (называемая также классической) неверна при скоростях движения тел, близких к скорости света (υ → c). Правильная теория для случая υ → c называется релятивистской механикой или специальной теорией относительности. Механика Ньютона оказалась замечательным приближением к релятивистской механике, справедливым в области c. Согласно представлениям классической механики, механические явления происходят одинаково в двух системах отсчета, движущихся равномерно и прямолинейно относительно друг друга. Рис. 10.1 Рис. 10.1 Рассмотрим две инерциальные системы отсчета k и k'. Система k' движется относительно k со скоростью υ = const вдоль оси x. Точка М движется в двух системах отсчета (рис. 10.1). Найдем связь между координатами точки M в обеих системах отсчета. Отсчет начнем, когда начала координат систем – совпадают, то есть t = t'. Тогда: x = x' + υt; y = y'; z = z'; t = t' (10.1.1) Совокупность уравнений (10.1.1) называется преобразованиями Галилея. В уравнениях (10.1.1) время t = t' – т. е. в классической механике предполагалось, что время течет одинаково в обеих системах отсчета независимо от скорости. (“Существует абсолютное время, которое течет всегда одинаково и равномерно”, – говорил Ньютон). В векторной форме преобразования Галилея можно записать r r' vt (10.1.2) Продифференцируем это выражение по времени, получим (рис. 10.2): dr dr ' v; dt dt v1 v' v (10.1.3) Рис. 10.2 Выражение (10.1.3) определяет закон сложения скоростей в классической механике. Скорость движения точки М (сигнала) в системе k' и в системе k различны. Законы природы, определяющие изменение состояния движения механических систем не зависят от того, к какой из двух инерциальных систем отсчета они относятся. Это и есть принцип относительности Галилея. Из преобразований Галилея и принципа относительности следует, что взаимодействия в классической физике должны передаваться с бесконечно большой скоростью c = ∞, т. к. в противном случае можно было бы одну инерциальную систему отсчета отличить от другой по характеру протекания в них физических процессов. Принцип относительности Галилея и законы Ньютона подтверждались ежечасно при рассмотрении любого движения, и господствовали в физике более 200 лет. Но вот в 1865 г. появилась теория Максвелла и уравнения Максвелла не подчинялись преобразованиям Галилея. Ее мало кто принял сразу, она не получила признания при жизни Максвелла. Но вскоре все сильно изменилось, когда в 1887 г. после открытия электромагнитных волн Герцем, были подтверждены все следствия, вытекающие из теории Максвелла – ее признали. Появилось множество работ, развивающих теорию Максвелла. Дело в том, что в теории Максвелла, скорость света (скорость распространения электромагнитных волн), конечна и равна с = 299792458 м/с. (Исходя из принципа относительности Галилея скорость передачи сигнала бесконечна и зависит от системы отсчета v1 v' v ). Первые догадки о конечности распространения скорости света были высказаны еще Галилеем. Астроном Рёмер в 1676 г. пытался найти скорость света и по его приближенным расчетам она была равна с = 214300000 м/с. Нужна была экспериментальная проверка теории Максвелла. Он сам предложил идею опыта – использовать Землю в качестве движущейся системы (Известно, что скорость Земли υЗ 30 км/с 3104м/с). В 80-х годах XIX века были выполнены опыты, которые доказали независимость скорости света от скорости источника или наблюдателя. Необходимый для опыта прибор изобрел блестящий офицер военно-морских сил США – Майкельсон. Прибор состоял из интерферометра с двумя «плечами» расположенными перпендикулярно друг к другу. Вследствие сравнительно большой Рис. 8.3 скорости движения Земли, свет должен был иметь различные скорости по вертикальному и горизонтальному направлениям. Поэтому время, затрачиваемое на прохождение путей: источник – ппз – з1 – ппз и источник ппз – з2 – ппз должно быть различным. В результате, световые волны, пройдя указанные пути, должны были интерферировать. Майкельсон проводил эксперименты в течении 7 лет в 1881 году в Берлине и в 1887 г. в США совместно с химиком профессором Морли. Точность первых опытов была невелика 5 км/с. Однако, опыт дал отрицательный результат: изменения интерференционной картины обнаружить не удалось. Таким образом, результаты опытов Майкельсона – Морли показали, что величина скорости света постоянна и не зависит от движения источника и наблюдателя. Эти опыты повторяли и перепроверяли многократно. В конце 60-х годов прошлого века Ч. Таунс довел точность измерения до 1 м/с. Скорость света осталась неизменной с = 3108 м/с. 10.2. Скорость света и закон сохранения скоростей. В XIX в. кульминацией развития электромагнитной теории стало предсказание и экспериментальное подтверждение способности электромагнитных полей распространяться в пространстве. В середине позапрошлого века Джеймс Клерк Максвелл записывает свои знаменитые четыре уравнения, которые объединили в рамках блестящей теории описание всех явлений электричества и магнетизма. Согласно Максвеллу, изменяющееся электрическое поле порождает в пустом пространстве магнитное поле. На этом основании Максвелл пришел к следующему заключению. Если изменяющееся магнитное поле приводит к появлению электрического поля, то электрическое поле также будет изменяться. Это зменение электрического поля приведет в свою очередь к появлению изменяющегося магнитного поля и т.д. Анализируя свои уравнения, Максвелл обнаружил, что конечным итогом подобной связи изменяющихся полей будет появление волны, которая содержит электрическое и магнитное поля и способна распространяться в пустом пространстве! Согласно Максвеллу, скорость распространения электромагнитной волны в вакууме можно подсчитать по формуле: 1 (11.1) V , ε0 μ0 где 0 = 8,8510-12 Кл2/Н·м2- диэлектрическая постоянная, а 0= 410-7 Тлм/А - магнитная постоянная. Напомню еще раз, что ЭМВ распространяется в вакууме. Подставив значения 0 и 0 в (11.1), получим, что V 3108м/c. Это замечательный результат. Он точно совпадает с измеренным значением скорости света. Лет за шестьдесят до Максвелла было показано, что свет ведет себя подобно волне. Но никто не мог сказать, что это за волна, то есть что колеблется в этой волне. Основываясь на своих вычислениях скорости электромагнитных волн, Максвелл утверждал, что свет представляет собой электромагнитную волну. Эта точка зрения вскоре получила признание и других ученых, однако полностью она утвердилась лишь после того, как электромагнитные волны были зарегистрированы на опыте. Впервые ЭМВ удалось генерировать и наблюдать в лаборатории Генриху Герцу в 1887г., через восемь лет после смерти Максвелла. Итак, свет – это электромагнитная волна. Уравнения Максвелла позволили предсказать, что скорость света С=3108 м/с, и это предсказание совпадает с измеренным значением в пределах ошибки эксперимента. При этом возникает вопрос: в какой системе отсчета скорость света имеет значение, предсказанное теорией Максвелла? Предполагалось, что в разных системах отсчета скорость света различна. Например, если бы наблюдатель на борту космического корабля приближался к какому-нибудь источнику света со скоростью 1108 м/с, то следовало бы ожидать, что, измеряя скорость доходившего до него света, такой наблюдатель получил бы величину 3108 + 1108 = 4108 м/с, но в уравнениях Максвелла не предусмотрено никаких оговорок насчет относительной скорости. Теория Максвелла просто предсказывала, что скорость света С = 3108 м/с. Это, по видимому, предполагало, что должна существовать выделенная система отсчета, в которой скорость света С имела бы такое значение. До XIX века включительно физикам было известно, что волны распространяются по поверхности воды, вдоль веревок и струн, а звуковые волны распространяются в воздухе и в других средах; т.к. физики XIX века рассматривали материальный мир с точки зрения законов механики, для них было естественным предположение, что и свет распространяется в какой-то среде. Они назвали эту прозрачную среду эфиром и предположили, что она заполняет все пространство. Тем самым физики XIX века предполагали, что предсказываемое уравнениями Максвелла значение скорости света достигается в системе отсчета, связанной с эфиром. Однако оказалось, что уравнения Максвелла не удовлетворяют классическому принципу относительности. Они не одинаковы в различных инерциальных системах отсчета. Наиболее простой вид уравнения Максвелла принимали в системе отсчета, в которой С = 3·108 м/с, т.е. в системе отсчета, покоящейся относительно эфира. В любой другой системе отсчета в уравнения Максвелла было необходимо вводить добавочные члены, которые учитывали бы относительную скорость. Таким образом, хотя большинство законов физики удовлетворяло классическому принципу относительности, законы электромагнетизма или электродинамики принципу относительности заведомо не удовлетворяли. Казалось, что уравнения Максвелла позволяют выделить одну систему отсчета и отдать ей предпочтение перед другими, а именно ту, которую можно было считать абсолютно покоящейся системой отсчета. Физики принялись определять скорость Земли относительно этой абсолютной системы отсчета. Самое прямое измерение скорости относительно Земли было проведено американским физиком Майкельсоном в 1881 г, а затем в 1887 году он и американский физик Морли повторили эксперимент после усовершенствования экспериментальной установки и методики эксперимента. Кратко суть эксперимента сводилась к измерению скорости света в различных направлениях. Майкельсон и Морли ожидали обнаружить различие скорости света в зависимости от ориентации их экспериментальной установки относительно эфира. Подобно тому, как лодка имеет различную скорость относительно берега в зависимости от того, движется ли она вверх по течению, вниз по течению, или поперек течения, так и свет, по замыслу Майкельсона и Морли, должен был бы распространяться с различной скоростью в зависимости от скорости «обтекания» эфиром Земли (см. рис. 11.1). Рис. 11.1. В соответствии с рисунком 11.1,в Майкельсону и Морли необходимо было измерить величину V. Т.к. скорость земли в ее движении по орбите вокруг Солнца равна 3104м/с, то это привело бы к поправке порядка 10-4 к скорости света (3108 м/с). Прямое измерение скорости света с такой точностью было невозможно. Майкельсон и Морли придумали гениальный путь решения проблемы, а именно, они предложили поворачивать систему на 90°, т.е. менять местами пучки. Начнем с пучка 2 (рис. 11.1,а), идущего параллельно эфирному ветру. Мы полагаем, что путь от Мs до М2 свет проходит со скоростью c v, как лодка, плывущая по течению (рис.11.1,б), к скорости которой в стоячей воде прибавляется скорость течения. Так как пучок света проходит путь l2, на путь от Мs до М2 он затрачивает время t = l2/(c+v). На обратном пути - от М2 до Мs – пучок света идет против «эфирного ветра» (как лодка, плывущая против течения), поэтому его скорость относительно эфира равна c - v и на обратный путь он затрачивает время t = l2/(c-v). Следовательно, на весь путь туда и обратно пучок 2 затрачивает время l2 t2 c v l2 c v 2l 2 2 v c 1 c 2 Рассмотрим теперь пучок 1, идущий поперек «эфирного ветра». Аналогия с лодкой (рис.11.1б) в этом случае особенно полезна. Лодка должна пересечь реку напрямик от причала А к причалу В. Если лодка, отойдя от причала А, возьмет курс на причал В, то ее снесет течением. Чтобы достичь причала В, лодка должна держать курс на какую-то точку, расположенную вверх по течению от причала В, т.е. под некоторым углом к прямой АВ. Точное значение угла зависит от скоростей с и v, но само по себе не представляет сейчас для нас особого интереса. На рис. 11.1,в показано, как вычислить скорость v’ относительно земли, когда лодка движется поперек течения. Так как скорости с,v и v’ образуют прямоугольный треугольник, по 2 теореме Пифагора же скорость лодка ' c 2 . Такую развивает и на обратном пути. Применив те же рассуждения к световому пучку 1 на рисунке 11.1,а, получим, что он распространяется со скоростью c 2 2 по пути из М s в М1 и обратно. Всего световой пучок 1 проходит расстояние l1 и покрывает его за время 2l1/ c 2 2 , или 2l1 t1 c 1 v2 c 2 Если l1 = l2 = l, то световой пучок 1 отстанет от светового пучка 2 по времени на t t 2 t1 2l 2 v c c 1 2 2 2l1 c 1 v2 c2 Если v 0 и t 0 и два пучка возвращаются в фазе, т.к. первоначально они были в фазе. Но при v 0 также и t 0 и между пучками возникает разность фаз. Если бы удалось измерить разность фаз при v 0, то тем самым можно было бы определить и скорость v. Но Землю остановить невозможно и, кроме того, нельзя независимо предполагать, что l1 l2. Майкельсону и Морли принадлежит идея использовать для обнаружения разности фаз (в предположении, что v 0) поворот интерферометра на 900, который повлек бы за собой изменение интерференционной картины, создаваемой двумя световыми пучками. В повернутом положении пучок 1 двигался бы параллельно «эфирному ветру», а пучок 2 – перпендикулярно ему. Пучки как бы поменялись ролями, и в повернутом положении времена, затрачиваемые пучками на покрытие расстояния туда и обратно, были бы соответственно равны (штрих относится к повернутому интерферометру). 2l 2 2l1 ' ' t2 t1 ' c 1v 2 c 2 c 1 v2 c2 Запаздывание одного пучка по сравнению с другим после поворота на 900 равно t ' t '2 t1' 2l 2 c 1 v c 2 2 2l1 c 2 1 v c , 2 а до поворота интерферометра t t 2 t1 2l 2 v c c 1 2 2 2l1 c 1 v2 c . 2 Поворот интерферометра приводит к сдвигу интерференционных полос на величину, определяемую разностью этих интервалов времени: 2 1 1 . t t ' l1 l 2 2 2 1 v c c 1 v2 c2 Полученное выражение допускает существенное упрощение, если v/c<<1. Используя биноминальное 2 2 разложение: и 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2с 1 v c 1 v c с получаем 2 2 1 v 1 l1 l 2 t t ' l1 l 2 2 2 2 1 v2 c2 c 1 c v c Выберем v 3104 м/с (скорость Земли при движении по орбите вокруг Солнца). В экспериментах Майкельсона и Морли плечи интерферометра l1 и l2 достигали около 11 м . Задержка по времени одного пучка относительно другого составляла примерно (22 м)(3·104м/с)2/(3·108м/с)2 ≈ 7,0·1016 с. Для видимого света с длиной волны, например λ 5,5· 10-7 м частота равна f = с/λ = (3·108м/с)/ (5,5· 10-7) ≈ 5,5· 1014 Гц, т.е. гребни волн проходят через данную точку каждые 1/ (5,5· 1014 Гц) = 1,8 · 10-15 с. Следовательно, при разности времен между пучками 7,0·10-16 с Майкельсон и Морли должны были наблюдать сдвиг интерференционной картины на (7,0·10-16 с)/(1,8 · 10-15 с) ≈ 0,4 полосы. Заметить такой сдвиг им было совсем не трудно, т.к. их интерферометр позволял наблюдать сдвиг интерференционной постоянной на 0,01 полосы. О чем идет речь? О каких полосах? Однако Майкельсон и Морли не обнаружили выходящего за пределы ошибки эксперимента сдвига интерференционных полос. Они устанавливали свой интерферометр под различными углами к предполагаемому «эфирному ветру», проводили наблюдение днем и ночью, чтобы добиться различной ориентации относительно Солнца, в различное время года. Но ни разу сдвиг интерференционных полос обнаружен не был. Отрицательный результат эксперимента МайкельсонаМорли стал одной из величайших загадок физики конца XIX в. Были предложены различные гипотезы объяснения отрицательного результата опыта Майкельсона - Морли, но ни одна гипотеза не выдержала критики. В 90-х годах XIX в. независимо Дж. Ф. Фицджеральд и Г.А. Лоренц выдвинули гипотезу для объяснения отрицательного результата эксперимента МайкельсонаМорли, в которой утверждалось, что любой отрезок (в том числе и плечо интерферометра) в направлении движения через эфир сокращается в 1 v c 2 2 раз. По Лоренцу, причиной такого сокращения могло быть влияние эфира на силы взаимодействия между молекулами вещества, имевшие, по предположению, электрическую природу. Гипотеза Фицджеральда-Лоренца оказалась достаточно удачной, но впоследствии уступила место более универсальной теории, предложенной Альбертом Эйнштейном в 1905 г., – специальной теории относительности. Результат опыта Майкельсона-Морли показывает, что классический закон сложения скоростей имеет ограниченную область применения, он, в частности, не пригоден для описания явлений, связанных с распространением света (поскольку инвариантность скорости света в инерциальных системах отсчета есть твердо установленный экспериментальный факт). Но классический закон сложения скоростей является следствием преобразования Галилея; следовательно, и последние имеют ограниченную область применения. Возникла необходимость в критическом пересмотре тех идей, которые положены в основу этих преобразований. Лармор в 1889 г. доказал, что уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца. Очень близок был к созданию теории относительности Анри Пуанкаре. Но Альберт Эйнштейн был первым, кто четко и ясно сформулировал основные идеи теории относительности. 10.3. Принцип относительности Эйнштейна В 1905 г. в журнале "Анналы физики" вышла знаменитая статья А. Эйнштейн "К электродинамике движущихся тел", в которой была изложена специальная теория относительности (СТО). Потом было много статей и книг, поясняющих, разъясняющих, интерпретирующих эту теорию. Было бы неверно думать, что Эйнштейн создал свою теорию непосредственно под впечатлением отрицательного результата эксперимента Майкельсона Морли. Эйнштейн изучал теоретическую работу Лоренца и восхищался ею. Толчком к созданию специальной теории относительности послужили размышления Эйнштейна над некоторыми проблемами электромагнитной теории и теории света. Например, Эйнштейн задал себе вопрос: «Что я увидел бы, сидя верхом на световом луче?» Ответ состоял в том, что вместо бегущей электромагнитной волны он увидел бы стационарные электрические и магнитные поля, амплитуды которых изменялись бы в пространстве, но оставались бы неизменными во времени. Эйнштейн понимал, что такие поля невозможно обнаружить, и, кроме того, они были несовместимы с электромагнитной теорией Максвелла. (В третьем семестре нашего курса будет показано, что изменяющиеся по синусоидальному закону электрические и магнитные поля удовлетворяют уравнениям Максвелла только в том случае, если они распространяются со скоростью . 1 с ε0 μ0 , Статические синусоидальные поля (стоячие, или распространяющиеся с нулевой скоростью), а также поля, распространяющиеся с любой скоростью, отличной от с, не могут быть решениями уравнений Максвелла). Следовательно, заключил Эйнштейн, неверно думать, что скорость света относительно какого-то наблюдателя может оказаться равной нулю. т.е. электромагнитную волну нельзя остановить. Это утверждение стало вторым постулатом теории относительности Эйнштейна. Эйнштейн пришел к выводу, что обнаруженные им в электромагнитной теории противоречия обусловлены предположением о существовании абсолютного пространства. В знаменитой работе 1905 г. Эйнштейн предложил полностью отказаться от представления об эфире и от сопутствующего предположения о существовании абсолютно покоящейся системы отсчета. Эти предложения Эйнштейн сформулировал в виде двух постулатов. Первый постулат был обобщением принципа относительности Ньютона не только на законы механики, но и на законы остальной физики, включая электричество и магнетизм. Принцип относительности Эйнштейна представляет собой фундаментальный физический закон, согласно которому любой процесс протекает одинаково в изолированной материальной системе находящейся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Иначе говоря, законы физики имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета. В основе СТО лежат два постулата выдвинутых Эйнштейном. 1. Все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета (в том числе и время относительно). Уравнения, выражающие законы природы, инвариантны по отношению к любым инерциальным системам отсчета. Инвариантность – неизменность вида уравнения при переходе из одной системы отсчета в другую (при замене координат и времени одной системы – другими). 2. Скорость света в пустоте одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости источника и приемника света. Все как-то пытались объяснить отрицательный результат опыта Майкельсона-Морли, а Эйнштейн – постулировал это, как закон. В первом постулате главное, что время тоже относительно – такой же параметр, как и скорость, импульс, и т.д. Второй – возводит отрицательный результат опыта Майкельсона-Морли – в ранг закона природы: c = const. Специальная теория относительности представляет физическую теорию, изучающую пространственно временные закономерности, справедливые для любых физических процессов, когда можно пренебречь действием тяготения. СТО, опираясь на более совершенные данные, раскрывает новый взгляд на свойства пространства и времени, в рамках которых следует вести описание физических процессов. Эти свойства необходимо учитывать при скоростях движения близких к скорости света. 10.4. Преобразования Лоренца Так же как и в п. 8.1 рассмотрим две инерциальные системы отсчета (неподвижную и подвижную) k и k'. Пусть x, y, z, t координаты и время некоторого события в системе k, а x', y', z', t' координаты и время того же события в k'. Как связаны между собой эти координаты и время? Как мы уже говорили, в рамках классической теории при υ << с, эта связь устанавливается преобразованиями Галилея, в основе которых лежат представления об абсолютном пространстве и независимом времени. x = x' + υt; y = y'; z = z'; t = t' Из этих преобразований следует, что взаимодействия, в том числе и электромагнитные, должны передаваться с бесконечной скоростью с = ∞ и скорость движения сигнала в системе движения k отличается от скорости в системе k': (рис. 10.2). Лоренц установил связь между координатами и временем события в системах отсчета k и k' основываясь на тех экспериментальных фактах, что: 1. Все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны. 2. Скорость света в вакууме постоянна и конечна, во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости движения источника и наблюдателя. Таким образом, при больших скоростях движения сравнимых со скоростью света, Лоренц получил x x 'υt 1 β2 ; y y; x' где 1 β2 y y z z; υx' t ' 2 c t ; 1 β2 x υt z z t x 2 c t' , 2 1 υ β c Это и есть знаменитые преобразования Лоренца. (10.3.1) Истинный физический смысл этих формул был впервые установлен Эйнштейном в 1905 г. в СТО. В теории относительности время иногда называют четвертым измерением. Точнее говоря, величина ct, имеющая ту же размерность, что и x, y, z ведет себя как четвертая пространственная координата. В теории относительности ct и x проявляют себя с математической точки зрения себя сходным образом. Полученные уравнения связывают координаты и время в подвижной k' и неподвижной k системах отсчета. Отличие состоит только в знаке скорости υ, что и следовало ожидать, поскольку система k' движется относительно k слева направо со скоростью υ, но наблюдатель в системе k' видит систему k, движущуюся относительно него справа налево со скоростью (– υ). При малых скоростях движения υ << с или бесконечной скорости распространения взаимодействий (с = ∞) преобразования Лоренца переходят в преобразование Галилея (принцип соответствия). 10.5. Следствия из преобразований Лоренца 1) Одновременность событий в СТО По Ньютону если два события происходят одновременно, то это будет одновременно для любой системы отсчета (время абсолютно). Эйнштейн задумался, как доказать одновременность? Возьмем два источника света на Земле: А и В (рис. 10.4). Если свет встретится на середине АВ, то вспышки для человека находящегося на Земле, будут одновременны. Рис. 10.4 Но со стороны пролетающих мимо космонавтов со скоростью υ вспышки не будут казаться одновременными, т.к. с = const. Пусть в системе k (на Земле) в точках x1 и x2 происходят одновременно два события в момент времени t1 = t2 = t. Будут ли эти события одновременны в k' (в пролетающей мимо ракете)? Для определения координат в k' воспользуемся преобразованиями Лоренца x'1 x' 2 x1 υt ; (10.4.1) ; (10.4.2) 1 β2 x2 υt 1 β2 В соответствии с преобразованиями Лоренца для времени в системе k' получим: υx t t '1 1 2 c 1 β2 υx 2 t 2 c t '2 1 β2 (10.4.3) (10.4.5) Разница во времени будет зависеть от υ и она может отличаться по знаку (ракета подлетает с той или другой стороны). 2) Лоренцево сокращение длины (длина тел в разных системах отсчета) Рис. 10.5 Пусть (рис. 10.5) l0 = x'2 – x'1 – собственная длина тела в системе, относительно которого тело неподвижно (например: в ракете движущейся со скоростью υ с мимо неподвижной системы отсчета k (Земля)). Измерение координат x1 и x2 производим одновременно в системе k, т.е. t1 = t2 = t. Используя преобразования Лоренца, для координат получим: x' 2 x'1 x2 υt 2 x1 υt1 1 β2 x2 x1 1 β2 ; т.е. l0 l ; (10.4.6) l l0 1 β (10.4.7) 1 β 2 или 2 Формула (10.4.7) называется Лоренцевым сокращением длины. Собственная длина тела есть максимальная длина. Длина движущегося тела короче, чем покоящегося. Причем, сокращается только проекция на ось x, т.е. размер тела вдоль направления движения. 3) Замедление времени (длительность событий в разных системах отсчета) Пусть вспышка лампы на ракете длится τ = t'2 – t'1, где τ собственное время, измеренное наблюдателем, движущегося вместе с часами. Чему равна длительность вспышки с точки зрения человека находящегося на Земле мимо которого пролетает ракета (t2 – t1)? Так как x'1 = x'2, тогда из преобразований Лоренца: t 2 t1 или Δt t' 2 t'1 1 β 2 τ 1 β2 (10.4.8) Из этого уравнения следует, что собственное время минимально (движущиеся часы идут медленнее покоящихся). Таким образом, вспышка на Земле будет казаться длиннее. Этот вывод имеет множество экспериментальных подтверждений. Так, нестабильные элементарные частицы – пионы, рождающиеся в верхних слоях атмосферы на высоте 20 – 30 км при воздействии на нее космических лучей, имеют собственное время жизни τ ~ 2·10–6 с. За это время они могут пройти путь S = c·τ = 600 м. Но в результате того, что они двигаются с очень большими скоростями, сравнимыми со скоростью света, их время жизни увеличивается и они до своего распада способны достигать поверхности Земли. Отсюда следует вывод, что у движущихся пионов секунды «длиннее» земных секунд. В 60-70 гг. замедление времени наблюдалось не только с помощью нестабильных микрочастиц, но и проводились прямые измерения с использованием высокоточных часов, основанных на эффекте Мессбауэра. Двое таких часов показывают одно и то же время с точностью до 10–16 с. В 1971 г. Хафель и Китинг осуществили прямое измерение замедления времени, отправив 2 экземпляра часов на пучках цезия в кругосветное путешествие на реактивном самолете. Потом их показания сравнили с показаниями таких же часов, оставленных на Земле, в лаборатории ВМС США. Время запаздывания составило 27310–9 с, что в пределах ошибок согласуется с теорией. Это следствие из преобразования Лоренца объясняет известный всем "парадокс близнецов". 1) Сложение скоростей в релятивистской механике Пусть тело внутри космического корабля движется со скоростью υ' = 200000 км/с и сам корабль движется с такой же скоростью υ = 200000 км/с. Чему равна скорость тела относительно Земли υx? Используем для рассмотрения примера рисунок 8.1. Классическая механика ответит на этот вопрос просто: в соответствии с преобразованиями Галилея скорость тела относительно Земли будет: υx = υ' + υ = 4·105 км/с, что, конечно же противоречит положению СТО о том, что скорость света является предельной скоростью переноса информации, вещества и взаимодействий: с = 2,998·108 м/с. Теперь оценим скорость тела, используя преобразования Лоренца. Внутри корабля перемещение dx' за время dt' равно dx' = υ' dt'. Найдем dx и dt с точки зрения наблюдателя на Земле, исходя из υ' t 'υdt преобразований Лоренца: (8.4.9) dx 1 β 2 так как dy = dy'; υυ' dt ' dt ' 2 c ; dt 1 β2 dx Так как υ x , то dt dz =dz'; υx υ' dt 'υdt ' ; υυ' dt ' dt ' 2 c υ'υ0 υ ; υυ ' 1 2 c Эта формула выражает правило сложения скоростей в релятивистской кинематике. Подсчитаем скорость тела в нашем примере в соответствии полученной формулой: 5 5 2 10 2 10 5 υx 2,8 10 км/с 10 4 10 1 10 9 10 Полученный результат не противоречит положению СТО о предельности скорости света. При медленных движениях, когда (β << 1), получаем нерелятивистские формулы, соответствующие преобразованиям Галилея. cc Если движение происходит со скоростью света, то υ c 2 c 1 2 c Полученные формулы сложения скоростей запрещают движение со скоростью больше скорости света. Уравнения Лоренца преобразуют время и пространство так, что свет распространяется с одинаковой скоростью с точки зрения всех наблюдателей, независимо, двигаются они или покоятся. 10.6. Релятивистская механика Релятивистское выражение для импульса Найдем такое выражение для импульса, чтобы закон сохранения импульса был инвариантен к преобразованиям Лоренца при любых скоростях (как мы уже говорили, уравнения Ньютона не инвариантны к преобразованиям Лоренца и закон сохранения импульса в k выполняется, а в k' – нет). dr Ньютоновское выражение для импульса p mv m dt Или Вот это выражение надо сделать dx pm dt инвариантным. Это возможно если инвариантные величины. В выражении в него будут входить dx pm dt где m – постоянная величина – масса частицы в системе k (собственная масса частицы), инвариантная величина, dt – интервал времени по часам неподвижного наблюдателя. Если заменить его на dτ dt 1 β 2 – собственное время частицы, тоже инвариантная величина, то получим инвариантное выражение для импульса dx pm dτ Преобразуем это выражение с учетом того, что dt dτ 1 β2 pm dx / dt 1 β2 ; Или в векторной форме p mv 1 β 2 Это и есть релятивистское выражение для импульса. Из него следует, что никакое тело не может двигаться со скоростью большей или даже равной скорости света (при υ с знаменатель стремится к нулю, тогда: p , что невозможно в силу закона сохранения импульса). Релятивистское выражение для энергии По определению p – импульс релятивистской частицы, а скорость изменения импульса равна силе, действующей на частицу dp Работа силы по перемещению частицы идет на F . увеличение энергии частицы dt dp dA F, dr , dr dE dt После интегрирования этого выражения получим релятивистское выражение для энергии частицы: E mc2 1 β 2 где Е – полная энергия. При υ = 0, в системе координат, где частица покоится, выражение (8.5.4) преобразуется: 2 0 – энергия покоя частицы. Выражение (8.5.5) является инвариантным относительно преобразований Лоренца. Именно утверждение о том, что в покоящейся массе (материи) огромные запасы энергии, является главным практическим следствием С.Т.О. E0 – внутренняя энергия частицы (учитывающая все). Полная энергия в теории относительности складывается из энергии покоя и кинетической энергии (К). Тогда E mc 1 K E E0 mc 2 mc 2 1 1 β2 1 β2 mc 2 Справедливость теории проверяется принципом соответствия: при υ << с должно быть mυ 2 K 2 Получим еще одно очень важное соотношение, связывающее полную энергию с импульсом частицы.Из уравнения (8.5.3) получим p 2 2 2 p c υ 2 2 2 2 p m c p 2 m 2 mc c E 2 2 Подставив в (8.5.4) получим: mc 2 υ2 p 2c 2 1 2 1 2 2 c ( m c p 2 )c 2 2 2 2 2 4 Отсюда E c m c p или E p c m c Таким образом, получили инвариантное выражение связывающее энергию и импульс. 2 2 2 Измеренные в разных системах координат E и p будут разными, но их разность будет одинакова в любой системе координат. Изменяются при переходе из одной системы координат в другую лишь t,E, а m величина инвариантная. Скорость υ – имеет тот же смысл что и у Ньютона. 10.7. Взаимосвязь массы и энергии покоя Масса и энергия покоя связаны соотношением: E0 mc 2 из которой вытекает, что всякое изменение массы сопровождается изменением энергии покоя ΔE0. 2 m ΔE0 c Δm Это утверждение носит название закона взаимосвязи массы и энергии покоя и стало символом современной физики. Взаимосвязь между массой и энергией оценивалась А. Эйнштейном как самый значительный вывод специальной теории относительности. По выражению А. Эйнштейна, масса должна рассматриваться как «сосредоточение колоссального количества энергии». При этом масса в теории относительности не является более сохраняющейся величиной, а зависит от выбора системы отсчета и характера взаимодействия между частицами. Определим энергию, содержащуюся в 1 г. любого вещества, и сравним ее с 7000 калориями, получаемыми при сгорании 1 г угля ( 1 кал = 4,18 Дж). Согласно уравнению Эйнштейна Е = mc2 имеем 3 E0 10 кг 3 10 м/с 8 2 9 1013 Дж. Энергия, получаемая при сгорании 1 г угля, составляет 7000 кал х 4,18 Дж/кал = 2,9·104 Дж. Таким образом, собственная энергия в 3,1·108 раз превышает химическую энергию. Из этого примера видно, что если высвобождается лишь одна тысячная доля собственной энергии, то и это количество в миллионы раз больше того, что могут дать обычные источники энергии. Суммарная масса взаимодействующих частиц не сохраняется. Пример: Пусть две одинаковые по массе частицы m движутся с одинаковыми по модулю скоростями навстречу друг другу и абсолютно не упруго столкнутся. До соударения полная энергия каждой частицы Е равна: E mc2 Полная энергия образовавшейся 1 β 2 частицы (эта новая частица имеет скорость υ = 0). Из закона сохранения энергии 2mc2 Mc 2 откуда М равно: 1 β 2 M 2m 1 β 2 2m Таким образом сумма масс исходных частиц 2m, меньше массы образовавшейся частицы М! В этом примере, кинетическая энергия частиц превратилась в эквивалентное количество энергии покоя, а это привело к возрастанию массы ΔK ΔM c2 (это при отсутствии выделения энергии при соударении частиц). Выражение "масса покоя" можно употребить как синоним "энергия покоя". Пусть система (ядро) состоит из N частиц с массами m1, m2…mi. Ядро не будет распадаться на отдельные частицы, если они связаны друг с другом. Эту связь можно охарактеризовать энергией связи Eсв.. Энергия связи – энергия которую нужно затратить, чтобы разорвать связь между частицами и разнести их на расстояние при котором взаимодействием частиц друг с другом можно пренебречь. N Eсв. c 2 mi Mc 2 c 2 ΔM , i 1 где ΔМ = (m1 + m2 + …+ mi) – M; ΔМ – дефект массы. Видно, что Есв. будет положительна, если М < m Это и наблюдается на опыте. При слиянии частиц энергия связи высвобождается (часто в виде электромагнитного излучения). Например ядро U238 имеет энергию связи Wсв. = 2,910–10 Дж 1,8109 эВ = 1,8 ГэВ. N Ядерные реакции Ядерной реакцией называется процесс взаимодействия атомного ядра с элементарной частицей или другим ядром, приводящий к преобразованию исходного ядра. Например: 7 3 Li H He He. 1 1 4 2 4 2 Это реакция взаимодействия протона с ядром лития. Реакция протекает с выделением энергии.В ядерной энергетике большой практический интерес имеют реакции с участием нейтронов, в 235 частности, реакция деления ядер 92 U : 235U 1n 95Y 139I 2 1 n . 92 0 235 39 53 0 Реакция протекает при захвате ядрами медленных 92 U нейтронов. Ядра иттрия и йода – это осколки деления. Ими могут быть и другие ядра. Характерно, что в каждом акте деления возникает 2 – 3 нейтрона, которые могут вызвать деление других ядер урана, причем, также с испусканием нейтронов. В результате количество делящихся ядер стремительно нарастает. Возникает цепная ядерная реакция с выделением большого количества энергии. Устройство, в котором поддерживается управляемая реакция деления атомных ядер, называется ядерным реактором. Его основные элементы: ядерное топливо, замедлитель нейтронов, теплоноситель для отвода тепла и устройство для регулирования скорости реакции. Термоядерные реакции Термоядерные реакции – это реакции синтеза легких ядер, протекающие при очень высоких температурах. Высокие температуры необходимы для сообщения ядрам энергии, достаточной для того, чтобы сблизиться до расстояния, сравнимого с радиусом действия ядерных сил (10–15 м). Энергия, выделяющаяся в процессе термоядерных реакций в расчете на один нуклон, существенно превышает удельную энергию, выделяющуюся в процессе реакций деления тяжелых ядер. Так, при синтезе тяжелого водорода – дейтерия со сверхтяжелым изотопом водорода – тритием выделяется энергия около 3,5 МэВ на один нуклон, в то время как в процессе деления ядер урана выделяется примерно 0,85 МэВ энергии на один нуклон. Термоядерная реакция синтеза дейтерия с тритием: 2 1 H 13H 24 He 24He 01n 17,6 МэВ наиболее перспективна в плане получения практически неисчерпаемого источника энергии. Однако осуществление такой реакции в управляемом режиме, равно как и других реакций синтеза, в настоящее время является пока проблемной задачей, хотя успехи в этом направлении несомненны. В настоящее время уже получена плазма, температура которой порядка 2·108 К, а время удержания не менее 2 с при выделяемой мощности до 2 МВт. Есть надежда, что термоядерный реактор практического применения будет создан уже в первой четверти XXI века. Выделяется в виде энергии не более 0,1 % массы вещества. Полностью энергия покоя выделяется только при аннигиляции. Рассмотрим пример с высвобождением всей энергии из массы покоя при аннигиляции электрона и позитрона (Рис. 8.6). Позитрон – это электрон с положительным зарядом. При столкновении электрона и позитрона они аннигилируют друг с другом и превращаются в два фотона. (Фотон – это квант электромагнитного излучения). В этом случае энергия покоя 2mеc2 полностью переходит в энергию электромагнитного излучения (me – масса покоя электрона). Сегодня: воскресенье, 8 мая 2016 г. Лекция окончена. До свидания! УРА! УРА! УРА!
