модели с фиксированными эффектами

ЛЕКЦИЯ 2
МОДЕЛИ С
ФИКСИРОВАННЫМИ
ЭФФЕКТАМИ
Линейная модель
панельных данных
Линейная модель панельных
данных
Линейная панельная модель
yit  xitT   uit
i – индекс объекта, t – индекс момента времени, β – вектор коэффициентов
регрессии, xitT – транспонированный вектор наблюдений над k
независимыми переменными.
 x1it 
 
xit   ... 
x 
 kit 
Однонаправленная модель ошибки:
 1 
 
   ... 
 
 k
uit  i  it
μi – ненаблюдаемые индивидуальные эффекты, υit – остаточные
идиосинкратические компоненты.
Двунаправленная модель ошибки:
uit  i  t  it
λi – ненаблюдаемые временные эффекты.
2.3. Линейная модель панельных
данных

Предполагается, что μi, λi и υit являются
независимыми одинаково распределенными
величинами с нулевой средней и постоянной
дисперсией σμ2, σλ2 и συ2 соответственно.

Индивидуальные и временные эффекты могут
трактоваться как фиксированные или как
случайные. В первом случае оценивается модель с
фиксированными эффектами, во втором случае
оценивается модель со случайными эффектами.
Модели с фиксированными
эффектами
1.
2.
Однонаправленная модель с
фиксированными эффектами
Двунаправленная модель с
фиксированными эффектами
Однонаправленная модель с
фиксированными эффектами. Постановка.
В модели индивидуальные эффекты μi предполагаются фиксированными
неизвестными параметрами, поэтому в ошибке остается только
идиосинкратическая компонента. Пусть i=1,…,n, t=1,…,T, υit ~ (0, συ2)
yit  d it i  xitT   it
i
1, для объекта
d it  
0, для других объектов
В сумме все фиктивные переменные повторяют константу, поэтому в
необходимо избавляться либо от константы, либо от одного
индивидуального эффекта
Однонаправленная модель с
фиксированными эффектами. Постановка.
Модель в векторной форме
Для i-го объекта:
 yi1 
 
yi   ... 
y 
 iT 
yi  iT i  X i   i
 xiT1 
 i1 
 
 
X i   ...  i   ... 
 xT 
 
iT
 iT 
 
Модель в матричной форме:
 y1 
 
y   ... 
y 
 n
 X1 
 
X   ... 
X 
 n
 1 
 
   ... 
 
 n
1
 
iT   ...
1
 
y  D  X  
 iT 0

 0 iT
D
... ...

0 0



0

... ... 

0 ... iT 
0
 1 
 
   ... 
 
 n
Однонаправленная модель с
фиксированными эффектами. Постановка.
По предположению υit не зависят от регрессоров и υit ~ (0, συ2)
независимые одинаково распределенные величины,
следовательно ковариационная матрица ошибок имеет
идеальную структуру. В данном случае оценки метода
наименьших квадратов β и μ будут несмещенными и
эффективными.
Необходимым техническим условием является, чтобы матрица
(DX) имела полный ранг (n+k). Это означает, что:
 матрица X не должна включать константу;
 матрица X не должна содержать переменные неменяющиеся
во времени;
 T должно быть не меньше 2, чтобы индивидуальные эффекты
были идентифицируемы.
Однонаправленная модель с фиксированными
эффектами. Частная регрессия.
Пусть необходимо оценить следующую регрессию, в
которой нас интересуют только оценки β2
y  x1 1  x2  2  e
ˆOLS  ( X T X )1 X T y
 1 
   
 2 
X  x1 , x2 
Следовательно
 x1T x1
 T
x x
 2 1
Отсюда
x x2 

x x2 
T
1
T
2
1
 x1T y   ˆ1 
 T  
 x y   ˆ 
 2   2
 x1T x1
 T
x x
 2 1
 x1T 
X   T 
 x2 
T
x1T x2   ˆ1   x1T y 
    T 
T
x2 x2   ˆ2   x2 y 
ˆ1  ( x1T x1 ) 1 x1T y  ( x1T x1 ) 1 x1T x2T ˆ2  ( x1T x1 ) 1 x1T ( y  x2T ˆ2 )
Однонаправленная модель с фиксированными
эффектами. Частная регрессия.
Подставим
ˆ1
во второе уравнение
x2T x1 ( x1T x1 ) 1 x1T y  x2T x1 ( x1T x1 ) 1 x1T x2 ˆ2  x2T x2 ˆ2  x2T y
 
   x I  x x x  x y  x M x  x M y
I – единичная матрица и M  I  x x x  x
ˆ2  x2T I  x1 x1T x1  x1T x2
1
1
T
2
1
1 T
T
1 1
1
1
1
T
2
1
1 2
T
2
1
1
T
1 1
Матрица M1∙является: 1) симметричной ( M1T  M1 ) и
2) идемпотентной ( M 12  M 1 ).
Доказательство:
T
T
1. M1  I  P P  x1 x1T x1 1 x1T PT  x1 x1T x1 1 x1T   x1T T x1T x1 1  x1T  x1 x1T x1 1 x1T 
M1T  I T  PT  I  P  M1
2.

P 2  x1 x1T x1

1

x1T  x1 x1T x1

1

x1T  x1 x1T x1

1
x1T  P
M12  ( I  P) 2  I 2  2IP  P 2  I  P  M1
Однонаправленная модель с фиксированными
эффектами. Частная регрессия.
Матрицы M1 и P - проекционные матрицы

Py  x1 x1T x1

1
x1T y  x1  yˆ
Px1  x1
M 1 y  y  yˆ  eˆ y
M1 x1  0
M1∙y – вектор остатков регрессии y на x1
M1∙x2 – матрица остатков регрессии x2 на x1
Пусть x2*=M1∙x2 и y*=M1∙y.
Тогда
ˆ2  x2T M1 x2  x2T M1 y   x2T M1M1 x2  x2T M12 y   x2*T x2*  x2*T y*
1
1
1
Однонаправленная модель с фиксированными
эффектами. Частная регрессия.
Теорема Фриша-Во-Ловелла. Подвектор ˆ2 - это коэффициенты
регрессии, в которой остатки регрессии y на x1 регрессируют на
множество остатков регрессии каждого столбца матрицы x2 на
x 1.
Применяется следующий алгоритм:
1.
Строится регрессия y на x1 и оцениваются остатки ê y
2.
Строится регрессия x2 на x1 и оцениваются остатки eˆx
3.
Строится регрессия ê y на eˆx и оцениваются коэффициенты ˆ2
и остатки ê , которые будут равны коэффициентам и остаткам
исходной регрессии.
Оценкой ˆ1 является
оценка метода наименьших квадратов
T ˆ
регрессии y  x2  2 на x1.
2
2
Следствие. Если x1 – константа, то ˆ2 можно получить из
регрессии y  y на x  x , при этом ˆ1  y  x2T ˆ2
Однонаправленная модель с фиксированными
эффектами. Оценка.
Избавимся от индивидуальных фиктивных эффектов
y  D  X  
Определим две проекционные матрицы
P  D( DT D) 1 DT
Запишем
Q  I nt  P
D  I niT
Произведение Кронекера имеет следующие свойства:
 a11B ... a1k B 


A B   

 
nk
ml
 a B ... a B 
nk 
 n1
 A  B 1  A1  B 1
 A  B T
 AT  BT
A  BC  D  AC  BD
Однонаправленная модель с фиксированными
эффектами. Оценка.
D  I niT

D D  In  i
T
Следовательно
T
T
I
P
n

 iT  I n  i i  I n  T  TIn
T
T T
1
1
1
T
DD T  I n  iT I n  iT   I n  J T
T
T
T
D D 
T
1

1
In
T
1 1 ... 1


J T  iT iTT       
1 1 ... 1


Где
Отсюда P  DDT D 1 DT  1 I n  J T
T
Q  I nT  P  I nT 
1
I n  JT
T
В соответствии с теоремой Фриша-Во-Ловелла регрессируем остатки регрессии y на D
на остатки регрессии x на D

ˆ  QX T QX

1
QX T QY  X T QX 1 X T Q
Fixed Effects Least Squares, FE; Least Squares Dummy Variables, LSDV; Within – estimation
Однонаправленная модель с фиксированными
эффектами. Оценка.
Оценка β является OLS-оценкой на преобразованных данных,
преобразование заключается в умножении матрицы X и вектора Y на
матрицу Q  I nT  1 I n  J T
T
Преобразование состоит в вычитании среднего значения по времени из
T
каждого наблюдения yit  yit  1  yit  yit  yi
T
t 1
Оценивается следующая система:
где
1 T
yi   yit
T t 1
1 T
xi   xit
T t 1
yit  yi  xit  xi   it  
1 T
i    it
T t 1
Оценки μ равны оценкам метода наименьших квадратов в регрессии
разности y  X̂ на индивидуальные фиктивные переменные
ˆ  DT D  DT ( y  Xˆ ) , так как
1
D D 
T
1

1
In ,
T
то ˆ i  yi  xiT ˆ
Однонаправленная модель с фиксированными
эффектами. Свойства оценок.
Дисперсия оценки равна
ˆ2 

Var ( ˆ )   2 X T QX

RSS
nT  n  k

1
RSS  y T Qy  y T Qx xT Qx

1
xT Qy
Асимптотические свойства оценок при n   и
фиксированном T различные. Оценки ˆ j являются
асимптотически нормальными и состоятельными, т.е.
ˆ 
 
n
ˆ j   (j 0)
se ( ˆ j )

 N (0,1)
n 
Следовательно, можно проводить стандартное
тестирование в отношении этих оценок.
Оценки же  i несостоятельны. Причина в том, что их
количество растет пропорционально n.
Однонаправленная модель с фиксированными
эффектами. Тестирование.
Нулевая гипотеза H 0 : 1  2  ......  n  0
RSS  RSS  n  1
F
F

Пусть  it ~ N 0,  , тогда
~
,
RSS nT  n  k 
где RSSr – сумма квадратов остатков в регрессии
без индивидуальных эффектов
r
n 1,nT  n  k
2

yit    xitT   it
Асимптотический тест Вальда в данном случае
невозможен
Двунаправленная модель с фиксированными
эффектами. Постановка.
В двунаправленной модели ошибка включает наряду с
индивидуальными временные эффекты:
uit  i  t  it
yit    i  t  xitT   it
где i=1,…,n, t=1,…,T, υit ~ (0, συ2) независимые одинаково
распределенные величины.
В этой модели константа дублируется дважды: как сумма
всех μi как сумма всех λt.
Пусть n  0
и
T  0
Двунаправленная модель с фиксированными
эффектами. Постановка.
Матричная запись
 1 


   
 
 n1 
y    inT  D   D   X  
 1 


   
 
 T 1 
 iT 0

 0 iT
D  
... ...

0 0

0 ... 0 

0 ... 0 
... ... iT 

0 ... 0 
I T 1




 0 ... 0 
D   ... ... ... 


I T 1


 0 ... 0 


Благодаря предположению о структуре ошибок, метод наименьших квадратов
будет давать несмещенную и эффективную оценку.
Необходимым условием получения оценки является равенство ранга матрицы
регрессоров (n+T-1+k). Это означает, что:
матрица X не должна содержать переменные неменяющиеся во времени;
матрица X не должна содержать переменные общие для всех объектов в
каждый отдельный момент времени
Если эти условия выполнены, то модель можно оценивать методом наименьших
квадратов, но можно применить и метод частных регрессий.
Двунаправленная модель с фиксированными
эффектами. Оценка.
D  inT D D 
Пусть

P  D DT D

1
DT  I n 
1
1
1
JT  J n I T 
J nT
T
n
nT
Q  I nT  P
По теореме Фриша-Во-Ловелла
ˆ  (QX )T QX  (QX )T Qy  X T QX  X T Qy
1
1
Т.о. оценка ˆ является оценкой МНК на данных, преобразованных с
помощью матрицы Q, уравнения модифицируются:
yit  yi  yt  y  ( xit  xi  xt  x )T   it  i  t  
1 T
yi   yit
T t 1
1 T
xi   xit
T t 1
1
y
nT
T
n
 y
t 1 i 1
1 n
yt   yit
n i 1
1 T
i    it
T t 1
it
1
x
nT
T
n
 x
t 1 i 1
it
1 n
xt   xit
n i1
1
 
nT
T
1 n
t  it
n i1
n

t 1 i 1
it
Двунаправленная модель с фиксированными
эффектами. Свойства оценок.
Дисперсия оценки равна
ˆ2 
RSS
nT  n  k  T  1


Var ˆ   2 X T QX

1

RSS  yT Qy  yT Qx xT Qx

1
xT Qy
Асимптотически оценка ˆ является состоятельной и нормальной при
фиксированном T и n   .
Оценки индивидуальных эффектов при n   и фиксированном T
являются несостоятельными, так как их количество растет
пропорционально размеру выборки.
Оценки временных эффектов при n   и фиксированном T могут
быть состоятельными относительно друг друга. Но так как они
связаны с несостоятельными оценками индивидуальных эффектов
через константу, то их свойства страдают тоже.
Оценками константы, индивидуальных эффектов и временных эффектов
можно пользоваться как состоятельными при n   и T   .
Двунаправленная модель с фиксированными
эффектами. Тестирование.
1. Тестирование на отсутствие индивидуальных и
временных эффектов
H 0 : 1   2  ......   n1  1  2  ......  T 1  0
Пусть  it ~ N 0,    , тогда F  RSS  RSS  n  T  2 ~ FnT 2,nT nk T 1 где
RSS nT  n  k  T  1
r
RSS – сумма квадратов остатков в регрессии без
T
y



x
it    it
индивидуальных и временных эффектов it
Асимптотический тест невозможен
2. Тестирование на отсутствие индивидуальных эффектов
r
2
F
RSS

 RSS n  1
RSS nT  n  k  T  1
r
H 0 : 1   2  ......   n1  0
~
Fn1,nT nk T 1 ,
где
RSSr
из
yit    t  xitT   it
Двунаправленная модель с фиксированными
эффектами. Тестирование.
3. Тестирование на отсутствие временных эффектов
H 0 : 1  2  ......  T 1  0
F
RSS

 RSS T  1
RSS nT  n  k  T  1
r
~
FT 1,nT nk T 1
где RSSr – сумма квадратов остатков в панельной регрессии
с фиксированными индивидуальными эффектами
yit    i  xitT   it
В этом случае возможен асимптотический тест, так как
число ограничений T-1 фиксировано при фиксированном
T и n   . Статистика Вальда W  T  1F  T21