Элементарная теория удара

Глава 7
Элементарная теория удара
§ 1. Основные понятия теории удара
§ 2. Действие ударной силы на материальную точку
§ 3. Теорема об изменении количества движения
механической системы при ударе
§ 4. Теорема об изменении главного момента
количеств движения при ударе (Теорема
моментов)
§ 5. Прямой центральный удар шара о неподвижную
поверхность
§ 1. Основные понятия теории удара
Явление, при котором за ничтожно малый промежуток
времени скорости точек тела меняются на конечную
величину, называется ударом
Мгновенной или ударной называют силу, которая
действует в течение малого промежутка времени, но
достигает таких больших значений, что её импульс за
это время становится конечной величиной
 
( 1 ) S   Fdt

F- ударная
 сила, - время удара
S - ударный импульс
0
По теореме о среднем
 
S  Fср ; S  Fср

Поскольку S - конечная
Fср

величина, то
F
1

A

vA

vB
Пусть соударяются два тела:
vA > vB , тела движутся
поступательно
B
Линия удара - это общая нормаль к поверхностям
соударяющихся тел в точке соприкосновения
Удар называют центральным, если центры масс
соударяющихся тел лежат на линии удара
Центральный удар называется прямым, если скорости
центров масс соударяющихся тел в начале удара
направлены по линии удара
Рассмотрим подробнее процесс удара. Пусть A, B абсолютно гладкие тела, удар прямой, центральный.
После соприкосновения оба тела деформируются, vB увеличивается, vA - уменьшается. Процесс деформации
заканчивается, когда vA= vB
Эта часть явления удара называется фазой деформации
Время этой фазы

F


F  F

F
Ударный импульс


S 1  S 1
1
 1 
S 1   Fdt
0


 - ударный импульс F )
( S1
После деформации тела восстанавливают свою форму
целиком или частично. Это фаза восстановления

Время этой фазы - 2 . Фаза заканчивается в момент
отделения тел друг от друга
 2 
S 2   Fdt
1
  1  2 - продолжительность удара
Упругость соударяющихся тел оценивается по
отношению ударного импульса за фазу восстановления
к ударному импульсу за фазу деформации
S2
k
S1
K - коэффициент восстановления, определяется
опытным путем
k 0 S 2 0 - фаза восстановления отсутствует
(абсолютно неупругий удар)
k1
- абсолютно упругий удар
0 < k < 1 - упругий удар
§ 2. Действие ударной силы на
материальную точку

Пусть на точку действует конечная сила Fk и F 
ударная сила. Времядействия ударной силы - . v скорость до удара, u - скорость после удара
По теореме об изменении количества движения точки
   
mumv   Fdt   Fk dt
0
0

импульс
S
- ударный
импульс
конечной
силы
  ср
S k  Fk 
по теореме о среднем
малой величиной
можно пренебречь


  (2)
m u m v  S
Изменение количества движения точки за время удара
равно ударному импульсу, приложенному к точке.
(2) – основное уравнение динамики точки при ударе,

  1 
uv  S
m
(в этой формуле все величины конечные)
M

A Fk

S

mv
B

F

mu
D
В результате действия
ударной силы резко
меняется траектория
движения ABD

s  vdt
0
- расстояние, пройденное за время удара,
sv ср  s0
Выводы
1. Действием конечных сил за время удара можно
пренебречь
2. Перемещением точки за время действия ударных сил
можно пренебречь
3. Действие ударных сил на точку выражается в быстром
изменении величины и направления скорости
§ 3. Теорема об изменении количества
движения механической системы при
ударе
Для механической системы, состоящей из n
материальных точек,на которую действуют как
конечные, так и ударные силы, справедливо
 
 e
QQ0  S k
(3)
k
Изменение количества движения механической системы
за время удара равно сумме всех внешних ударных
импульсов, действующих на систему
В проекциях:
Если
 
 e
Q x Q0 x  S k x
k 
 
e
Q y Q0 y  S k y
k 
 
e
Qz Q0 z  S k z
 e
 S k 0
, то
 k
Q Q0.
k
Вывод: Внутренние ударные импульсы не могут
изменить количество движения системы




Если Q  Muc и Q0  Mv c , то
 e


Muc  Mv c  S k - определяет изменение скорости
k
центра масс при ударе
§ 4. Теорема об изменении главного
момента количеств движения при ударе
(Теорема моментов)
Рассмотрим систему из n материальных точек
 e
S k - равнодействующая внешних ударных импульсов
 i
S k - равнодействующая внутренних ударных импульсов,
действующих на каждую точку,
 
 i


e
mk uk mk v k  S k  S k
Векторы приложены к точке, которая за время удара не
перемещается, тогда, по теореме Вариньона,




  e   i
m0 ( mk uk )m0 ( mk v k )m0 ( S k )m0 ( S k )
Теперь просуммируем




m0 ( m k uk )m0 ( m k v k )
  e
  i
m0 ( S k )m0 ( S k )



  e
K 0 2  K 0 1 m0 ( S k )
Изменение за время удара кинетического момента
системы относительно какого-либо центра равно сумме
моментов относительно того же центра всех
действующих на систему внешних ударных импульсов
В проекциях:
 e



K 0 2 x  K 0 1 x m0 x ( S k )
 e



K 0 2 y  K 0 1 y m0 y ( S k )
 e



K 0 2 z  K 0 1 z m0 z ( S k )
Внутренние ударные импульсы не меняют кинетический
момент системы
§ 5. Прямой центральный удар шара о
неподвижную поверхность
n
Масса шара – M

N

Реакция плиты – N

Согласно теореме об изменении количества движения,
 

  (4)
QQ0  S  Mu Mv  S
 - скорость до удара; u - скорость после удара
v
Проектируем на нормаль:
Т.к. удар прямой и
Mu Mv  S

un u v n  v S n  S, то
(5 )
0  Mv  S 1 ; Mu0  S 2

S2 u
k 
S1 v
Поскольку
Mun  Mv n  S n
S 1 - ударный импульс за
фазу деформации
S 2 - ударный импульс за
фазу восстановления
 S  M ( v  kv ); S  Mv ( k 1 )
v 2 gh
и
u 2 gh1
,то
h1
k
h