Учащимся 8-9 классов

Учащимся 8-9 классов
В.В. Мендель,
к.ф.-м.н.,
доцент
кафедры
математики ГОУ ВПО ДВГГУ
РЕШАЕМ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ
П.1. Рассуждение о легких и трудных операциях
Решение задач на построение циркулем и линейкой – полезное
времяпровождение, позволяющее по-новому посмотреть на известные свойства
геометрических фигур и их элементов. Известно много методов решения таких
задач, например:
- метод геометрических мест (находят линии (прямые, окружности), которым
принадлежат некоторые ключевые точки, например – вершины многоугольника, а
сами точки определяют как пересечение таких линий);
- алгебраический метод (неизвестная величина представляется как корень
некоторого уравнения с известными коэффициентами, поэтому она выражается в
виде формулы через известные величины, например – через длины данных
отрезков),
- метод дополнительного построения (часто задачу можно решить, например,
достроив данный треугольник до параллелограмма),
- метод преобразований (например, сначала строится фигура – подобная данной, а
потом уже строится искомая фигура).
В данной статье мы несколько изменим точку зрения на метод решения,
исходя из сложности выполнения той или иной операции инструментами
(циркулем или линейкой). Вначале укажем те элементарные операции, которые
используются при построении чертежа:
О1. Через две отмеченных на плоскости точки провести прямую линию
(выполняем с помощью линейки).
О2. На данной прямой от заданной точки отложить отрезок, равный заданному
(выполняем с помощью циркуля, устанавливаем конец одной ножки циркуля в
первый конец того отрезка, который нужно отложить, раздвигаем или сдвигаем
вторую ножку циркуля так, чтобы ее конец совпал со вторым концом отрезка,
далее, устанавливаем иголку циркуля в ту точку, от которой нужно отложить
отрезок, делаем «засечку» на прямой с помощью циркуля).
О3. Построить окружность с центром в заданной точке и радиусом, равным
заданному отрезку (с помощью циркуля).
Любой из тех, кому довелось пользоваться чертежными инструментами,
согласится, что труднее всего аккуратно и точно выполнить операцию О3.
Действительно, особенно, если строится окружность большого радиуса, то циркуль
соскакивает, то ножки у него разъезжаются, поэтому вместо окружности
получается какая-то спираль. А ведь строить полную окружность приходится
довольно часто. В результате, имея теоретически правильный алгоритм можно
получить неправильный или некрасивый чертеж.
Поставим перед собой цель – минимизировать число построений полной
окружности (т.е. число операций О3) в алгоритме решения задачи на построение.
При этом мы не будем себя ограничивать в количестве простых операций О1 и О3.
П2. Строим параллельную прямую
Рассмотрим следующую стандартную задачу.
Задача 1. Через данную точку М плоскости провести прямую l1 , параллельную
заданной прямой l.
Замечание. Мы будем строить «правильную» параллельную прямую, простое
передвижение линейки по листу бумаги нас не устроит!
Решение этой задачи основано на
известном признаке параллелограмма.
Утверждение 1. Выпуклый четырехугольник
является параллелограммом тогда и только
тогда, когда обе его диагонали в точке
пересечения делятся пополам.
Решение задачи 1.
1. На прямой l отметим некоторую точку E.
2. Проведем некоторую вспомогательную прямую (см. верхнюю часть чертежа) и
дважды последовательно отложим на ней отрезок r (длина r выбирается так, чтобы
расстояние от точки А до прямой l было меньше 2r).
3. С помощью циркуля, но не строя всю окружность, а только сделав «засечку»,
найдем точку В (это точка пересечения окружности с центром в точке А и
радиусом 2r и прямой l.
4. На отрезке АВ отложим отрезок АF, равный r.
5. Проведем прямую EF.
6. На этой прямой отложим отрезок FG=FE.
7. Построим прямую AG.
Из полученного чертежа видно, что отрезки AB и EG пересекаются в точке F
и делятся в ней пополам. В силу утверждения 1 тогда четырехугольник AEBG –
параллелограмм, поэтому AG||EB. То есть AG – искомая
прямая l1 .
П.3. Делим отрезок пополам
Задача 2. Разделить отрезок пополам, избегая операции
О3.
Новое решение этой стандартной задачи основано на
известном свойстве средней линии треугольника.
Утверждение 2. Отрезок, проходящий через середины двух сторон треугольника
параллелен третьей стороне.
Решение задачи 2. 1. Проведем через один из концов отрезка a (например, через
точку А) произвольный луч АС.
2. На этом луче последовательно отложим отрезки
АО и ОС, равные отрезку a (построение О2).
3. Проведем прямую ВС (построение О1).
4. Через точку О проведем прямую l, параллельную
прямой ВС (используем метод задачи 1).
5. Точка М, являющаяся пересечением прямых АВ
и l – искомая середина отрезка.
П.4. Делим отрезок в заданном отношении
Задача 3. Даны три отрезка a , b и c . На отрезке
АВ, равном a , найти точку М, такую, что АМ:МВ
как b : c .
Метод решения
этой
задачи
основан на свойстве параллельных секущих угла,
которое является частным случаем теоремы
Фалеса.
Утверждение 3. l1 || l2 тогда и только тогда,
когда m1 : n1  m2 : n2 .
Решение задачи 3. 1. Строим отрезок АВ= a .
2. Через точку А проводим произвольный луч AS.
3. На луче AS последовательно откладываем
отрезки АО= b и ОС= c .
4. Проводим прямую ВС.
5. Через точку О проводим прямую l,
параллельную ВС.
6. Пересечение прямой l и отрезка АВ и есть
искомая точка М.
П.5. Среднее арифметическое двух отрезков
Задача 4. Даны отрезки a и b , построить отрезок, длина которого равна


полусумме длин этих отрезков  c 
ab
.
2 
Решение. 1. На некоторой прямой от данной точки А отложим отрезки АВ= a и
ВС= b .
2. Делим отрезок АС пополам (смотри задачу 2), М – середина АС. Очевидно, что
АМ – искомый отрезок.
П.6. Среднее геометрическое двух отрезков
Средним геометрическим двух положительных чисел a и b , называют
число c  a  b . Соответственно, средним геометрическим двух отрезков называют
такой отрезок, длина которого равна корню квадратному из произведения длин
этих отрезков.
Задача 5. Построить среднее геометрическое двух данных отрезков.
Рассмотрим одно геометрическое свойство, с помощью которого можно
построить среднее геометрическое. Пусть АВС – прямоугольный треугольник
(угол С – прямой). Далее пусть CD – высота, опущенная на гипотенузу из вершины
прямого угла. Из подобия прямоугольных треугольников ACD и CBD следует, что
CD
AD
. Следовательно, CD 2  AD  BD .

BD
CD
Поэтому CD  AD  BD .
Решение задачи 5.
1. Построим произвольную прямую и
последовательно отложим на ней отрезки
АD= a и DС= b .
2. Построим середину О отрезка АВ.
3. Как бы этого не хотелось, но построим
окружность с центром в точке О и радиусом
АО.
4. Через точку D проведем прямую l,
перпендикулярную отрезку АВ.
5. Обозначим через C точку пересечения
окружности и l.
CD – искомый отрезок, равный
среднему геометрическому. Действительно,
так как точка С лежит на окружности с
диаметром АВ, угол АСВ – прямой, то есть треугольник АВС – прямоугольный.
СD – его высота по построению. Из рассмотренного выше свойства следует, что
CD  AD  BD , то есть c  a  b .
Контрольная работа №2 для учащихся 8 и 9 классов
Приведенные ниже задания являются контрольной работой №2 для учащихся 8 и 9
классов. Каждая задача оценивается в 7 баллов, для зачета нужно набрать не
менее 20 баллов.
Правила оформления работ:
Решения по каждому предмету оформляется отдельно. Каждое задание имеет
свой шифр (М8.2.1 и т.д.), который указывается перед записью решения.
Переписывать текст задачи не надо, достаточно краткой записи, если это
необходимо. Оформлять решения в порядке следования заданий. Можно
присылать нам столько решений, сколько удалось вам сделать, даже если
оказалось невозможным выполнить всю работу.
Внимание!!! В этой контрольной работе вам придется делать чертежи. Лучше
всего использовать специальную чертежную бумагу формата А4 (такая бумага
есть в специальных папках для черчения). Все выполненные чертежи перегните
пополам, добавьте к ним обложку, на которой укажите все необходимые данные
и скрепите скрепкосшивателем. Не забудьте на листах с чертежами сделать
необходимые пояснения.
Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ (ХКЗФМШ).
Подробнее познакомиться со школой, ее традициями можно на нашем сайте:
www.khspu.ru/~khpms/. Там же, на форуме, можно проконсультироваться по
вопросам, связанным с решением задач (и не только).
М. 8-9.2.1.
М. 8-9.2.2.
М. 8-9.2.3.
М. 8-9.2.4.
М. 8-9.2.5.
Выполнить построения к задаче 1.
Выполнить построения к задаче 2.
Выполнить построения к задаче 3.
Выполнить построения к задаче 4.
Выполнить построения к задаче 5.
PS. В заключение отметим, что главной целью данной статьи было повторить
некоторые замечательные свойства и теоремы геометрии, а задачи на построение –
только повод для этого .