Логика как наука

Логика
Логика (от греч. Logos – слово, понятие,
рассуждение, разум) – наука формах и
способах мышления
Логика – одна из древнейших наук.
Её
основателем
считается
величайший
древнегреческий
философ Аристотель, который
первым систематизировал формы
и
правила
мышления,
обстоятельно
исследовал
категории
«понятие»
и
«суждение», подробно разработал
теорию
умозаключений
и
доказательств,
описал
ряд
логических
операций,
сформулировал основные законы
мышления.
Формы человеческого мышления
Предметом исследования науки логики
является
человеческое
мышление.
Мышление всегда осуществляется в какихто формах. В логике выделяют следующие
формы мышления: понятие, суждение,
умозаключение.
Понятие – форма мышления, фиксирующая
основные, существенные признаки объектов.
Примеры понятий: апельсин, трапеция, белизна, река Нил,
ураганный ветер, студент медицинского института.
Существенными называются такие признаки, каждый из
которых, взятый отдельно, необходим, а все вместе
достаточны, чтобы с их помощью отличить (выделить)
данный предмет (явление) от всех остальных и сделать
обобщение, объединив однородные предметы в множество.
Например, признаками понятия апельсин являются: круглый,
оранжевый, упругий, сладкий, ароматный. Можно ли по этим
признакам отличить апельсин от неапельсина? По ним легко
отличить апельсин от яблока, но нельзя отличить апельсин от
мандарина. Поэтому для точности идентификации апельсина
необходимо ввести дополнительные признаки.
Содержание понятия – совокупность существенных
признаков, отраженных в этом понятии.
Например, содержанием понятия ромб является совокупность
двух существенных признаков: быть параллелограммом и иметь
равные стороны. Содержание понятия ученик включает в себя
признаки: познавать новое и иметь учителя.
Содержание
понятия хороший ученик включает в себя признаки: познавать
новое, иметь учителя, иметь интерес к учебе, быть
исполнительным, быть обязательным, быть воспитанным.
Всех тех учеников, которые обладают выделенными признаками,
можно объединить в множество.
Объем понятия – множество предметов, каждому из
которых
принадлежат
признаки,
составляющие
содержание понятия.
Например, объем понятия река – это множество, состоящее из рек,
носящих имена Обь, Иртыш, Енисей, Волга, и др.
Высказывание (суждение , утверждение) – форма
мышления, в которой что-либо утверждается или
отрицается о предметах, их свойствах или отношениях
между ними.
Примеры высказываний:
1. Этот апельсин вкусный.
2. Если прошел дождь, то на улице весна.
3. На Луне живут лунатики, а на Марсе – марсиане.
Языковым
выражением
высказываний
является
повествовательное предложение. Высказывания бывают
простыми и сложными.
Например, Наступила весна – простое суждение, а Наступила
весна, и прилетели грачи – сложное, состоящее из двух простых.
Всякое высказывание может быть либо истинным, либо
ложным по своему содержанию
Умозаключение - форма мышления, с помощью
которой из одного или нескольких суждений(посылок)
может быть получено новое суждение (заключение)
Например, если мы имеем суждение «Все углы
треугольника равны», то мы можем доказать, что «Этот
треугольник равносторонний»
Посылками умозаключения по правилам формальной
логики могут быть только истинные суждения.
Идею о возможности математизации логики
высказал ещё в ХVII в. немецкий логик
Готфрид Вильгельм Лейбниц.
Он пытался создать универсальный язык, с помощью
которого каждому понятию и суждению можно было бы
дать числовую характеристику и установить такие правила
оперирования с этими числами, которые позволили бы
сразу определить, истинно данное суждение или ложно. То
есть он предполагал, что споры между людьми можно
будет разрешать посредством вычислений. Но идея
Лейбница оказалась неподтвержденной, так как до сих пор
не найден способ свести человеческое мышление к
некоторому математическому исчислению.
Алгебра высказываний была разработана для
того, чтобы можно было определить истинность или
ложность составных высказываний, не вникая в их
содержание.
В алгебре высказываний суждениям ставятся в
соответствие логические переменные, обозначаемые
прописными буквами латинского алфавита.
Например:
Х=«Число 12 кратно 3».
Р=«Город Париж-столица Франции».
Если высказывание А истинное, то запишем «А=1»,
если ложное, то «А=0».
Примеры высказываний и не высказываний:
1)А=«Солнце светит для всех» =1 – истинное высказывание.
2)В=«Все ученики любят информатику»=0 – ложное
высказывание
3)С=«Некоторые ученики любят информатику»=1 –
истинное высказывание
4)D=«А ты любишь информатику?» – не высказывание, т.к.
предложение не повествовательное.
5)Е=«Посмотри в окно» – не высказывание.
6)F=«Х*Х<0»=0 – ложное высказывание, т.к. х*х всегда
неотрицательно.
7)I=«2*Х -5>0» – не высказывание, так как результат зависит
от Х
В алгебре высказываний высказывания
обозначаются именами логических переменных,
которые могут принимать лишь два значения:
«истина» (1) и «ложь» (0).
В алгебре высказываний над высказываниями можно
проводить определенные логические операции, в
результате которых получаются новые, составные
высказывания.
Вычисление количества строк и столбцов таблицы
истинности: Пусть сложное высказывание состоит из n
простых. Тогда количество строк в таблице истинности
равно 2n плюс 1 строка заголовка. Количество столбцов в
таблице равно сумме количества переменных (n) и
количества разных логических операций, входящих в
сложное высказывание.
Логическое умножение (конъюнкция)
Обозначение конъюнкции:
А И В; АВ; А&B; A AND B.
Логическое умножение образуется соединением
двух высказываний в одно с помощью союза «и».
Например:
На автостоянке обычно стоят две машины: «Мерседес» и
«Жигули», но может находиться и какая-то одна из них или
не быть ни одной.
Обозначим высказывания:
А=На автостоянке стоит «Мерседес».
В=На автостоянке стоят «Жигули».
(А конъюнкция В) = На автостоянке стоят «Мерседес» и
«Жигули».
На автостоянке обычно стоят две машины: «Мерседес»
и «Жигули», но может находиться и какая-то одна из
них или не быть ни одной.
А
В
0
0
0
1
1
0
1
1
А&B Смысл высказываний А и В
для указанных значений
Значение высказывания
На автостоянке стоят
«Мерседес» и «Жигули»
На автостоянке обычно стоят две машины: «Мерседес»
и «Жигули», но может находиться и какая-то одна из
них или не быть ни одной.
А
В
А&B Смысл высказываний А и В
для указанных значений
0
0
«Мерседес»
не стоит
«Жигули»
не стоят
0
1
«Мерседес»
не стоит
«Жигули»
стоят
1
0
«Мерседес»
стоит
«Жигули»
не стоят
1
1
«Мерседес»
стоит
«Жигули»
стоят
Значение высказывания
На автостоянке стоят
«Мерседес» и «Жигули»
Таблица истинности для конъюнкции
А
В
А&B Смысл высказываний А и В
для указанных значений
Значение высказывания
На автостоянке стоят
«Мерседес» и «Жигули»
0
0
0
«Мерседес»
не стоит
«Жигули»
не стоят
Ложь
0
1
0
«Мерседес»
не стоит
«Жигули»
стоят
Ложь
1
0
0
«Мерседес»
стоит
«Жигули»
не стоят
Ложь
1
1
1
«Мерседес»
стоит
«Жигули»
стоят
Истина
Из таблицы истинности следует, что конъюнкция двух
высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба
высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно
высказывание ложно.
Логическое сложение (дизъюнкция)
Логическое сложение образуется соединением двух
высказываний в одно с помощью союза «или».
Обозначение дизъюнкции:
А ИЛИ В; АВ; A OR B; А+В.
Например:
На автостоянке обычно стоят две машины: «Мерседес» и
«Жигули», но может находиться и какая-то одна из них или
не быть ни одной.
Обозначим высказывания:
А=На автостоянке стоит «Мерседес».
В=На автостоянке стоят «Жигули».
(А дизъюнкция В) = На автостоянке стоят «Мерседес» или
«Жигули».
На автостоянке обычно стоят две машины: «Мерседес»
и «Жигули», но может находиться и какая-то одна из
них или не быть ни одной.
А
В
0
0
0
1
1
0
1
1
АvB Смысл высказываний А или
В для указанных значений
Значение высказывания
На автостоянке стоят
«Мерседес» или
«Жигули»
На автостоянке обычно стоят две машины: «Мерседес»
и «Жигули», но может находиться и какая-то одна из
них или не быть ни одной.
А
В
АvB Смысл высказываний А или
В для указанных значений
0
0
«Мерседес»
не стоит
«Жигули»
не стоят
0
1
«Мерседес»
не стоит
«Жигули»
стоят
1
0
«Мерседес»
стоит
«Жигули»
не стоят
1
1
«Мерседес»
стоит
«Жигули»
стоят
Значение высказывания
На автостоянке стоят
«Мерседес» или
«Жигули»
Таблица истинности для дизъюнкции
А
В
АvB Смысл высказываний А или
В для указанных значений
Значение высказывания
На автостоянке стоят
«Мерседес» и «Жигули»
0
0
0
«Мерседес»
не стоит
«Жигули»
не стоят
Ложь
0
1
1
«Мерседес»
не стоит
«Жигули»
стоят
Истина
1
0
1
«Мерседес»
стоит
«Жигули»
не стоят
Истина
1
1
1
«Мерседес»
стоит
«Жигули»
стоят
Истина
Из таблицы истинности следует, что дизъюнкция двух
высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба
высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно
высказывание истинно.
Логическое отрицание (инверсия)
Логическое отрицание образуется из высказывания
с помощью добавления частицы «не» к сказуемому
или использования оборота речи «неверно, что
…».
Например:
Я не знаю китайского языка.
Неверно, что я знаю китайский язык
Обозначение инверсии: НЕ А;
А; A; NOT A
Таблица истинности для инверсии
А
А
Смысл высказывания А
для указанных значений
0
1
Я не знаю китайского
языка
1
0
Я знаю китайский язык
Значение высказывания:
Я не знаю китайского языка
Истина
Ложь
Из таблицы истинности следует, что инверсия
высказывания истинна, когда высказывание
ложно.
Логическое следование (импликация)
Логическое следование образуется соединением
двух высказываний в одно с помощью оборота речи
«если …, то …».
Обозначение импликации: АВ; АB;
Например:
А=«Если клятва дана, то она должна выполнятся».
В=«Если число делится на 9, то оно делится на 3».
В логике допустимо рассматривать и бессмысленные с
житейской точки зрения высказывания.
С = «Если коровы летают, то 2+2=5».
Пусть даны высказывания:
А=«На улице дождь».
В=«Асфальт мокрый».
(А импликация В)= «Если на улице дождь, то асфальт
мокрый».
Таблица истинности для импликации
А
В
0
0
0
1
1
0
1
1
АB
Смысл высказываний А и В
для указанных значений
Значение высказывания
Если на улице дождь, то
асфальт мокрый
Таблица истинности для импликации
А
В
0
0
Дождя нет
Асфальт
сухой
0
1
Дождя нет
Асфальт
мокрый
1
0
Дождь идет
Асфальт
сухой
1
1
Дождь идет
Асфальт
мокрый
АB
Смысл высказываний А и В
для указанных значений
Значение высказывания
Если на улице дождь, то
асфальт мокрый
Таблица истинности для импликации
А
В
АB
Смысл высказываний А и В
для указанных значений
Значение высказывания
Если на улице дождь, то
асфальт мокрый
0
0
1
Дождя нет
Асфальт
сухой
Истина
0
1
1
Дождя нет
Асфальт
мокрый
Истина
1
0
0
Дождь идет
Асфальт
сухой
Ложь
1
1
1
Дождь идет
Асфальт
мокрый
Истина
Из таблицы истинности следует, что импликация двух
высказываний ложна тогда и только тогда, когда из
истинного высказывания следует ложное.
Логическое равенство (эквивалентность)
Логическое равенство образуется соединением
двух высказываний в одно с помощью оборота речи
«…тогда и только тогда, когда …».
Обозначение эквивалентности: АВ; АB; А  В.
Например:
Угол называется прямым тогда, когда он равен 90 градусам.
Обозначим высказывания:
А=«Число делится на 3 без остатка».
В=«Сумма цифр числа делится нацело на 3».
(А эквивалентно В) = «Число кратно 3 тогда и только тогда
когда сумма его цифр делится нацело на 3».
Таблица истинности для эквивалентности
А
В АB
0
0
0
1
1
0
1
1
Смысл высказываний А и В
для указанных значений
Значение высказывания
Число кратно трем
тогда и только тогда,
когда сумма его цифр
делится нацело на 3
Таблица истинности для эквивалентности
А
В АB
Смысл высказываний А и В
для указанных значений
0
0
Число не
кратно трем
Сумма цифр
не кратна трем
0
1
Число не
кратно трем
Сумма цифр
кратна трем
1
0
Число кратно Сумма цифр
трем
не кратна трем
1
1
Число кратно Сумма цифр
трем
кратна трем
Значение высказывания
Число кратно трем
тогда и только тогда,
когда сумма его цифр
делится нацело на 3
Таблица истинности для эквивалентности
А
В АB
Смысл высказываний А и В
для указанных значений
0
0
1
Число не
кратно трем
Сумма цифр
не кратна трем
0
1
0
Число не
кратно трем
Сумма цифр
кратна трем
1
0
0
Число кратно Сумма цифр
трем
не кратна трем
1
1
1
Число кратно Сумма цифр
трем
кратна трем
Значение высказывания
Число кратно трем
тогда и только тогда,
когда сумма его цифр
делится нацело на 3
Истина
Ложь
Ложь
Истина
Из таблицы истинности следует, что эквивалентность
двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда
оба высказывания истинны или оба ложны.
Приоритет логических операций
При вычислении значения логического выражения
(формулы) логические операции вычисляются в
определенном порядке, согласно их приоритета:
1. Инверсия (отрицание)
2. Конъюнкция (умножение)
3. Дизъюнкция (сложение)
4. Импликация
равенство)
и
эквивалентность
Операции одного приоритета
направо. Для изменения
используются скобки.
(следование
и
выполняются слева
порядка действий
Укажем порядок выполнения логических
операций в следующих формулах:
3
4
2
5
1
AvBC&DA
4
2
3
5
1
A v (B  C) & D  A
Рассмотрим алгоритм построения таблицы истинности на
примере следующего высказывания:
Е=AvBC
1.Вычислить количество строк и столбцов таблицы
истинности.
Пусть сложное высказывание состоит из n простых.
Тогда количество строк в таблице истинности равно 2n
плюс 2 строка заголовка. Количество столбцов в таблице
равно сумме количества переменных (n) и количества
разных логических операций, входящих в сложное
высказывание.
В высказывание Е входят 3 переменные и 4 логические
операции. Получаем 23+2=10 строк и 3+4=7 столбцов.
2.Начертим таблицу и заполним заголовок.
В первой
строке заголовка запишем номера столбцов, во второй – промежуточные
формулы в соответствии с приоритетом логических операций и в
скобках номера столбцов над значениями которых выполняются
действия
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
(6) (5)
3. Заполним первые три столбца.
Делим первую колонку пополам, первую половину заполняем
нулями, вторую – единицами,
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
0
0
0
0
1
1
1
1
(6) (5)
3. Заполним первые три столбца.
…половины второго столбца делим пополам и заполняем по тому же
правилу
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
(6) (5)
3. Заполним первые три столбца.
… продолжаем заполнение по тому же правилу.
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
(6) (5)
4. Заполним остальные столбцы.
четвертый столбец – инверсия второго
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
(6) (5)
4. Заполним остальные столбцы.
…пятый столбец – инверсия третьего
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
(6) (5)
4. Заполним остальные столбцы.
…шестой столбец – дизъюнкция первого и четвертого
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
(6) (5)
4. Заполним остальные столбцы.
шестой столбец – импликация шестого и пятого
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
(6) (5)
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
Если в формулу входят 4 переменные, то
соответствующая ей таблица истинности будет
состоять из 24 = 16 строк со значениями, при 5
переменных в таблице имеем 25 = 32 строки со
значениями.
Для любого сложного высказывания можно
построить таблицу истинности. Это следует из
того, что количество входящих в него
переменных конечно и каждая из них может
принимать всего два значения.
Записать составное высказывание «(2*2=4 и 3*3=9)
или (2*2≠4 и 3*3≠9)» в форме логического выражения.
Построить таблицу истинности.
Тождественно истинные высказывания
Если высказывание истинно при всех значениях
входящих в него переменных, то такое высказывание
называется
тождественно
истинным
или
тавтологией ( обозначается константой 1).
Например, высказывание Демократ – это человек,
исповедующий демократические убеждения Всегда
истинно, т.е. Является тавтологией. Прогноз на завтра
Дождь будет или дождя не будет – всегда истинно, его
математическая запись А v А=1
Проверить,
является
ли
сложное
высказывание
тождественно истинным, можно по таблице истинности.
Тождественно ложные высказывания
Если высказывание ложно при всех значениях входящих
в него переменных, то такое высказывание называется
тождественно ложным ( обозначается константой 0).
Например, высказывание Сегодня среда, а это – второй
день недели является тождественно ложным.
Тождественно
ложным
является
и
следующее
высказывание: Компьютер включен, и компьютер не
включен (выключен). Его математическая запись А & А=0
Проверить,
является
ли
сложное
высказывание
тождественно ложным, можно по таблице истинности.
Эквивалентные высказывания
Если значения сложных высказываний совпадают на
всех возможных наборах значений входящих в них
переменных, то такие высказывание называют
равносильными, или эквивалентными.
Равносильность высказываний А и В записывается с
помощью знака равенства: А=В.
Высказывания А и В равносильны тогда и только тогда,
когда их эквивалентность А  В является тождественно
истинным высказыванием.
Чтобы доказать равносильность (эквивалентность)
сложных высказываний, достаточно построить их
таблицы истинности и сравнить полученные результаты
построчно.
Рассмотрим два высказывания:
Х=Не может быть, что Матроскин выиграл приз и
отказался от него.
Х=А&В
Y=Или Матроскин не отказался от приза, или не выиграл
его.
Y=A v B
Построим таблицы истинности, объединив две в одну:
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
A
(1)
B
(2)
A&B
(1)&(2)
X=A&B
(5)
Y=AvB
(3)v(4)
X Y
(6)  (7)
0
1
0
0
1
1
1
0
1.Так как значения сложных высказываний Х (5-й столбец) и Y (6-й
столбец) совпадают, то высказывания равносильны (эквивалентны).
2. Так как эквивалентность Х и Y тождественно истинна, то
высказывания равносильны (эквивалентны).
Доказать, используя таблицы истинности, что
логические выражения А ∪ В и А ∩ В равносильны.
Найдите значения логических
выражений:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
(11) (10)
((10) 1)1
(01) (10)
(01) 1
1(11) 1
((10) (11)) (01)
((10) (10)) 1
((11) 0) (01)
((00) 0) (11)