Отсюда - Кафедра высшей математики и физики.

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Государственный университет по землеустройству
Кафедра высшей математики
Высшая математика
Линейная алгебра, аналитическая геометрия,
дифференциальное исчисление функций одной
переменной
Контрольные задания для самостоятельной работы
студентов I курса специальностей:
31.09.00 – «Землеустройство»
31.10.00 – «Земельный кадастр»
31.11.00 – «Городской кадастр»
25.00.34 – «Аэрокосмические исследования Земли,
фотограмметрия»
25.00.32 – «Геодезия»
Москва 2005
УДК 51
Подготовлено и рекомендовано к печати кафедрой высшей
математики Государственного университета по землеустройству
(протокол №
от
.
. 2005 г).
Рецензент: Заведующий кафедрой высшей математики МЭИ доктор физико-математических наук профессор Петрушко И.М.
Авторы:
к.ф.-м.н. доц. Червяков А.В., к.ф.-м.н. Зубков П.В.,
к.ф.-м.н. доц. Репин А.Ю.
2
Общие указания
Предлагаемая работа содержит контрольные задания по
программе курса высшей математики первого семестра для студентов всех специальностей. Каждое задание содержит образец
решения.
Выполнение студентами контрольных заданий является
одним из этапов изучения учебной дисциплины и подготовки к
экзамену.
Студенты выполняют контрольные задания в соответствии со своим вариантом, назначаемым преподавателем.
К экзамену допускаются лишь те студенты, у которых зачтены все контрольные задания, запланированные в данном семестре.
3
Глава 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
§ 1. Основные определения и результаты
1. Матрицей размера m  n называется прямоугольная таблица из чисел a ij , i  1,2,..., m , j  1,2,..., n ,
 a11

a
A   21


 a m1
a12
a 22

am2
 a1n 

 a2n 
,
 

 a m n 
состоящая из m строк и n столбцов.
Суммой A  B матриц размера m  n A  aij  и B  bij 
называется матрица C  cij  того же порядка, каждый элемент
которой равен сумме соответственных элементов матриц A и B :
cij  aij  bij , i  1,2,..., m , j  1,2,..., n .
Произведением A матрицы A  aij  на число  называется матрица B  bij , получающаяся из матрицы A умножением
всех ее элементов на  :
bij  aij , i  1,2,..., m , j  1,2,..., n .
Произведением A B матрицы A  aij  размера m  n на
матрицу B  bij  размера n  k называется матрица C  cij  размера m k , элемент которой cij , стоящий в i-ой строке и j-ом
столбце, равен сумме произведений соответственных элементов
i-ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы B :
n
cij   ail blj , i  1,2,..., m , j  1,2,..., k .
l 1
4
Матрица AТ называется транспонированной к матрице A ,
если выполняется условие aijT  a ji , для всех i, j , где aij и aijT –
элементы матриц A и AT соответственно.
2. Если A – квадратная матрица 2-го порядка, то соответствующим ей определителем 2-го порядка называется число
det A 
a11
a 21
a12
 a11a 22  a12 a 21 .
a 22
Аналогично, если A – квадратная матрица 3-го порядка, то
соответствующим ей определителем 3-го порядка называется
число
a11
a12
a13
det A  a 21
a31
a 22
a32
a 23  a11a 22 a33  a 21a32 a13  a12 a 23 a31  a13 a 22 a31 
a33
 a12 a 21a33  a11a 23 a32 .
Разложение определителя по i -ой строке. Справедливо
следующее соотношение:
n
det A   aik A ( i ,k ) ,
k 1
где
a11
A ( i , k )  (1) i  k

a1, k 1
a1, k 1
a1n
 

ai 1,1  ai 1, k 1
ai 1, k 1
ai 1,1  ai 1, k 1
ai 1, k 1  ai 1, n

a n1

a n , k 1



a n , k 1
5


 
 ai 1, n



a nn
называется алгебраическим дополнением элемента a ik и представляет собой (с точностью до знака ( 1) i  k ) определитель
(n  1) -го порядка, получающийся из исходного определителя
вычеркиванием i -ой строки и k -го столбца, на пересечении которых стоит элемент a ik .
3. Квадратная матрица A называется вырожденной, если ее
определитель равен нулю, и невырожденной в противном случае.
Если A – невырожденная матрица, то существует и притом единственная матрица A 1 такая, что
AA 1  A1 A  E ,
где E – единичная матрица (т.е. такая, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю).
1 0 0


E   0 1 0
0 0 1


– единичная матрица 3-го порядка.
Матрица A 1 называется обратной к матрице A . Обратную
матрицу можно найти по формуле A 1 
1
A ,
det A
где
 A (1,1)
 (1, 2 )
A
A  

 (1, n )
A

A ( 2 ,1)  A ( n ,1) 

( 2, 2)
( n,2)
A
 A 
   

( 2,n )
( n ,n ) 
A
 A 
6
– транспонированная матрица к матрице, составленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A .
Матрица A называется союзной к матрице A .
4. Элементарными преобразованиями матрицы называются
следующие:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих
элементов
строки
(столбца),
предварительно
умноженных на некоторое число.
5. Пусть задана система m линейных уравнений с n неизвестными общего вида
a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1 ,
a 21 x1  a 22 x 2    a 2 n x n  b2 ,

a m1 x1  a m 2 x 2    a m n x n  bm ,
или, в матричной форме, AX  B ,
 a11

a
A   21


 a m1
a12
a 22

am2
 a1n 
 x1 
 b1 

 
 
 a2n 
x
 2
 b2 
,
,
X

B

 
  .
 

 
 
 a m n 
x
 n
 bn 
Если B  0 , то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной.
Решением системы называется всякий n -компонентный
вектор столбец X , обращающий матричное уравнение в равенство.
7
Система называется совместной, если у нее существует, по
крайней мере, одно решение, в противном случае она называется
несовместной.
Две системы называются эквивалентными, если множества
их решений совпадают.
Расширенной матрицей системы называется матрица A ,
дополненная столбцом свободных членов
 a11

a
A   21


 a m1
 a1n
 a2n
a12
a 22
  
am2  am n
b1 

b2 
.


bm 
6. Метод последовательных исключений Гаусса. С помощью элементарных преобразований над строками расширенная
матрица системы может быть приведена к виду
 a~11

 0


 0
 0



 0
a~12
a~22

0
0

0







a~1r
a~2 r

a~rr
0

0
a~1r 1
a~2 r 1

a~rr 1
0

0







a~1n
a~2 n

a~rn
0

0
~
b1 
~ 
b2 

~ 
br  .
~
br 1 

~ 
bm 
Эта матрица является расширенной матрицей системы ступенчатого вида
8
~
a~11 x1  a~12 x2    a~1r xr  a~1r 1 xr 1    a~1n xn  b1
~
a~22 x2    a~2 r xr  a~2 r 1 xr 1    a~2n xn  b2

~
a~rr xr  a~rr 1 xr 1    a~rn xn  br
~
0  br 1

~
0  bm ,
которая эквивалентна исходной системе.
~
~
Если хотя бы одно из чисел br 1 ,, bm отлично о нуля, то
полученная система, а следовательно, и исходная система несовместны.
~
~
Если же br 1    bm  0 , то система совместна и полученные формулы позволяют выразить неизвестные xr , xr 1 ,, x1 (базисные неизвестные) через неизвестные x r 1 ,  , x n (свободные неизвестные). Придавая свободным неизвестным произвольные
значения x r 1  c1 , , x n  c n  r , получим общее решение системы
вида
 x1 (c1 , , c n  r ) 





 x (c ,  , c ) 
nr
.
X (c1 , , c n  r )   r 1
c


1







cnr


9
7. Правило Крамера. Пусть задана система n линейных
уравнений с n неизвестными AX  B . Если матрица A системы
невырожденная, т.е. det A    0 , то система имеет, и притом
единственное, решение, компоненты которого вычисляются по
формулам
xi 
i
, i  1,2,..., n ,

где  i – определитель, получаемый из определителя  заменой
i -го столбца на столбец свободных членов.
8. Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, т.е.
отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Длиной или модулем вектора AB называется длина отрезка
и обозначается AB .
Векторы a и b называются коллинеарными, если они лежат
на одной прямой или на параллельных прямых.
Два вектора a и b называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.
Три вектора в пространстве называются компланарными,
если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов e1 , e2 , e3
называется базисом в множестве векторов в пространстве. Всякий вектор a может единственным образом представлен в виде
a  x1 e1  x 2 e2  x3 e3 ,
10
соответствующая запись называется разложением вектора a по
базису e1 , e2 , e3 , а числа x1 , x 2 , x3 называются координатами вектора a в этом базисе.
Базис e1 , e2 , e3 называется прямоугольным, если векторы
e1 , e2 и e3 попарно перпендикулярны и имеют единичную длину.
В этом случае приняты обозначения e1  i , e2  j , e3  k .
Координаты x, y, z вектора a в прямоугольном базисе совпадают с проекциями вектора a на базисные орты i , j , k соответственно, а длина вектора a равна
a  x2  y2  z 2 .
Если M 1 ( x1 , y1 , z1 ) и M 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) – две произвольные точки в
пространстве, то координаты вектора M 1 M 2 равны
x  x2  x1 , y  y 2  y1 , z  z 2  z1 ,
а, соответственно, M 1 M 2  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2 .
9. Скалярным произведением ненулевых векторов a1 и a 2

называется число a1  a 2  a1  a 2  cos( a1 , a 2 ) .
Если векторы a1 ( x1 , y1 , z1 ) и a 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) представлены своими
координатами в прямоугольном базисе, то скалярное произведение равно
a1  a2  x1 x2  y1 y 2  z1 z 2 .
Из этой формулы, в частности, следует формула для определения
косинуса угла между векторами
11

cos( a1 , a 2 ) 
a1  a 2

a1  a 2
x1 x 2  y1 y 2  z1 z 2
x y z  x y z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов e1 , e2 , e3 называется правой, если наблюдателю находящемуся внутри телесного угла, образованного этими векторами кратчайшие повороты от
e1 к e2 и от e2 к e3 происходят против часовой стрелки. В противном случае тройка e1 , e2 , e3 называется левой.
Векторным произведением вектора a1 на вектор a 2 называется вектор, обозначаемый символом a1  a 2 , определяемый следующими тремя условиями:
1) длина вектора a1  a 2 равна площади параллелограмма, построенного на векторах a1 и a 2 , т.е.

a1  a 2  a1  a 2  sin( a1 , a 2 );
2) вектор a1  a 2 перпендикулярен плоскости векторов a1 и a 2 ;
3) упорядоченная тройка a1 , a 2 , a1  a 2 правая.
Из определения векторного произведения следует, что
a1  a 2  (a 2  a1 ) , а также, что вектора a1 и a 2 коллинеарны тогда и только тогда, когда a1  a2  0 .
Если a1 ( x1 , y1 , z1 ) и a 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) – векторы, заданные своими координатами в правом прямоугольном базисе, то разложение
векторного произведения a1  a 2 в том же базисе имеет вид
a1  a 2  ( y1 z 2  z1 y 2 )i  ( z1 x 2  x1 z 2 ) j  ( x1 y 2  y1 x 2 )k ,
или, в символической записи
12
i
j
a1  a 2  x1
x2
y1
y2
k
z1 .
z2
Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов
a1 , a 2 , a 3 называется число (a1  a 2 )  a3 .
Геометрические свойства смешанного произведения:
1) если V – объем параллелепипеда, построенного на векторах a1 , a 2 и a 3 , то
V , если a1 , a 2 , a3 , правая тройка,
(a1  a 2 )  a3  
 V , если a1 , a2 , a3 , левая тройка.
2) для того чтобы три вектора a1 , a 2 , a 3 были компланарны,
необходимо и достаточно выполнение условия (a1  a2 )  a3  0 .
Основное алгебраическое свойство смешанного произведения состоит в том, что циклическая перестановка векторов не меняет его величины, т.е.
(a1  a 2 )  a3  (a 2  a3 )  a1  (a3  a1 )  a 2 .
Это свойство позволяет ввести обозначение (a1  a 2 )  a3  a1 a 2 a3
(результат не зависит от того, как расставить скобки векторного
произведения в правой части). Смешанное произведение через
координаты векторов в правом прямоугольном базисе записывается в виде
x1
a1 a 2 a3  x 2
x3
13
y1
y2
y3
z1
z2 .
z3
10. Плоскость P в декартовой прямоугольной системе координат OXYZ может быть задана своим общим уравнением
Ax  By  Cz  D  0 .
Прямая L в пространстве может быть задана:
1) общими уравнениями
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0,

 A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0,
где коэффициенты A1 , B1 , C1 не пропорциональны коэффициентам
A2 , B2 , C2 , что равносильно ее заданию как линии пересечения
плоскостей;
2) параметрическими уравнениями
 x  x 0  lt ,

 y  y 0  mt ,
 z  z  nt ,

0
или в векторной форме r (t )  r0  q t , где r0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) – радиус
вектор некоторой точки, принадлежащей прямой, а q (l , m, n) –
направляющий вектор прямой;
3) каноническими уравнениями
x  x0 y  y 0 z  z 0


,
l
m
n
где ( x 0 , y 0 , z 0 ) – координаты некоторой точки прямой, (l , m, n) –
координаты направляющего вектора прямой.
14
§2. Типовые задачи
Задача №1
Даны две матрицы A и B . Найти неизвестную матрицу Х,
удовлетворяющую данному матричному уравнению (таблица 1).
Таблица 1
Номер
Уравнение
Матрица А
Матрица В
варианта
1
2Х–3А=(Х+3В)А
2
2X+AB=AX–B
 1 2 0



1
1
0


 0 0 0


 2 1 0 


1
4
1


  3 0  2


0 0 1 


0
0
2


 1 1  1


 2
 
 0
  1
 
 1 0



2
3


 0 1


3
ABX–4X=2A
 5 0  1


1
2
0


4
2BX=A(X+5B)
 1  1


0
0


  1
 
 0
 2
 
5
2X+A=B(X–2A)
6
ABX–A=B+BAX
7
XA+6X=40B
1

1
 2

 0
15
0

2
1

4
  3 2


1
4


2 1 1


0 4 1
1
5
1


2
2
 3 1



2
1


1 0


3

1


0 2


8
9
10
11
  1  1 1



4
0
0


1
X– XB=A
2
1
XA= B+X
2
1
AX+3X=B
3
 1  1 2


  1 2 0
 2  1 1


  12 15 12 


0

3
15


 0
3 0 

1

0
1

 3

 5
(X+A)B=2X
12
(X–B)A=2A+X
13
1
XAB= A–3X
2
14
8B–X=BAX
15
1
AX=B+X
3
16
1
AX=B– X
3
 2

3 
1 
1

0
 4 2



2
0


  1  2 0


2
0
3


  3 8  3


1
6

1


 3 0 3 


 1

1  1

 3

2
 2
1


3
5

 0 0

3

16
 4 0  1


2
0
0


1 1 0 


  16 12 0 


8
20
4


2 1 1 


4
3

2


0 0
1 

  1  4


2
5


 4  1


2
3


1 
 1



3

4


 1 0 


0

2


 2 1 


 1 0  1


4
3
2


0  5 3 


 4 0



2
6


 0 8


17
ABX=5A–X
18
5
BX–2A= X
2
19
20
21
22
  2
 
 1
 0
 
 2 0  3



2
2

1


4X–15A=ABX
 2  1 0


0
1
3


1
X–12B= XA
2
0  4
2


6
2
0


10  2 4 


1

4
6


10

2

1
2

3

0
1

 1
1

1
A(X–6B)= X
4
3X+B=XA
23
AX+2A=2BX
24
1
XB=A+3X
2
17

 3 4

1
2

4
1
3

4
3 1

 1 1
0 0 
 1

2
2  4

1 1 
2  4 
 1
 3

 2
  5

 0

 3
 2

3
0

2


0 1

2 3

1

7

2
4

1
 1
1
 
2
1

2
0 
0 8


16
0

12


 0 12
0 

 4 7  6



7
9
9


 1  2



2
1


 6  2  6


2
6
4


 2 4
6 

25
AX–B=3X
26
2X–A=BX
27
XB–B=5X–XA
28
AX=B+3X
29
30
AX–B=2A+X
2 3
 0



1

1
4


  1 2 2


  1 3


  3 2
  8 5


 7 1


2
0


 0  2 3



1
3
0


0
0 1 

 0


3


2


0  3 2


1 0 0
 3  5 2


  2 1


0
6


 7 



2


 2 


1 2 0 


2
0

1


3 4 0 


 2  2 8 


1
3

1


 0
2 17 

 0 1  2


AX=B
2
0
1


 4  1  3


Образец решения задачи №1
 3 1


4
1


 5 8


Решим следующее матричное уравнение:
3X + A = B (X+4A), где
1
  1 2 3
 


A=  4  , B=  2 0 1  .
 3
 4 3 2
 


Прежде всего, раскроем скобки в правой части уравнения, не меняя при этом порядка сомножителей.
3X+A=BX + 4BA
18
 1 0 0


Пусть Е=  0 1 0  – единичная матрица, тогда уравнение можно
 0 0 1


записать следующем виде: A–4BA=(B–3E)X.
Определим матрицу В–3Е:
1 2 3 
 1 0 0   1 2 3   3 0 0



 
 

B–3E =  2 0 1  – 3  0 1 0  =  2 0 1  –  0 3 0  =
 4 3  2
 0 0 1   4 3  2   0 0 3



 
 

3
 4 2


=  2  3 1 .
 4
3  5 

Находим определитель матрицы В–3Е:
4 2
3
В  3Е  2  3 1 =(–4)(–3)(–5)+214–4(–3)3–22(–5)–
4
3 5
–31(–4)=–60+8+18+36+20+12=34.
Так как определитель матрицы В–3Е отличен от нуля, эта матрица имеет обратную. Найдём матрицу (В-3Е) 1 . Для этого, прежде
всего союзную матрицу:
3  12 19 11
 4 2


 
(В–3Е)*=  2  3 1  = 14 8 10  .
 4
3  5   18 20 8 

*
Таким образом обратная матрица будет равна:
19
12 19 11


(В-3Е) 1  – 1  14 8 10  .
24
 18 20 8 


Теперь определим матрицу А–4АВ:
 8  12 
 1 0 0    4 8 12   5

 
 

Е–4В=  0 1 0  –  8
0 4 =  8
1
 4 ,
 0 0 1   16 12 8    16  12  7 

 
 

 8  12  1    63
 5

   

А–4АВ  (Е–4В)А    8
1
 4    4     16  .
  16  12  7   3    85 

   

В итоге получено простейшее матричное уравнение:
3
  63   4 2

 

=

16
2

3
1

 
Х
  85   4
3  5 

 
Искомая матрица Х равна:
12 19 11   63
 

1
1 
Х=  14 8 10     16   
34
34 
   85 
18
20
8

 

20
1467 


1380

.
 2134 


Задача № 2
Решить систему линейных алгебраических уравнений (таблица 2) методом Гаусса.
Таблица № 2
№ Система уравнений
№ Система уравнений
ваваририанта
анта
 x1  2 x2  3x3  4
2 x1  x2  x3  3
1
2
2 x  3 x  4 x  1
 x  3 x  2 x  3
 1
 1
2
3
2
3


3x1  4 x2  5 x3  6
 x1  x2  5 x3  2
3x1  5 x2  7 x3  3
3x1  x2  4 x3  1
 x 1 2 x2  x3  x4  3
2 x1  x2  x3  x4  4
3
4

 x  x  3x  3x  3
 1 2
3x1  2 x2  x4  4
3
4


5
x

2
x

x

1
1
2
4

 x1  4 x2  4 x3  3x4  1
 x1  3x2  5 x3
5 x1  3x2  x3  4 x4  5
7
3x1  x2  3x3  2 x4  5
2 x1  3x2  4 x3  3x4  0

5
6
5 x 
2 x3  x4  11
 1
4 x1  6 x2  9 x3  8 x4  3

6 x  9 x  9 x  4 x  8
 1
2
3
4
 x1  2 x2  2 x3  3x4  8
2 x1  4 x2
 x4  14
7
9
2 x1  3x2  x3  13
5 x  2 x  x  10
2
3
 1
3x1  4 x2  5 x3  6
x  x  2x  7
3
 1 2
 4 x1  x2  3x3  17
8
2 x1  4 x2  6 x3  x4  0
 x  2 x  3x  x  4
 1
2
3
4

 3x1  6 x2  9 x3  3x4  1
4 x1  x2
 x4  2
21
10
5 x1  4 x2  x3  3x4  5
2 x  x  x  4 x  2
 1 2
3
4

3x1  2 x2  x3  x4  3
 x1  3x2  2 x3  2 x4  4
2 x1  x2  x3  2
 x  3x  x  5
 1
2
3

 x1  x2  5 x3  7
2 x1  3x2  3x3  14
11
13
15
17
19
21
23
3x1  x2  x3  1
2 x  x
4
 1 2
 x1  5 x2  3x3  0
7 x  3x  x  5
2
3
 1
2 x1  7 x2  6 x3  2
12
2 x1  x2  x3  x4  1
2 x  x
 3 x4  2
 1 2

 x3  x4  3
3x1
2 x1  2 x2  2 x3  5 x4  6
9 x1  3x2  5 x3  6 x4  4

6 x1  2 x2  3x3  4 x4  5
3x  x  3x  14 x  8
 1 2
3
4
3x1  2 x2  5 x3  x4  20
2 x  3x  x  5 x  14
 1
2
3
4

 4 x4  8
 x1  2 x2
 x1  x2  4 x3  x4  9
 x1  2 x2  3x3  5 x4  1
 x  3x  13x  22 x  1
 1
2
3
4

3x1  5 x2  x3  2 x4  5
2 x1  3x2  4 x3  7 x4  4
 x1  2 x2  2 x3  x4  0

 x1  3x2  5 x3  3x4  3
2 x  4 x  7 x  8 x  5
 1
2
3
4
 x1  x2  3x3  4 x4  1

4 x1  5 x2  2 x3  x4  3
3x  4 x  x  3x  2
 1
2
3
4
22
14
16
18
 x1  3x2  3x3  5 x4  1
2 x  6 x  5 x  6 x  1
 1
2
3
4

3x1  7 x2  4 x3  8 x4  2
3x1  5 x2  x3  9 x4  1
5 x1  x2  3x3  6
4 x  2 x  4 x  7
 1
2
3

2 x1  5 x2  7 x3  9
5 x1  2 x2  2 x3  1
 x1  x2  3x3  2 x4  3x5  1
2 x  2 x  4 x  x  3 x  2
 1
2
3
4
5

3x1  3x2  5 x3  2 x4  3x5  1
2 x1  2 x2
 3x4  9 x5  2
2 x1  x2  x3  2 x4  3x5  2
6 x  3x  2 x  4 x  5 x  3
 1
2
3
4
5

6 x1  3x2  4 x3  8 x4  13x5  9
4 x1  2 x2  x3  x4  2 x5  1
20
1
 x1  2 x2  3x3  x4

3x1  5 x2  x3  x4  2 x5  0
9 x  4 x  2 x  x  x  3
 1
2
3
4
5
22
 3x5  2
 x1  4 x2  2 x3

5
2 x1  9 x2  x3  4 x4
 x  5 x  x  4 x  3x  3
 1
2
3
4
5
24
 x1  2 x2  3x3  4 x4  1

4 x1  7 x2  2 x3  x4  3
3x  5 x  x  3x  2
 1
2
3
4
25
4
 x1  3x2  x3  2 x4

2 x1  5 x2  4 x3  3x5  7
 x  2 x  3x  2 x  3x  3
 1
2
3
4
5
27
 x1  3x2  4 x3  3x4  2

3x1  8 x2  x3  2 x4  5
2 x  5 x  3 x  x  3
 1
2
3
4
29
0
 x1  2 x2  2 x3  3x4

4 x5  1
2 x1  3x2  x3 
3x  5 x  3x  3x  4 x  1
 1
2
3
4
5
26
 x1  x2  3x3  4 x4  0

4 x1  3x2  x3  2 x4  1
3x  2 x  2 x  2 x  1
 1
2
3
4
28
3x5  0
 x1  2 x2  2 x3 

1
3x1  5 x2  x3  4 x4
2 x  3 x  3 x  4 x  3 x  1
 1
2
3
4
5
30
0
 x1  2 x2  3x3  4 x4
3x  7 x  2 x 
x5  1
 1
2
3

2 x1  5 x2  x3  4 x4  x5  3
 x1  x2 
x4
6
Образец решения задачи №2
Методом Гаусса найдём общее решение следующей системы линейных алгебраических уравнений:
 x1  x2  x3  1
x  x  x  0
 1 2
3
.

2
x

3
x

4
x

2
2
3
 1
3x1  x2  2 x3  3
Прежде всего, составим расширенную матрицу системы:
 1 1  1  1


1

1

1
0


.
2  3 4
2 


3

1

2

3


Согласно алгоритму Гаусса будем приводить эту матрицу к треугольному виду (все проводимые преобразования указаны между
матрицами).
23
 1 1  1  1  (2)  (1),  1 1  1  1  1 / 2  (2)  1 1  1  1 

 (3)  2  (1)

1
1
1

1

1
0
0  2 0


0  
~
0 1
~
2 ~
0  5 6
2  3 4

4
2 
0

5
6
4


 (4)  3  (1) 


0  4 1

0

4
1
0
3

1

2

3
0






1
(3)  5  ( 2), 
0
~

( 4)  4  ( 2) 
0

0
1 1
1
0
0
6
0
1
1
1

1  1 / 6  (3) 0

 
2
~ 
3
0


2 
 2
0
1 1
1
0
0
1
0
1
1
1 


1
  (4)  (3)  0
2

~ 0
1

4 

 2
0

1 1
1
0
0
1
0
0
1
1
 
2
1 ,
4
9
 
2
где (*) – номер строки.
Однако уравнение, отвечающее последней строке полученной матрицы, является противоречивым. Следовательно, рассматриваемая система несовместна, т.е. не имеет решений.
24
Задача № 3
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b (таблица 3). Найти длину вектора a .
Таблица№ 3

№
a
b
p
q
( p, q )
варианта
p  2q
3p  q
1
1
2

6
p  2q
3p  q
2
4
1

4
p  2q
p  3q
3
1/5
1

2
3 p  2q
p  5q
4
4
1/2
5
6
p  2q
2p  q
5
2
3
3
4
p  2q
p  3q
6
2
3

3
2p  q
p  3q
7
3
2

2
pq
4p  q
8
7
2

4
p  4q
3p  q
9
1
2

6
p  4q
2p  q
10
7
3

3
pq
3 p  2q
11
10
1

2
4p  q
p  2q
12
5
4

4
2 p  3q
p  2q
13
6
7

3
p  2q
3p  q
14
3
4

3
2 p  3q
p  2q
15
2
3

4
2 p  3q
3p  q
16
4
1

6
5p  q
p  3q
17
1
2

3
7 p  2q
p  3q
18
1/2
2

2
25
19
6p  q
20
10 p  q
21
6p  q
22
3 p  4q
23
7p  q
24
p  3q
25
3p  q
26
5p  q
27
3 p  4q
28
6p  q
29
2 p  3q
30
2 p  3q
pq
3
4

4
1

8
1/2

5/2
2

3
1
3
3p  q
3
5
2
p  3q
7
2

5
3
5
2
3

1/2
4
5
2
1

2
3

3 p  2q
p  2q
qp
p  3q
pq
p  3q
p  5q
p  2q
5p  q
Образец решения задачи № 3
Пусть a  3 p  2 q , b  2 p  q , значения модулей
4
6
3
2
4
3
4
6
4
6
3
2
p  4,

q  3 , а угол между векторами ( p , q ) = 3 .
4
Определим площадь параллелограмма построенного на векторах a и b :
S  a  b  (3 p  2 q )  ( 2 p  q )  6 p  p  4 q  p  3 p  q  2 q  q 

 7q  p  7  q  p  sin( p, q )  7  3  4 
2
 42 2 .
2
Найдём длину вектора a :
a  a  a  (3 p  2q )2  9 p 2  12 p  q  4q 2 

 9 p  12 p  q  cos  p, q  4 q
2
2
 144  144 
26
2
 36  180  72 2 .
2
Задача № 4
Даны координаты вершин пирамиды АВСD (таблица 4).
Найти объём пирамиды, площадь грани АВС и угол между ребрами АВ и АО.
Таблица № 4
А
В
С
D
№
варианта
1
(1,3,6)
(2,2,1)
(-1,0,1)
(-4,6,-3)
2
(-4,2,6)
(2,-3,0)
(-10,5,8)
(-5,2,-4)
3
(7,2,4)
(7,-1,-2)
(3,3,1)
(-4,2,1)
4
(2,1,4)
(-1,5,-2)
(-7,-3,2)
(-6,-3,6)
5
(-1,-5,2)
(-6,0,-3)
(3,6,-3)
(-10,6,7)
6
(0,-1,-1)
(-2,3,5)
(1,-5,-9)
(-1,-6,3)
7
(5,2,0)
(2,5,0)
(1,2,4)
(-1,1,1)
8
(2,-1,-2)
(1,2,1)
(5,0,-6)
(-10,9,-7)
9
(-2,0,-4)
(-1,7,1)
(4,-8,-4)
(1,-4,6)
10
(14,4,5)
(-5,-3,2)
(-2,-6,-3)
(-2,2,-1)
11
(1,2,0)
(3,0,-3)
(5,2,6)
(8,4,-9)
12
(2,-1,2)
(1,2,-1)
(3,2,1)
(-4,2,5)
13
(1,1,2)
(-1,1,3)
(2,-2,4)
(-1,0,-2)
14
(2,3,1)
(4,1,-2)
(6,3,7)
(7,5,-3)
15
(1,1,-1)
(2,3,1)
(3,2,1)
(5,9,-8)
16
(1,5,-7)
(-3,6,3)
(-2,7,3)
(-4,8,-12)
17
(-3,4,-7)
(1,5,-4)
(-5,-2,0)
(2,5,4)
18
(-1,2,-3)
(4,-1,0)
(2,1,-2)
(3,5,4)
19
(4,-1,3)
(-2,1,0)
(0,-5,1)
(3,2,-6)
20
(1,-1,1)
(-2,0,3)
(2,1,-1)
(2,-2,-4)
21
(1,2,0)
(1,-1,2)
(0,1,-1)
(4,4,-2)
22
(1,0,2)
(1,2,-1)
(2,-2,1)
(-3,0,1)
23
(1,2,-3)
(1,0,1)
(-2,-1,6)
(2,1,0)
24
(3,10,-1)
(-2,3,-5)
(-6,0,-3)
(1,-1,2)
25
(-1,2,4)
(-1,-2,-4)
(3,0,-1)
(7,-3,1)
26
(0,-3,1)
(-4,1,2)
(2,-1,5)
(3,1,-4)
27
(1,3,0)
(4,-1,2)
(3,0,1)
(-4,3,5)
28
(-2,-1,-1)
(0,3,2)
(3,1,-4)
(-4,7,3)
29
(-3,-5,6)
(2,1,-4)
(0,-3,-1)
(-5,2,-8)
30
(2,-4,-3)
(5,-6,0)
(-1,3,-3)
(-10,-8,7)
27
Образец решения задачи № 4
Пусть координаты вершин А, В, С и D равны:
А(1,-1,2); В(2,1,2); С(1,1,4); D(6,-3,8).
Введём в рассмотрение следующие векторы:
___
___
___
AB (1,2,0) , AC (0,2,2) , AD (5,2,6) .
Объём пирамиды вычисляем по формуле
1 2 0
1
1
1
 AB  AC  AD  0 2 2  (12  20  0  0  0  4)  6 .
6
6
6
5 2 6
____ ____ ____
VABCD
____
____
Далее определим векторное произведение векторов AB и AC :
i
j k
2 0
1 0
1 2
AB  AC  1 2 0 
i
j
k  4i  2 j  2k .
2 2
0 2
0 2
0 2 2
____ ____
Тогда площадь грани АВС определяем по формуле:
S ABC 
1 ____ ____ 1
AB  AC 
16  4  4  6 .
2
2
Найдём угол между рёбрами АВ и АD
____ ____
cos  
AB  AD
____
____
AB  AD

540
1
1


,
1  4  0  25  4  36
5  65 5 13
 1 
то есть   arccos 
.
5
13


28
Задача № 5
Заданы векторы a , b , c и p своими координатами в некотором базисе (таблица 5). Показать, что векторы a , b , c образуют
базис. Найти координаты вектора p в базисе a , b , c .
Таблица № 5
№
p
вариан
a
c
b
та
1
(0,1,2)
(1,0,1)
(-1,2,4)
(-2,4,7)
2
(1,3,0)
(2,-1,1)
(0,-1,2)
(6,12,-1)
3
(2,1,-1)
(0,3,2)
(1,-1,1)
(1,-4,4)
4
(4,1,1)
(2,0,-3)
(-1,2,1)
(-9,5,5)
5
(-2,0,1)
(1,3,-1)
(0,4,1)
(-5,-5,5)
6
(5,1,0)
(2,-1,3)
(1,0,-1)
(13,2,7)
7
(0,1,1)
(-2,0,1)
(3,1,0)
(-19,-1,7)
8
(1,0,2)
(0,1,1)
(2,-1,4)
(3,-3,4)
9
(3,1,0)
(-1,2,1)
(-1,0,2)
(3,3,-1)
10
(-1,2,1)
(2,0,3)
(1,1,-1)
(-1,7,-4)
11
(1,1,4)
(0,-3,2)
(2,1,-1)
(6,5,-14)
12
(1,-2,0)
(-1,1,3)
(1,0,4)
(6,-1,7)
13
(1,0,5)
(-1,3,2)
(0,-1,1)
(5,15,0)
14
(1,1,0)
(0,1,-2)
(1,0,3)
(2,-1,11)
15
(1,0,2)
(-1,0,1)
(2,5,-3)
(11,5,-3)
16
(2,0,1)
(1,1,0)
(4,1,2)
(8,0,5)
17
(0,1,3)
(1,2,-1)
(2,0,-1)
(3,1,8)
18
(1,2,-1)
(3,0,2)
(-1,1,1)
(8,1,12)
19
(1,4,1)
(-3,2,0)
(1,-1,2)
(-9,-8,-3)
20
(0,1,-2)
(3,-1,1)
(4,1,0)
(-5,9,-13)
21
(0,5,1)
(3,2,-1)
(-1,1,0)
(-15,5,6)
22
(1,0,1)
(0,-2,1)
(1,3,0)
(8,9,4)
23
(2,1,0)
(1,-1,0)
(-3,2,5)
(23,-14,-30)
24
(2,1,0)
(1,0,1)
(4,2,1)
(3,1,3)
25
(0,3,1)
(1,-1,2)
(2,-1,0)
(-1,7,0)
26
(1,-1,2)
(3,2,0)
(-1,1,1)
(11,-1,4)
27
(1,1,4)
(-3,0,2)
(1,2,-1)
(-13,2,18)
28
(0,-2,1)
(3,1,-1)
(4,0,1)
(0,-8,9)
29
(0,1,5)
(3,-1,2)
(-1,0,1)
(8,-7,-13)
30
(1,0,1)
(1,-2,0)
(0,3,1)
(2,7,5)
29
Образец решения задачи № 5
Пусть векторы имеют следующие координаты a (1,1,1) ,
b ( 2,2,1) , c (1,2,3) , p(1,4,7) .
Покажем, что векторы a , b , c образуют базис. Как известно,
в пространстве любые три некомпланарных вектора образуют базис. Для того чтобы векторы a , b , c были некомпланарными достаточно, чтобы их смешанное произведение не равнялось нулю.
1 1 1 1 1 1
a  b  c  2 2 1  0 0  1  1.
1 2 3 0 1 2
Найдём координаты вектора p в базисе a , b , c . Представим вектор p в
виде:
p  xa  yb  zc .
Получаем систему линейных уравнений:
 x  2 y  z  1

x  2 y  2z  4 .
 x  y  3z  7

Решим эту систему по правилу Крамера:
1 2 1
4 2 2
1 2 1
1 1 1 1 1 1
7 1 3
x
 0 10 6  10 , y  1 4 2  0 5 1  2 ,
1 2 1
0 15 10
1 7 3 0 8 2
1 2 2
1 1 3
1 2 1 1 2 1
z1 2 4 0 0
5  5.
1 1 7
0 1 8
30
Задача № 6
Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки A на
плоскость, проходящую через точки A1 , A2 , A3 , заданные своими
координатами (таблица 6).
Таблица № 6
A3
№
A1
A2
A
варианта
1
(-12,7,-1)
(-3,4,-7)
(1,5,-4)
(-5,-2,0)
2
(1,-6,-5)
(-1,2,-3)
(4,-1,0)
(2,1,-2)
3
(-7,0,-1)
(-3,-1,1)
(-9,1,-2)
(3,-5,4)
4
(-2,4,2)
(1,-1,1)
(-2,0,3)
(2,1,-1)
5
(2,-1,4)
(1,2,0)
(1,-1,2)
(0,1,-1)
6
(-5,-9,1)
(1,0,2)
(1,2,-1)
(2,-2,1)
7
(3,-2,-9)
(1,2,-3)
(1,0,1)
(-2,-1,6)
8
(-6,7,-10)
(3,10,-1)
(-2,3,-5)
(-6,0,-3)
9
(-2,3,5)
(-1,2,4)
(-1,-2,-4)
(3,0,-1)
10
(-3,4,-5)
(0,-3,1)
(-4,1,2)
(2,-1,5)
11
(4,3,0)
(1,3,0)
(4,-1,2)
(3,0,1)
12
(-21,20,-16)
(-2,-1,-1)
(0,3,2)
(3,1,-4)
13
(3,6,68)
(-3,-5,6)
(2,1,-4)
(0,-3,-1)
14
(2,-10,8)
(2,-4,-3)
(5,-6,0)
(-1,3,-3)
15
(-3,2,7)
(1,-1,2)
(2,1,2)
(1,1,4)
16
(5,-4,5)
(1,3,6)
(2,2,1)
(-1,0,1)
17
(-12,1,8)
(-4,2,6)
(2,-3,0)
(-10,5,8)
18
(10,1,8)
(7,2,4)
(7,-1,-2)
(-5,-2,-1)
19
(-3,1,8)
(2,1,4)
(3,5,-2)
(-7,-3,2)
20
(10,-8,-7)
(-1,-5,2)
(-6,0,-3)
(3,6,-3)
21
(-4,-13,6)
(0,-1,-1)
(-2,3,5)
(1,-5,-9)
22
(-3,-6,-8)
(5,2,0)
(2,5,0)
(1,2,4)
23
(14,-3,7)
(2,-1,-2)
(1,2,1)
(5,0,-6)
24
(-6,5,5)
(-2,0,-4)
(-1,7,1)
(4,-8,-4)
25
(-1,-8,7)
(14,4,5)
(-5,-3,2)
(-2,-6,-3)
26
(-13,-8,16)
(1,2,0)
(3,0,-3)
(5,2,6)
27
(-5,3,7)
(2,-1,2)
(1,2,-1)
(3,2,1)
28
(2,3,8)
(1,1,2)
(-1,1,3)
(2,-2,4)
29
(-5,-4,8)
(2,3,1)
(4,1,-2)
(6,3,7)
30
(-3,-7,6)
(1,1,-1)
(2,3,1)
(3,2,1)
31
Образец решения задачи №6
Пусть координаты точек равны A(1,1,2) ,
A1 (1,5,7) ,
A2 ( 3,6,3) , A3 ( 2,7,3) .
Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки
A1 , A2 , A3 . Если M ( x, y, z ) – произвольная точка этой плоскости,
то векторы
____
____
_____
A1 A2 , A1 A3 и A1M должны быть компланарными, а
значит их смешанное произведение должно быть равно нулю.
x 1 y  5 z  7
A1M  A1 A2  A1 A3   4
1
10  ( x  1)( 10)  ( y  5)( 10)  ( z  7)( 5) 
3
2
10
____
_____
____
 10 x  10 y  5z  75 .
Итак, уравнение искомой плоскости есть:
2 x  2 y  z  15  0 .
Далее найдём уравнение прямой, проходящей через точку A
перпендикулярно найденной плоскости. Нормальный вектор
плоскости n (2,2,1) будет направляющим вектором для искомой
прямой. Следовательно, каноническое уравнение прямой имеет
вид:
x 1 y 1 z  2


.
2
2
1
Для дальнейших вычислений удобно перейти к параметри-
ческой форме:
 x  1  2t

 y  1  2t .
z  2  t

Для того чтобы найти основание перпендикуляра определим
координаты точки пересечения найденных прямой и плоскости.
2(1  2t )  2(1  2t )  (2  t )  15  0 ,
9t  21  0, t  7 / 3,
7
1
11
 7
 7  11
x  1  2       , y  1  2      , z  2    .
3
3
3
 3
 3 3
32
Глава 2. Числовые последовательности. Дифференциальное
исчисление функций одной переменной
§ 1. Основные определения и результаты, связанные с числовыми последовательностями
1. Всякая числовая функция, определенная на множестве
натуральных чисел называется числовой последовательностью.
Числовые последовательности обозначают малыми латинскими
буквами с индексом, который указывает значение независимой
переменной, например: a n , bn , c n и т.д.
2.
В
дальнейшем
изложении
будут
встречаться
-
окрестности и  -окрестности различных точек (чисел). Например, O ( A) –  -окрестность числа A , определяется следующим
образом:
O (a )  y :
y  A   .
Аналогично определяется и  -окрестность числа a :
O ( A)  x :
x  a   .
3. Числовая последовательность  n называется бесконечно
малой, если    0 n0  n0 ( ) : n  n0 ,  n  O (0) .
4. Точка  называется предельной точкой числовой последовательности, если любая ее  -окрестность содержит бесконечно много точек  n .
Пример 1. Пусть rn – последовательность всех рациональных числе отрезка [0,1] . Тогда любое число   [0,1] будет предельной точкой этой последовательности.
33
Пример 2. Пусть a n  n – натуральные числа. Последовательность a n не имеет предельных точек.
Пример 3. Пусть an  (1) n  1 / n . Эта последовательность
имеет две предельные точки  1  1;  2  1.
5. Число a называется пределом числовой последовательности a n , если эта последовательность допускает представление:
a n  a   n , где  n – бесконечно малая числовая последователь-
ность (см. п.3). В этом случае пишут:
an  a .
lim
n 
Последовательность a n называют сходящейся к числу a .
6. Относительно сходящихся последовательностей имеют
место следующие основные результаты.
Теорема 1. Пусть a n и bn – сходящиеся числовые последовательности, тогда:
(an  bn )  lim an  lim bn ,
lim
n 
n 
n 
an  bn  lim an  lim bn ,
lim
n 
n 
n 
an
a n lim
n 

, lim bn  0 .
lim
n  b
n 
b
lim
n
n
n 
Теорема 2. Пусть lim an  lim bn   , а также n  n0 выn 
n 
полняется неравенство a n  c n  bn , тогда c n – сходится и
cn   .
lim
n 
34
7. Бесконечно малые последовательности a n и bn называются эквивалентными, если
lim
n 
Если lim
n 
an
 1, (коротко записывают a n ~ bn ).
bn
an
 0 , то в этом случае говорят, что a n имеет более выbn
сокий порядок малости по сравнению с bn и пишут a n  o(bn ) .
8. При вычислении пределов можно использовать соотношения эквивалентности (  n – любая бесконечно малая последовательность):
sin  n ~  n ,
1  cos n ~  n2 / 2 ,
a  1 ~ ln a   n ,
n
e  1 ~  n ,
n
arctg n ~  n ,
 / 2  arcctg  n ~  n ,
arcsin  n ~  n ,
 / 2  arccos  n ~  n .
9. Имеют место следующие замечательные пределы:
lim
n 
sin  n
n
(1   n )
lim
n 
 1,
1/ n
 e,
где  n – любая бесконечно малая последовательность.
35
§ 2.Определения и формулы, относящиеся к функциям одного
переменного
1. Пусть X и Y – два числовых множества. Если любому
x  X соответствует единственное y  Y , то в этом случае гово-
рят, что на множестве X определена числовая функция переменной x и обозначают y  f (x) .
2. Число A называется пределом функции f (x) в точке a ,
если O ( A) O (a ) : x  O (a ) \ a  y  f ( x)  O ( A) . В этом
случае пишут:
f ( x)  A .
lim
xa
3. Функция f (x) называется непрерывной в точке a , если
она определена в этой точке и имеет пределом число A  f (a) .
При этом пишут:
f ( x)  f (a) .
lim
xa
4. Функция f (x) непрерывная в каждой точке x отрезка
[a, b] называется непрерывной на отрезке [a, b] . Это обстоятельство записывают следующим образом: f ( x)  C[a, b] .
5. Пусть функции f (x) и g (x) имеют в точке a пределы,
тогда справедливы равенства:
( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x) ,
lim
xa
xa
xa
f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x) ,
lim
xa
xa
xa
36
f ( x)
f ( x) lim
xa

, lim g ( x)  0 .
lim
xa
x a g ( x)
g
(
x
)
lim
xa
6. Число A  называется правым пределом функции y  f (x)
в
точке
a,
если
O ( A )
O (a ) :
x  O (a)  ( x  a)
 f ( x)  O ( A ) .
Число A  называется левым пределом функции y  f (x) в
точке
a,
если
O ( A  )
O (a ) :
x  O (a)  ( x  a)
 f ( x)  O ( A ) , в этих случаях пишут:
f ( x)  A  ,
lim
x a  0
f ( x)  A  .
lim
x a 0
Говорят, что функция f (x) имеет в точке a разрыв I рода, если
A   A  . Если A   A  можно положить f (a )  A   A  и функция становится непрерывной в точке a .
7. С помощью операции предельного перехода, подробно
описанной в п.2, можно по заданной функции f ( ) , определенной для   [a, b] , построить другую функцию также определенную на этом отрезке, которую называют производной функцией.
Рассмотрим более подробно определение производной функции.
Прежде всего, введем в рассмотрение разностное отношение:
f
f ( )  f ( x)

,  и x  [a, b].

x
Числитель этой дроби называют приращением функции f ( ) в
точке x и обозначают f , знаменатель есть приращение незави37
симой переменной     x . Перейдем к пределу в этом разностном отношении при   x . Если этот предел существует
x  [a, b] , то он и называется производной функцией. Это записывают следующим образом:
f ( x)  lim
 x
f ( )  f ( x)
.
x
Пример 4. Найдем производную от f ( x)  x  , где   m / n –
рациональное число. Будем действовать согласно определению:
f
 m/ n  xm/ n
.
 lim
lim
 0 
 x
 x
Введем новые обозначения, пусть
 1 / n   , x 1 / n  u , тогда
f
 m  um
 m1   m2  u  ...    u m2  u m1
 lim n
 lim n 1

lim
 0 
 u 
 u 
 un
  n  2  u  ...    u n  2  u n 1
m  u m1 m mn m ( mn ) / n m m / n 1
.

 u   x
 x
n  u n 1
n
n
n
Таким образом:
( x  )    x  1 ,   m / n  Q .
8. Поступая аналогично описанному в приведенном выше
примере можно получить производные других известных элементарных функций. Укажем некоторые из них:
(sin x)  cos x ,
(cos x)   sin x ,
(a x )  ln a  a x ,
(e x )   e x ,
38
(log a x) 
(ln x ) 
1 1
 ,
ln a x
1
и т.д.
x
9. Для получения производных от заданных функций необходимо учитывать следующие правила вычисления производных
а) (C )  0 , C  const ,
б) (C  f )  C  f  ,
в) ( f  g )  f   g  ,
г) ( f  g )  f   g  f  g  ,

f
f   g  f  g
д)   
, g ( x)  0 ,
2
g
g
е) ( F ( f ))  F f  f x .
Если y  f (x) и x  g ( y) взаимно обратные функции, определенные на отрезках [a, b] и [c, d ] соответственно (т.е.
y  f ( g ( y)) , y  [c, d ] и x  g ( f ( x)) , x  [a, b]), тогда:
ж) x y  g y ( y ) 
1
f x( x)
.
x g ( y )
Пример 5. Найдем производную от x  arcsin y , y  [1,1] .
Обратной
функцией
является
функция
x  [ / 2, / 2] . Согласно предыдущей формуле
x y  (arcsin y )y 
39
1
(sin x)x

x  arcsin x
y  sin x ,

1
1
1


.
2
2
cos(arcsin y )
1  sin (arcsin y )
1 y
Пример 6. Найти производную от F ( x)  (cos x) sin x .
Очевидно, что f (x) определена для всех x , удовлетворяющих
условиям
2n   / 2  x   / 2  2n , n  Z .
Согласно логарифмическому тождеству имеем
F ( x)  e sin xln(cosx )  e f ( x ) .
Теперь применяем правило (е)
F ( x)  (e f ( x ) )  e f ( x )  f ( x)  e sin xln(cosx )  (sin x  ln(cos x)) 
 (cos x) sin x  (cos x  ln(cos x)  tgx  sin x) .
11) Дифференциалом функции
f (x) (обозначается df )
называется произведение следующего вида:
df  f ( x)  dx ,
где dx – дифференциал переменной x . Если x – независимая переменная, тогда ее дифференциал совпадает с ее приращением,
т.е. dx  x . Если x – функция переменной t , тогда ее дифференциал определяется, как указано выше:
dx  x (t )  dt , где dt  t .
12) Производные и дифференциалы высших порядков определяются по индукции следующим образом:
f
(0)
( x)  f ( x), d 0 f  f ( x) ;
f ( n ) ( x)  ( f ( n1) ( x))x , d n f  d (d n 1 f ) , n  1,2,3,...
40
13)
Если
функция
задана
параметрически:
x   (t ) ,
y   (t ) , тогда ее производные вычисляются по формулам:
f ( x) 
dy   dt 

 ,
dx   dt 
где
 
f ( x) 
dy
dx
,  
dt
dt
dy  d  /         


.
dx
  dt
 3
14) Если функция f (x) имеет непрерывную производную nго порядка на отрезке [a, b] , этот факт коротко обозначают так:
f ( x )  C n [ a, b] .
Пусть f ( x)  C n1 [a, b] и   (a, b) , тогда справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
n
f ( x)   f ( p ) (a)  ( x  a) p / p! f ( n1) ( )  ( x  a) n 1 /(n  1)!.
p 0
Остаточный член в формуле Тейлора иногда записывают в форме
Пеано
f
( n 1)
( )  ( x  a) n 1 /(n  1)! o(( x  a) n ) .
15) Если f (x) и g ( x)  C 1 [a, b] и f (a)  g (a)  0 для раскрытия неопределенности lim f ( x) / g ( x) удобно воспользоваться
x a
следующим результатом, так называемым правилом Лопиталя
f ( x) / g ( x)  lim f ( x) / g ( x)  f (a) / g (a) , g (a)  0 .
lim
x a
x a
41
Если g (a)  0 , f (a)  0 и f , g   C 1 [a, b] правило Лопиталя можно использовать повторно
f ( x) / g ( x)  lim f ( x) / g ( x)  f (a) / g (a) , g (a)  0 .
lim
xa
x a
16) Пусть  – точка экстремума непрерывной функции
f (x) . Если f ( x)  C 1 (a, b) и a    b , тогда f ( )  0 . Обратно,
если f ( )  0 и f ( )  0 , тогда точка  является точкой экстремума f (x) (  – точка минимума, если f ( )  0 и  – точка
максимума, если f ( )  0 ).
Пример 7. Пусть f ( x)  0 при a  x  b . Докажем, что
f ( x)  C  const .
Рассмотрим функцию
F ( )  f ( )  f (a ) 
f ( x)  f (a)
 (  a ) , a    x .
xa
Очевидно, что F (a)  F ( x)  0. Пусть при   c функция достигает своего экстремального значения, тогда
F (c)  0  f (c) 
f ( x)  f (a)
f ( x)  f (a )

.
xa
xa
Отсюда следует, что f ( x)  f (a) для любого x  (a, b] .
Пример 8. Функция y  x 2 / 3 имеет минимум при x  0 , однако производная в этой точке не существует. Этот простой пример показывает, что при отыскании экстремальных значений
необходимо принимать во внимание точки в которых f (x) не
существует.
42
17) Если в некоторой точке f ( x)  0 , а при переходе через
нее f  меняет знак, то в этом случае точку x называют точкой
перегиба.
Пример 9. y  2 /   arctgx , x  R . Производные этой функции равны
y 
y   
2

1
,
 1 x2
4

x
.
 (1  x 2 ) 2
Точка x  0 , является точкой перегиба графика этой функции.
При x  0 y   0 (выпуклость графика направлена вниз), а при
x  0 y   0 (выпуклость графика направлена вверх).
43
§3. Типовые задачи
Задача № 7
Вычислить пределы числовых последовательностей.
Таблица №7
№
Задание
№
Задание
ваваририанта
анта
1 2 n
1
2
lim n( n 2  1  n 2  1)
 4n 2  4n  1 
n 

lim 
n    4n 2  2n  3 


lim (n  3 n 3  5)n n
4
 10n  3 
lim 

n    10n  1 
lim n( n(n  2)  n 2  3)
6
 n  1

lim  3
n n  1


lim (( n 2  1)( n 2  4)  n 4  9) )
8
lim ( n 2  3n  2  n)
10
( 2n  1)!( 2n  2)!
lim
n
( 2n  3)!
1  4  7  ....  (3n  2)
lim
n
5n 4  n  1
12
( n  4)!( n  2)!
lim
n
( n  3)!
16
1  2  3  ...  n
18
3
n
5
n
7
9
n
n
11
13
15
17
lim
n
9n 4  1
44
14
3
5n
2 n n3
 n 1
2
lim  3n2  6n  7 
n    3n  20n  1 


1 1
1
1   2  ...  n
3 3
3
lim
n
1 1
1
1   2  ...  n
5 5
5
2n  7n
lim
n   2 n  7 n 1
n  3
lim 

n  n  1 
n 2
n 2
 n  n  1

lim  2
n n  n  1 


2
3
n  9n
lim
n
3n  4 9n 8  1
2
19
21
23
25
27
29
20
n 3  5  3n 4  2
lim
n   1  3  5...  ( 2n  1)
 5 13
3n  2 n 

lim  
 ... 
n
n  6
36
6


3
lim 1  2  3  4  ...  2n
n
22
n 1
 2n  3 
lim 

n    2n  1 
2n  5n 1
lim
n   2 n 1  5n  2
n / 6 1
n  5

lim 

n  n  7 
lim n  2 ( n  3  n  4 )
24
26
 5n  3n  1 

lim  2
n   5n  3n  3 


2
30
n
n3
lim (3 (n  2)2  3 (n  3)2 )
n
lim  2  4  ...  2n  n 
n
28
n 3  2n  2
n3

lim  7

29
2n  5n 


...

n    10 100
10n 


 n  n  1

lim  3
n
n

2


3
2n 2
Образец решения задачи№7.
Вычислим предел последовательности a n 
1  3  ...  2n  1
.
n2  3
Используя известную формулу для первых n членов арифметической прогрессии, найдем, что
1  3  ...  2n  1 
Наша
задача
сводится
n2
1
 lim
 1.
ла lim 2
n n  3
n 
3
1 2
n
45
1  2n  1
 n  n2 .
2
к
вычислению
преде-
Задача № 8
Вычислить предел функции.
Таблица № 8
Задание
№
варианта
1
3
5
7
9
11
13
lim
x 4
17
1  2x  3
x 2
2
x 3  7 x 2  15x  9
lim 3
x 1 x  4 x 2  21x  18
3
27  x  3 27  x
lim
x 0
x  23 x 4
1 x  1 x
lim
x 0
x
ln1  sin x 
lim
x 0
sin 4 x
4
6
8
Задание
 x 
cos 
2
lim  
x 1 1  x
cos 3x  cos x
lim
x 
tg 2 2 x
e x  e x  2
lim
x 0
sin 2 x
1  x sin x  cos 2 x
x 0
sin 2 x
lim
1 x
x 1 log x
2
10
lim
1  cos3 x
lim
x 0
4x2
12
1  cos 10 x
 3x  1 
lim

x 1 3x  1 
14

lim
2
ex 1
x2  1
lim
x 1 ln x
x 0
15
№
варианта
lim cos x
x 0
16
x2  2x  1
lim
x 1
ln x
18
19
1  sin 2 x
lim
2
x    4 x 
4
20
21
cos 5 x  cos 3x
lim
x 
sin 2 x
22
1
x 1

1
x
1
4  sin2 3 x

lim 5 

x 0 
cos x 
1
lim1  ln cos x 
tg 2 x
x 0
46
5 

lim 6 

x 0 
cos x 
ctg 2 x
x2  2x  1
lim 3
x 1 x  x 2  x  1
23
x6 2
24
x3  8
arcsin 2 x
lim
x  0 sin 3( x   )
26
3
lim
x 2
25
27
3
28
x 2  3x  3  1
lim
x 1
sin x
ctgx
limtg  / 4  x 
29
2 x 1  2
lim
x  0 ln(1  4 x )
ln 2 x  ln 
lim
x  / 2 sin( 5 x / 2) cos x
23 x  32 x
lim
x  0 x  arcsin x 3
x4 2
lim
x  0 3arctgx
30
x 0
Образец решения задачи № 8
1  3x  2
. Для вычисления
x 1
Найдем следующий предел lim
x 1
предела проведем алгебраические преобразования:
1  3x  2

x 1
3




 3x  3   x  1 

  1  3x  2 x  1
1  3x  2  1  3x  2  x  1

1  3x  2  x  1  x  1

x 1
,
1  3x  2
( x  1).
Точка x0  1 является точкой устранимого разрыва для функции
f x  
1  3x  2
.
x 1
После проведенных преобразований предел вычисляется подстановкой x  1 :
lim
x 1


1  3x  2
3 x 1
6 3
 lim
  .
x 1 1  3 x  2
x 1
4 2
47
Задача № 9
Вычислить производную от заданной функции.
Таблица № 9
Задание
Задание
№
№
варивариананта
та
arcsin x
1
2
y  sin x 
1  x2
y
1  x2
3
3
4
y x x x
y  x 2  x5  a
5
6
y  1  sin 4 x  1  sin 4 x
y  sinsinsin x 
1
x
7
8
2 x
3
1
 x
y  e  cos
y

 
3
 x
9
10
x2
3 x
1  x2
y

y  ln
1  x 3  x 2
1  x2
11
12
y  arctg tg 2 x
y  sin x
13
14
y  arctg cos x
y  arctg x  1  x 2


15
y  ln arctg 1  x 2
17
y  ln x  a 2  x 2
19
y  ln x 
21
23
25
27
29

1


2

16
y  sin x 
18
y
20
x


cos x

 x
sin2 x
y  ln cos2  1  cos2 x
y  x x  x2x
22
2
( arctge x )3
3
sin 2 19 x
y
19 cos 38 x
ctgx  x
y
1  xctgx
24
1
x2  1
y  ln arccos 1  e4 x
26
y  xarcsin x
28
ex
y
1  x2
y  (1  x 2 )earctgx
y
y  ln 4
1  2x
1  2x
30
48
y  ln( x 2  1) 
2

Образец решения задачи № 9
3  x2
Вычислим производную от функции f  x  
. Для
3  x2
этого используем формулы производной от сложной функции и
производной от частного:

u  uv  uv

Fx u   Fuu   u x ,   
.
2
v
v
В нашем случае получаем:
1 3 x 

f  x    
2  3  x 2 
2
1
2
 3  x   3  x   3  x   3  x  
3  x 
2
2
2
2 2
1 3  x 2  12 x



2 3  x2 3  x2 2

2

6x
3  x  3  x 
2
49
2 3

6x
3  x 
2
9 x
4
.
Задача № 10
Найти производную от функции, заданной параметрически.
Таблица № 10
Задание
Задание
№
№
вариварианта
анта
1
3
5
7
9
11
 x  a sin 3 t

3
 y  a cos t
 x  a (t  sin t )

 y  a (1  cos t )
2
 x  ( 2t  t 2 ) /(1  t 3 )

3
3
 y  ( 2t  t ) /(1  t )
 x  t (t cos t  2 sin t )

 y  t (t sin t  2 cos t )
 x  2 ln ctgt  1

 y  tgt  ctgt
 x  at cos t

 y  at sin t
6
4
8
10
12
 x  (1  t ) / t 2

2
 y  3 /(2t )  2 / t
 x  a (t sin t  cos t )

 y  a (sin t  t cos t )
x  1  t 2

3
y  t  t
 x  t (1  sin t )

 y  t cos t
 x  3 cos t

 y  4 sin t
x  t3  1

2
y  t  t 1
 x  2tgt

2
 y  2 sin t  sin 2t
 x  arcsin( t / 1  t 2 )

 y  arccos(1 / 1  t 2 )
 x  sin t

t
y  a
14
16
 x  ln(1  t 2 )

 y  t  arctgt
17
 x  2e t

t
y  e
18
 x  (1  t 3 ) /(t 2  1)

2
 y  t /(t  1)
19
 x  2t  t 2

3
 y  3t  t
20
x  t  t4

2
3
y  t  t
13
15
50
21
23
25
27
29
 x  3at /(1  t 2 )

2
2
 y  3at /(1  t )
1 2 1 4

x

t  t

2
4

 y  1 t2  1 t3

2
3
 x  sin 2 t

2
 y  cos t
22
26
 x  sin t

 y  ln cos t
 x  (1  ln t ) / t 2

 y  (3  2 ln t ) / t
28
 x  arctgt

2
y  t / 2
24
x  t3  1

2
y  t
 x  sin t

 y  cos 2t
30
 x  (t  1) / t
 x  cos t  sin t


 y  (t  1) / t
 y  sin 2t
Образец решения задачи №10
Рассмотрим параметрически заданную функцию:
 x  2 cos t
.

y

sin
t

В данном случае легко исключить параметр t , в самом деле
x2
x2
2
2
2
 cos t , y  sin t 
 y2  1.
4
4
Получено уравнение эллипса. Нетрудно получить явную
функцию, которая будет двузначной:
x2
y   1
.
4
На практике очень часто не удается исключить параметр t , поэтому при вычислении производной y x нужно воспользоваться
известной формулой:

y x  t , где x   t  ; y   t  .
 t

cos t
1
В нашем случае y x  t 
  ctgt .
 t  2 sin t
2
51
Задача № 11
Применяя правило Лопиталя, найти пределы следующих
функций (таблица 11).
Таблица № 11
Задание
Задание
№
№
вариварианта
анта
1
2
x  arctgx
e 3 x  3x  1
lim
lim
x 0
x 0
x3
sin 2 x
3
4
ln( tg 7 x )
tgx  sin x
lim
lim
x0 ln( tg 2 x )
x 0 sin x  x
5
6
x2  2x  1
lim 1  e x ctgx
lim
x 0
x 
ex
2
7
8
x  sin 2 x
lim
limcos x  x2
x 0 3 x 2  x
x0
9
10
1  tgx
1 
1
lim
lim



x  0,5  sin 2 x
x0 x
e x  1
1
11
12
ln x 2  3
2x
lim e  x x
lim 2
x 0
x 2 x  3 x  10
1
13
14
sin x  cos x
2
lim
tgx
x



lim
ln( tgx)

x
x 0  x 
4
x
15
16
23 x  32 x
tg
lim
2
x  0 x  arcsin x 3
lim
x 1 ln 1  x 
17
18
1  cos x
1  sin 3 x
lim
lim
 cos 2 x
x 0 1  cos x
x






2
19
20
3
limcos 2 x  x
2
x0
21
23
lim
x 2 (e x  e x )
x 0
1 
1
lim 2 

x  0 x
x sin x 
x sin 2 x
lim
x 0 1  cos( x  3 )
22
lim
x
52
3
1
e
lim cos x
x 0
24

ex

2

1/ x
ln sin x
(2 x   )2
25
27
29
a x a  1
lim
x  a tg ln( x / a )
tgx  sin x
lim
x  0 x (1  cos 2 x )
2
2
26
lim
x 0
28
cos x  1
sin 2 2 x
1 / cos x
x

lim  ctg 

2
x 
2
1 /( x  / 2 )
30
 x
lim  tg 

2
x 
sin 2 x  tg 2 x
lim
x 0
x4
2
Образец решения задачи № 11
1
 1
Найти предел: lim 
  . Для того, чтобы воспользоx sin x
x
ваться правилом Лопиталя перейдем от неопределенности
0
1
x  sin x
 1
«    » к неопределенности « »: lim
.К
   lim
0 x0 sin x x  x0 x  sin x
последнему пределу уже можно применить правило Лопиталя:
x  sin x
1  cos x
sin x
lim
 lim
 lim
 0.
x 0 x sin x
x 0 sin x  x cos x
x 0 2 cos x  x sin x
53
Задача № 12
Найти производную n-го порядка.
Таблица № 12
Задание
№
варианта
1
y  x  e ax
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
Задание
№
варианта
2
y  a2 x 3
y  5 e 7 x1
y  sin 2 x  cos x  1
4
4x  7
2x  3
y  lg5x  2
8
y
x
2( 3 x  2 )
y x
y  23 x5
y
y  3 e 2 x 1
y  lg3x  1
x
y
9( 4 x  9 )
y  4/ x
y  lg1  x 
5x  1
13( 2 x  3)
y  sin3x  1  cos 5x
y
6
y  e3 x 1
y  lg2 x  7
12
x
x 1
1 x
y
1 x
y  32 x 5
14
16
y  a 3x
y  lg x  4
18
28
2x  5
13(3x  1)
y  sin x  1  cos 2 x
4  15x
y
5x  1
y  75 x
11  12 x
y
6x  5
y  log3  x  5
30
y  2kx
10
20
22
24
26
54
y
y
Образец решения задачи № 12
Вычислим производную n-го порядка от функции y  ln
x 1
.
x 1
1
1

y   ln x  1  ln x  1  

,
x 1 x 1
1
1


,
y    1 


1

x  12
x  12
1
1




,
y    1   2 


1


2

x  13
x  13
............................................................................
y ( n )   1   2   ......  n  1 
  1
n 1
1
1
  1   2 .....  n  1 

n
 x  1
 x  1n
n
n
 1

1 
x  1   x  1
n 1
n  1!
   1  n  1!

.
n
n
n
2




x

1
x

1
x 1



55

Задача № 13
Составить уравнение касательной и нормали к данной кривой в точке x 0 .
Таблица № 13
Задание
Задание
№
№
вариварианта
анта
2
1
2
4x  x
y  3( 3 x  2 x )
y
4
x0  1
x0  2
3
4
x
y  x  x3
y 2
x 1
x0  1
x0  2
5
6
2x
y  2 x 2  3x  1
y 2
x 1
x0  2
x0  1
7
8
1  3x 2
y  x 2  8 x  32
y
3  x2
x0  4
x0  1
9
10
y  x3 x
y  34 x  x
x0  1
x0  1
11
1 x
y
1 x
x0  4
12
13
y  2 x 2  3x  1
x0  1
14
15
y  x  33 x
x0  64
16
17
y  2 x2  3
x0  1
18
56
x2
y
3
10
x0  2
16
y  63 x  4 x
3
x0  1
y  3 x 2  20
x0  8
y  84 x  70
x0  16
19
x 2  3x  6
y
x2
x0  3
x3  2
y 3
x 2
x0  2
x 2  3x  3
y
3
x0  3
1
x
20
x5  1
y 4
x 1
x0  1
x 29  6
y
x4
x0  1
22
25
2( x 8  2 )
y
3( x 4  1)
x0  1
26
y  2(3 x  3 x )
x0  1
27
x16  9
y
1  5x 2
x0  1
1
y
3x  2
x0  1
28
y  14 x  153 x  2
x0  1
30
3x  2 x 3
y
3
x0  1
y  2x 
x0  1
21
23
29
24
Образец решения задачи № 13
Построим касательную и нормаль к графику функции
x2
1
y
 2 x  3 в точке x0  1 : y  x   x 
, y(1)  0.
2
x
Уравнение касательной и нормали имеют вид:
y  y  x0   y x0    x  x0 ,
1
  x  x0 ,  y x0   0.
y x0 
В нашем случае уравнение касательной:
3
3
y  y  x0   , т.е. y   0 .
2
2
Формула для нормали непосредственно неприменима, поэтому запишем уравнение нормали иначе:
y  x0  y  y  x0    x  x0   0 .
Теперь ясно, что уравнение нормали: x  1  0 .
y  y  x0  
57
Задача № 14
Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках.
Таблица № 15
№ Задание
№ Задание
ваваририанта
анта
1
2
16
y  2 x  1  x  2; 1;5
y  x 2   16; 1;2
x
2
3
4
x2
8
y  3 2 x  2  8  x   1;
y    2x 
 5;
2
x

2
0;6
 2;1
2
5
6
y  2 x  x; 0;4
y  3 2 x  2   x  4   3;
 4;2
7
y  x  4 x  5; 1;9
8
9
y  3 2 x  1  5  x   2;
2
10
4
;  1;2
2
 x  2
2(  x 2  7 x  7)
y
; 1;4
x2  2 x  2
2
y  3 2 x  2   5  x ;
12
x2 8
y     8;  4;1
2 x
 2 x(2 x  3)
y 2
;  2;1
x  4x  5
18
2
22
 3;3
11
13
15
y  3 x 
14
16
1;5
17
19
21
58
4
1


8
x

15
;

2
;


2 
x2
10 x  10
;  1;2
x2  2x  2
y
y 4 x

4
; 1;4
x2

2 x2  3
y 2
;  3;3
x  2x  5
2
y  1  3 2 x  1   x  7 ;
 1;5
20
y  3 2 x  1  x  4 ; 0;4
y
10 x
; 0;3
1 x2
108
y  2x 2 
 59; 2;4
x
y
y  3 2 x 2  x  3;  1;6
23
y  x  4 x  2  8;  1;7
24
y  x2  2 x 
2;5
25
27
29
16
 13;
x 1
4x
;  4;2
4  x2
y  3 2 x 2  x  6;  2;4
26
y  3 2( x  2)2 1  x ;  3;4
28
2( x 2  3)
y 2
;  5;1
x  2x  5
30
4
1 

15
;
 2 ;2
x2
16
y  x2  4 x 
 9;  1;2
x2
y
y  8x 
Образец решения задачи № 14
Исследуем на экстремум функцию y  x 
1
на отрезx
1 
ке  ;2 . Находим производную от изучаемой функции:
2 
1  x  1   x  1
y  1  2 
.
x
x2
1
При  x  1 y  x   0 и функция убывает, а при 1  x  2
2
y  x   0 – функция возрастает. Следовательно, точка x  1 является точкой локального минимума – y 1  2 .
1 
Определяем значения функции на концах отрезка  ;2 :
2 
5
1 5
y    , y 2  
2
2 2
1 
Наименьшее значение функции на отрезке  ;2 :
2 
 1

ymin  min  y  ; y 1; y 2   y (1)  2 .
 2

Наибольшее значение функции:
5
 1

1
ymax  max  y  ; y 1; y 2   y    y ( 2)  .
2
2
 2

59
Задача № 15
Провести полное исследование функций и построить их
график.
Таблица № 15
№ Задание
№ Задание
ваваририанта
анта
1
2
y  ( x3  4) / x 2
y  ( x 2  x  1) /( x  1)
3
4
y  2 /( x 2  2 x)
y  4 x 2 /(3  x 2 )
5
6
y  12 x /(9  x 2 )
y  ( x 2  3x  3) /( x  1)
7
8
y  (4  x 3 ) / x 2
y  ( x 2  3x  3) /( x  4)
9
10
y  (2 x3  1) / x 2
y  ( x  1)2 / x 2
11
12
y  (1  1 / x) 2
y  (12  3x 2 ) /( x 2  12)
y  (9  6 x  3x 2 ) /( x 2  2 x  13)
13
14
y  8x /( x 2  4)
15
16
y  (( x  1) /( x  1)) 2
y  (3x 4  1) / x3
17
18
y  4 x /( x  1)2
y  8( x  1) /( x  1)2
19
20
y  (1  2 x3 ) / x 2
y  4 /( x 2  2 x  3)
y  ( x 2  2 x  7) /( x 2  2 x  3)
21
22
y  4 /(3  2 x  x 2 )
23
24
y  1 /( x 4  1)
y  ( x /( x  2))2
25
26
y  ( x3  32) / x 2
y  4( x  1)2 /( x 2  2 x  12)
27
29
y  (3x  2) / x3
y  ( x3  27 x  54) / x3
28
30
y  ( x 2  6 x  9) /( x  1)2
y  ( x3  4) / x 2
Образец решения задачи № 15
Провести полное исследование функции и построить график.
y  x 2 /( x  1) 2 .
1. Область определения: D( y )  (;1)  (1;) .
60
2. Функция ни чётна, ни нечётна, т.к.
y( x)  x 2 /( x  1) 2   y( x) .
3. Функция не является периодической.
4. Интервалы возрастания и убывания.
2 x( x  1)2  x 2  2( x  1) 2( x 2  x  x 2 )
2x
,
y 



( x  1)4
( x  1)3
( x  1)3
y  0 при x  0 ; y не существует при x  1.
x
(;0)
0
(0;1)
1
(1;)
y
–
0
+
не
–
сущ.

y

0
не

сущ.
Функция убывает при x  (;1)  (1;) .
Функция возрастает при x  (0;1) .
(0;0) – точка минимума.
5. Выпуклость и вогнутость кривой.
 2(( x  1)3  x  3( x  1) 2 )  2( x  1  3x ) 2(2 x  1)
y  


.
( x  1)6
( x  1) 4
( x  1) 4
y  0 при x  0,5 ; y  не существует при x  1 .
x  (;0,5) : y  0 – кривая выпукла;
x  (1;) : y  0 – кривая вогнута.
(0,5;1 / 9) – точка перегиба.
6. Асимптоты.
а) вертикальные: x  1 .
б) наклонные: y  kx  b .
61
lim
x  
f ( x)
 k , lim [ f ( x )  kx]  b .
x  
x
x
 0;
x   ( x  1) 2
k  lim
x2
b  lim
 1.
x   ( x  1) 2
y  1 – горизонтальная асимптота.
7. График.
Y
1
O
62
1
X
Контрольные задания для самостоятельной работы студентов
I курса
Высшая математика
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА,
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Составители: Червяков А.В., Зубков П.В., Репин А.Ю.
Издано в авторской редакции
Макетирование:
Редакционно-издательский отдел ГУЗа ЛР № 020484 от 02.02.1998 г.
Сдано в производство . .2005 г. Подписано в печать . .2005 г.
Формат 60х84/16. Объем
п.л.,
уч.-изд. Л. Бумага офсет.
Ризография. Тир. 500. Зак
.
Участок оперативной полиграфии ГУЗа,
ул. Казакова, 15.
63