Слайд 1 - Math.ru

Нестерова
Мария Вадимовна
учитель математики
Два высших образования
12 лет педагогической
работы , в т.ч. 8 лет в
гимназии в старших
профильных классах,
15 медалистов, в т.ч. 9 в
физ-мат классах.
Мое главное достижение
– это мои ученики !
Тема выступления
КОНЦЕРТ ДЛЯ КОМПЬЮТЕРА В
СОПРОВОЖДЕНИИ КЛАССА
ИЛИ
КАК МЫ ЭТО ДЕЛАЕМ…
Рекомендации для начинающих
ВОПРОСЫ





Курс и тема в курсе
Зачем?
Кто работает?
Технологии и средства
Помощь
Курс
и тема в курсе
Внеурочная
деятельность
Алгебра
(Малонаглядно,
много текстовой
информации,
требуется
обработка
содержания)
Геометрия
(Много чертежей,
символики, требуется
продумать анимацию)
Зачем?





Наглядность
Доступность и краткость в
изложении материала
Многократное использование как
целого, так и фрагментов
Внешняя привлекательность (не
путать с наглядностью!)
…Сформулируйте сами
Кто работает?
Преподавател
ь
(Договорись с
самим собой)
Преподавател
ь+ученик
Ученик
(Договорись с
собой и донеси
(Доступно и
это до
понятно объясни,
ребенка!)
чего хочешь!)
Технологии и средства
Наличие/отсутствие
технических
ресурсов
Наличие/отсутствие
соответствующих программных
продуктов
Умение работать с требуемыми
программами
Наличие/отсутствие в программе
соответствующих возможностей и
пути выхода из тупиковых ситуаций
ПРОСТЕЙШИЕ
тригонометрические
неравенства
Способы решения.
Решение тригонометрических
неравенств
с помощью единичной окружности
• Решим неравенство sin
у
t>a
Для этого:
• Начертим единичную окружность
в декартовой системе координат.
1
P
t2
а
1
• На оси синусов отметим значение
a, а на окружности – точки Рt
,
задающие числа, синус которых
равен a.
Рt
1
0
х
Решение тригонометрических
неравенств
с помощью единичной окружности
 Значения sin t, большие, чем
a, на оси синусов
расположены выше, чем a, но
не выше, чем 1.
 Дуга окружности, на которой
расположены точки Рt ,
отвечающие условию sin t
>a - это дуга между точками
Рt1
и Р t2
 Чтобы «пройти» по этой дуге,
следует двигаться от точки Р
t
к точке Рt против часовой 1
стрелки 2
у
1
Pt
а
2
Рt
1
1
0
х
Решение тригонометрических неравенств
с помощью единичной окружности
у
1
• Значение t1определяется
значением arcsin
• Значение t2 определяется
значением  arcsin
• Получаем: arcsin <
<
а
а
а t
Pt
 arcsin а
а
2
Рt
1
1
0
х
Решение тригонометрических
неравенств
с помощью единичной окружности
• Помним, что функция f(x)=sin x
является периодической,
повторяя свои значения через
каждые 2 .
• Чтобы записать решение
неравенства на множестве R,
следует добавить к обеим частям
полученного двойного
неравенства
1
Pt
а
2
arcsin at   arcsin a
слагаемое
у
2k :
arcsin а  2k t   arcsin a  2k
Рt
1
1
0
х
СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ
Теорема 5.
Если a<b, и c<d, то a+c<b+d.
Доказательство:
a<b  a+с<b+с
c<d  c+b<d+b
a+с<b+с, b+c<d+b  a+с<b+d
Если сложить почленно два и более верных
неравенства одного знака, то получится верное
неравенство.
СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ
Пример. Известно, что 7<a<10, 14<b<15. Оценить сумму, разность,
произведение и частное a и b.
•
Оценим сумму a+b:
7<a<10
+
14<b<15
21< a+b<25
•
Оценим разность a – b:
- 15< - b < - 14
+
7<a<10
- 8 < – b + a< - 4
-8<a–b<-4
Найдем объем цилиндра с радиусом оснований R и
высотой Н.
Р2
Р1
R
O1
H
• Построим
многоугольники Р1 и Р2 :
Р2 содержит круг –
основание цилиндра, Р1
содержится в круге –
основании цилиндра,
причем количество
сторон этих
многоугольников n.
Значит, Sp1 и Sp2  S(O;R).
O
• На многоугольниках Р1 и
Р2 как на основаниях
построим n – угольные
призмы с высотой Н.
Р2
R
Р1
O1
•Получается, что призма Р2
содержит цилиндр, а
призма Р1 содержится в
цилиндре.
•Т.к. n  , то
Vp1 и Vp2  Vцилиндра, т.е.
Vцилиндра  Sосн Н  R 2 H
H
где R – радиус основания
цилиндра, Н – высота.
O
у
y=f(x)
•Проведем плоскость ,
проходящую через ось тела,
и введем в этой плоскости
декартову систему
координат.

•Ось тела примем за Ох.
O
х
•Плоскость хОу пересекает
поверхность тела по линии,
для которой Ох – ось
симметрии.
•Пусть y=f(x) – уравнение той
части этой линии, которая
расположена выше оси Ох

у
•Проведем через точку А(х; 0)
плоскость Ох и обозначим V(x) –
объем той части тела, которая
лежит левее плоскости .
•V(x) – функция от х.
А h
В
х

х+h

х
•Проведем через точку В(х+h; 0)
плоскость Ох и обозначим V(x+h)
– объем той части тела, которая
лежит левее плоскости .
•V(x+h) - V(x) = V слоя тела,
заключенного между плоскостями
 и .
•V(x+h) - V(x) = V слоя тела,
заключенного между
плоскостями  и .
F
f
•Пусть F=max f(x) на [x; x+h],
f=min f(x) на [x; x+h].
•Тогда рассматриваемый слой
содержится в цилиндре с
высотой h и радиусом
оснований F и содержит в себе
цилиндр с высотой h и радиусом
оснований f.
x
f
h
F
VВНУТР .ЦИЛИНДРА  V ( x  h) V ( x)  VВНЕШ .ЦИЛИНДРА
f 2  V ( x  h) V ( x)  F 2
h
при h  0
f
F
h
x
f 2  f 2 ( x)
F 2  f 2 ( x)
V ( x  h) V ( x)
 V ' ( x)
h 0
h
lim
значит,V ' ( x)  f 2 ( x)
.
По формуле Ньютона – Лейбница
b
b
a
a
V (b) V (a)  V '( x)dx   f 2 ( x)dx
где x  a и x  b - плоскости, между
которыми заключается часть тела,
объем которой находят.
Таким образом, общая формула для
расчета объема тела вращения:
V
b
2
  f ( x)dx
a
Здесь y=f(x) – уравнение, задающее кривую, по
которой пересекается осевое сечение тела с его
поверхностью, a и b – плоскости, между которыми
расположено тело, объем которого ищется.
Ф(x)


O a
x
b
x
Ф( x1 )
O
x0  a
x1
x2
Ф( x2 )
xi 1
Ti
xi
Ф( xi )
Ф ( xn )
b  xn
x
Система координат
О – начало координат
Ox, Oy, Oz, - координатные оси
Oxy, Ozy, Ozx – координатные плоскости
Ox – ось абсцисс
Oy – ось ординат
Oz – ось аппликат
Mx – абсцисса точки M
My – ордината точки M
Mz – аппликата точки M
Содержание
Расстояние между точками
Дано:
A(x1,y1,z1)
B(x2,y2,z2)
Найти: AB
1. Проведем через A и B прямые, || оси z. Они пересекут плоскость xy в точках
A’ и B’. Проведем через точку A плоскость, || плоскости xy. Она пересечет
прямую BB’ в некоторой точке C.
2. По теореме Пифагора AB2=BC2+CA2
AB2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2
CB’=AA’
A’B’=(x2-x1)2+(y2-y1)2
AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2
BC=|z1-z2|
Содержание
Задачa №2
Дано:
ABCDA1B1C1D1-параллелепипед
P∈
R∈
T∈
Q∈
A1
(AA1B1B)
(AA1D1D)
C1D1
AA1
T
B1
P
D1
R
Построить:
Сечение параллелепипеда
плоскостью,
параллельной плоскости
(PRT) и проходящей
через точку Q
Q
B
A
D
C
C1
Задачa №2
Построение:
Построим сечение параллелепипеда плоскостью (PRT).
Построим проекции точек
P,R и T на ребра,
принадлежащие плоскости
основания:
A1
B1
prAB P = P1
prCD T = T1
Найдем след сечения.
R
M
Q
RT∩R1T1 = M
MN – след сечения
D1
P
prAD R = R1
PR∩P1R1 = N
T
P1
A
N
D
R1
T1
B
C
C1
Задачa №2
Найдем точки
пересечения плоскости
(PRT) с ребрами
параллелепипеда
A1
F
B1
D1
P
AB∩MN=G
PG∩AA1=E
PG∩A1B1=F
ER∩C1D=K
T
R
E
M
Q
A
N
G
B
EFTK – сечение параллелепипеда
плоскостью (PRT)
D
C
C1
K
Задачa №2
Искомая плоскость
параллельна плоскости
(PRT).
A1
Значит, прямые
пересечения искомой
плоскости и плоскости
(PRT) с гранями
параллелепипеда
параллельны
(по св-ву 1)
QS║FE, S∈AB
SY║FT,Y∈CD
XY║TK, X∈CD1
T
F
B1
P
D1
R
X
E
Q
A
Y
S
B
QSYX – искомая плоскость
C
D
C1
K
Доказательство
Допустим, что плоскости
α и β не параллельны
Тогда они пересекаются
по некой прямой с
Итак, α проходит через а,
причем а ll β, и
пересекает β по
прямой с => a ll c
Но α проходит также через
прямую b, причем b ll β
поэтому b ll c
Таким образом, через
точку М проходят две
прямые, параллельные
с, что невозможно
(теорема о
параллельных прямых)
Значит, наше допущение
неверно, и α ll β
Теорема доказана.
α
a
M
b
β
с
a1
b1
вершина
образующая
ось
направляющая
основание
Геометрия
Эвклида
5 постулатов,
9 аксиом,
23 начальных определения
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Сентябрь
2007 года