Работа по геометрии Глазыриной Ксении

Работа по геометрии
Выполнила: Глазырина Ксения
Ученица 8-А класса
Школы №125
Пифагор.
Немного из биографии.
• Около 570 г. до н. э. на Самосе родился
основоположник современной математики Пифагор.
• Отцом Пифагора был Мнесарх – резчик по драгоценным
камням. Имя матери Пифагора не сохранилось.
Некоторые называли ее Пифаидой, дочерью рода Анкея
– основателя Самоса.
• Учителями юного Пифагора были старцы Гермодамант и
Ферекид Сиросский.
• Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, а Ферекид
обратил его ум и взор к природе и в ней советовал
видеть своего первого и главного учителя.
• Мудрый Ферекид однажды сказал Пифагору: «Помни:
путешествия и память два средства, возвышающие
человека и открывающие ему врата мудрости.»
Учеба в Египте.(550г.до н.э. – 536г. до н.э.)
 Все дороги вели в Милет. Там Пифагор встретился с
мудрецами Фалесом и его учеником Анаксимандром.
 Пифагор принимает решение и отправляется в Египет.
 Он понимал, что путь к знаниям лежит через религию.
 Пифагор мужественно сносил все испытания и в конце концов
его настойчивость победила. Двери мемфисских храмов
открылись перед ним. Изучив «греческий» стиль мышления –
выбор самоочевидных истин (аксиом) и выявление с помощью
рассуждений (доказательств), ученый выбрал свой стиль.
 Пора ученичества подходила к концу. Нужно было ехать домой
и создавать свою школу.
Вавилонский плен (536 – 530г. до н. э.)




Путь на родину растянулся на долгие семь лет.
Попал в Вавилон, в качестве пленника.
В Вавилоне Пифагору, бесспорно, было чему поучиться.
Близится 530 г. до н. э. – 40-й год жизни Пифагора. Перед
ним вопрос о выборе жизненного пути, надо вырваться
на самостоятельную дорогу в жизни.
Постижение истины
 На родине поселяется в пещере в окрестностях Самоса.
 Его жизнь становится все более уединенной. Чем дальше
отходил Пифагор от жизни общества, тем теснее
сближался он с тайной общинной орфикой.
 Его занимала внутренняя философия единения с
природой. Он нашел, что единое первоначало природы –
это число.
 Теория чисел стала стержнем всей его философской
системы.
 Родина не дола Пифагору духовной свободы. Судьба
вечного странника вновь выбирала дорогу в Кротон.
530 г. до н.э. – 511 г. до н.э.
С приездом в Кротон начинается самый славный период в
его биографии.
Пифагор учредил религиозно-этическое братство.
Нравственные принципы и правила которого увековечены в
«Золотых стихах». Много изречений – символов актуальны и
в наше время. Главный символ братства – пентаграммапифагорейская звезда- звездчатый пятиугольник. Он
обладает поворотной симметрией пятого порядка –
симметрией жизни.
Последние годы жизни.
 Велась борьба против Пифагора и его братства. Он не
выдерживает и удаляется в Метапонте.
 Есть много версий смерти Пифагора.
 1 версия: согласно приданию, во время пожара в доме 6кратного олимпийского победителя рухнула центральная
колонна – погибли все и Пифагор
 2 версия: Пифагор находился в доме, но был спасен,
затем долго скитался в поисках пристанища, пока не
нашел его в Метапонте, где и провел остаток своих дней.
 3 версия: Пифагора не было, он был на острове Делос,
ухаживал за старцем Фереклидом
Теорема Пифагора.
 Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не
ассоциировалось бы с теоремой Пифагора.
 Причина популярности теоремы Пифагора триедина: это
простота – красота – значимость.
 Теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется
в геометрии почти на каждом шагу, и тот факт, что существует
около 500 различных доказательств этой теоремы
(геометрических, алгебраических, механических и других).
 Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое
доказательство носящей его имя теоремы.
Простейшее
доказательство.
Построим равнобедренный прямоугольный треугольник
АВС. На катетах и гипотенузе строим квадраты.
Тогда получим, что квадрат, построенный
на гипотенузе, содержит 4
исходных треугольника, а квадраты
на катетах по 2,
А
В
следовательно 4=2+2.
С
Древнекитайское
доказательство
1). Построим прямоугольный треугольник, а и в – катеты,
с – гипотенуза.
2). Достроим квадрат со стороной а+в.
3). В квадрате со стороной с, где с – гипотенуза,
построим треугольники, равные исходному
(а, в, с)
а
2
в
4). Тогда
c
S c
в
с другой стороны
с
1
S  4 * ( ab)  (a  b) 2
2
2
с
а
ñ  2àâ  à  2àâ  â
2
с
с
в
2
После сокращения получим
в
а
а
ñ2  à 2  â2
Доказательство с помощью
египетского треугольника
Построим египетский
треугольник с катетами а и в
и гипотенузой с, где а=3,
в=4, с=5.
Достроим его до квадрата со
стороной а+в
В квадрат со стороной с
«впишем» квадрат со
стороной а.
Мы знаем, что S=c*c=5*5=25,
но с другой стороны S=в*в+х=
=4*4+х=16+х, следовательно
Х=9=3*3, значит
ñ  à â
2
2
2
а
в
а
с
с
в
с
а
в
в
с
а
Доказательство с помощью
«Кресла невесты»
1). Построим треугольник, где а и в – катеты, с –
гипотенуза.
2). Достроим его до квадрата со стороной с,
площадь которого равна с х с.
3). Вырежем два треугольника и приложим их к
другим двум, соединив гипотенузами.
4), S полученной фигуры равна сумме
площадей двух прямоугольников и квадрата
с
со стороной а-в
с х с=2 х а х в + (а-в) х (а-в)
ñ  à â
2
2
2
а
в
Доказательство Евклида.
1)
Построим треугольник АВС,
где АВ и АС – катеты, ВС –
гипотенуза, квадраты на
катетах и гипотенузе.
2)
Рассмотрим треугольники АВD
и FBC, они равны.
3)
S(ABD)=1/2S(BJLD)
4)
S(FBC)=1/2S(ABFH)
Следовательно из 2),3),4)BJLD=ABFN
5)
Рассмотрим треугольники BCK
и ACE, они равны
6)
S(BCK)=1/2S(AGKC)
7)
S(ACE)=1/2S(JCEL)
Следовательно из 5),6),7) AGKC=JCEL
8)
BC * BC = S (BJLD) + S (JLEC) =
AB * AB + AC * AC
G
K
N
А
F
В
D
J
L
С
E
Доказательство с помощью достроения.
1). Рассмотрим ABPFDE
DE=AE как стороны квадрата.
FP=PB как стороны квадрата.
AB=DF как гипотенузы равных
треугольников.
Значит DFPE=PEAB
2). Рассмотрим ACBNMQ
CA=NM как катеты равных
треугольников
CB=MQ как кате5ты равных
треугольников
BN=AQ как стороны квадратов
3).Если вырезать четырехугольник CAQM
и повернуть его на 90 градусов, то
CAQM и EABP полностью
совместятся
CAQM=EABP и PFDE=CBNM
4). Рассмотрим треугольники FCD и QNM:
угол М и угол С равны, DC=NM;
FC=QM, значит треугольникb
равны.
Из всего получили площадь
ABNQ=ACDE+BCFP
следовательно
AB*AB=AC*AC+BC*BC
D
F
C
E
A
Q
P
B
N
M
Доказательство с помощью подобия
треугольников
Пусть CD – высота прямоугольного
треугольника ABC. На основе утверждения
(катет прямоугольного треугольника есть
среднее пропорциональное между
гипотенузой и отрезком гипотенузы,
заключенном между катетом и высотой,
проведенной из вершины прямого угла)
C
AC  AD  AB
AC 2  AD  AB
Аналогично
А
D
B
BC  BD  AB
2
Складывая эти равенства почленно и
учитывая, что AD+DB=AB
AC 2  BC 2  AD  AB  BD  AB  ( AD  DB )  AB  AB2
Задачи.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Дан прямоугольный треугольник OMK (угол К=90 градусов).
Запишите формулу теоремы Пифагора для этого
треугольника. Найдите сторону OM, если ОК=12см, МК=5см.
Найдите диагональ прямоугольника, если одна его сторона
больше другой на 2см, а его периметр равен 28см.
В прямоугольной трапеции основания AD и BC диагональ BD
равна 13см, а основания AD равно 12см. Найти сторону AB.
В равнобедренном треугольнике проведена медиана к
основанию. Найдите: а) боковую сторону треугольника, если
медиана равна 12м, а основание – 10м; б) основание, если
боковая сторона равна 13м, а высота, проведенная к
основанию, - 5м.
Из точки М к прямой а проведены перпендикуляр МК и
наклонные МА и МВ. Найдите расстояние АВ, если МК=12см,
МА=37см и МВ=13см. Сколько решений имеет задача?
Реши старинную задачу: Шест прислонили к стене, а затем
опустили его верхний конец вдоль стены на 3 локтя так, что
его нижний конец отодвинулся от основания стены на 9
локтей. Какой длины был шест?