F(M 0 )

Дифференцируемость ФНП
U
f(М0)
f(М1)
Т
f(М2)
y0
x0+Δx
x
x0
М1
М0
Δx
Δy М
2
y0+Δy
y
b
ΔyU=f(x0;y0+ Δy) - f(x0 ;y0)=f(M2) - f(M0)
ΔxU=f(x0+ Δx;y0) - f(x0 ;y0)=f(M1) - f(M0) частное приращение f(M) по аргументу y
частное приращение f(M) по аргументу x
 yU
U
 lim
 tgb
геометрически:

y

0
y
y
Опр 23. Частной производной функции
точке
M0
называется
Обозначают:
Lim
xk 0
U
(M 0 )
xk
 xk U
U=f(M)
xk
или
U x k ( M 0 )
по аргументу
xk
в
Полное приращение и полный дифференциал
U
dU
ΔU
f(М0)
D
f(М)
y0
x0+Δx
x0
М0
y0+Δy
y
М
x
ΔU = f (x10+ Δx1; x20+ Δx2, …, xn0+ Δxn ) - f (x10 ; x20, …, xn0). Это
приращение называется полным приращением ф. U
=f(M)
в точке
M0.
Опр 24. Функция U=f(x1,x2,…,xn ) называется дифференцируемой в точке М0
если ее полное приращение в М0 : ΔU = A Δx1+ B Δx2 + … +N Δxn + O ( r )
Опр 25. Линейная часть U называется дифференциалом функции U = f(M)
d U = A Δx1+ B Δx2 + … +N Δxn
Свойства дифференцируемых в точке функций
Теорема 5.
Если функция U=f(x1,x2,…,xn ) дифференцируема в точке М0 , то она
непрерывна в этой точке.
Замечание.
Но!
Дифференцируема ⇒ непрерывна.
Непрерывна ⇏ дифференцируема (не всегда)
Теорема 6. (Необходимое условие дифференцируемости)
Если функция U=f(x1,x2,…,xn ) дифференцируема в точке М0 , то в этой
точке существуют все частные производные и они равны
U
 A1
x1
U
 A2
x 2
U
U
 A3 ...
 An
x3
x n
Теорема 7. (Достаточное условие дифференцируемости)
Если функция U=f(x1,x2,…,xn ) имеет частные производные по всем
переменным не только в точке М0 , но и в ее окрестности и они непрерывны
в точке М0 , то U=f(x1,x2,…,xn ) дифференцируема в точке М0 .
Производная от функции, заданной неявно
Теорема 8. (Существования, единственности, непрерывности и дифференцируемости неявной ф.)
Пусть
1) F(x1,x2,…,xn , w)=0 и Fxi i  1, n определена и непрерывна в U(М0 ,δ)
2) F(M0 )=0
3) F‘W(M0 ) ≠ 0
Тогда ∃ U(М0 δ), где ∃! неявная функция W
= w(x1,x2,…,xn ),
определяемая уравнением F(x1,x2,…,xn , w)=0, такая что
а) W0=W(M0 )
b) W=w(x1,x2,…,xn ) непрерывна вместе со своими частными
производными, причем
В частности: Если
Fxi ( x1 , x 2 ,..., x n , w)
Fxi
W


 xi
Fw ( x1 , x 2 ,..., x n , w)
Fw
y=y(x)
y x
задана неявно уравнением
M0
Fx ( x0 , y 0 )

Fy ( x0 , y 0 )
F( x, y)= 0, то
Уравнение касательной плоскости к поверхности.
Уравнение нормали к поверхности.
N
М0
T
Опр 26. Плоскость T, в которой
расположены все касательные
прямые к линиям поверхности,
проходящим через заданную точку
М0, называется касательной
плоскостью к поверхности в точке М0.
Опр 26*. Нормалью N к поверхности S в точке М0 называется
прямая, перпендикулярная к касательной плоскости Т в точке М0.
Производная по направлению. Градиент.
Опр 27. Если каждой точке М области D поставлено в соответствие число U,
то говорят, что в области D задано скалярное поле U=U(M).
Опр 28. Производной скалярного поля U(М) в точке М0 по направлению s
называется число
U ( M 0 )
U (M )  U (M 0 )
 lim

s
| MM 0 |
M M 0
Теорема 9.
Если функция U=U(М) дифференцируема в М0 , то производная по
направлению s равна
U (M 0 )
U ( M 0 )
U (M 0 )
U U (M 0 )

cos  
cos b 
cos 
  lim
s

s

x

y

z
M M 0
Опр 29. Градиентом скалярного поля U=U(x,y,z) в точке М0 называется
вектор


U 
U
U
gradU ( M 0 ) 
i 
j 
k
x M
y M
z M
0
0
0
Свойства градиента и производной по направлению.
1. Производная функции U=U(М) в точке М0 по направлению s равна
проекции градиента этой функции на направление оси s
2. gradU ( M 0 ) является вектором нормали к поверхности уровня
U(М)=const в точке М0
3. Производная функции U=U(М) в точке М0 по направлению s имеет
наибольшее значение, если направление s совпадает с направлением
градиента. Это наибольшее значение равно | gradU ( M 0 ) |
4. Производная по направлению вектора, касательного к поверхности
уровня равна нулю.