Системы счисления Позиционные и непозиционные системы счисления. Цель занятия Изучить понятия позиционной и непозиционной систем счисления. Научиться записи чисел в позиционных системах счисления. Научиться переводить числа из одной системы счисления в другую. Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над числами. Символы для представления числовой информации называются цифрами. Системы счисления Непозиционные системы Позиционные системы От положения знака в изображении числа не зависит величина, которую он обозначает. Величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Например: VIII, XXI Например: 138, 335 характеристика В позиционных системах счисления значение каждой цифры в изображении числа зависит от ее положения (позиции) в ряду других цифр, изображающих число, а в непозиционных системах счисления каждый знак (цифра), употребляемый для записи чисел, всегда означает одно и то же число. Примеры непозиционных систем счисления: унарная, древнеегипетская, римская, славянская система нумерации. Примеры позиционных систем счисления: десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная, шестидесятеричная. НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Унарная (единичная) Древнеегипетская десятичная Римская Алфавитные системы счисления: Греческая, славянская, финикийская и др. Древнеегипетская десятичная чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево, вперемежку. Римская система счисления Символ I V X L C D M Значен ие в д.с.с. 1 5 10 100 500 1000 50 Mille тысяча Demimille Половина тысячи Centum сто Полусотня Две сложенные ладони Раскрытая ладонь Один палец Понятие _______________ Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусетен, десятков, пятков, единиц. Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Т.е. запомните: числа складываются при переходе от «большей» буквы к «меньшей», например: VI= 5+1=6 (V>I); числа вычитаются при переходе от «меньшей» буквы к «большей»: IX=10-1=9 (I<X). Алфавитная система счисления числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. В алфавитной системе счисления Древней Греции числа 1,2,…..,9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, для обозначения чисел 10,20,…..,90 применялись следующие 9 букв; для обозначения чисел 100, 200, ….., 900 – последние 9 букв В России славянская нумерация сохранилась до конца 17 века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах. В Славянской системе нумерации роль цифр также играли буквы алфавита, над которыми ставился знак титло число 324 в славянской системе записывалось в виде Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков: существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел; невозможно представлять дробные и отрицательные числа; сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения – это основной недостаток. Позиционные системы счисления: Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная шестидесятеричная Пример десятичной системы счисления Представим число 156 в виде суммы разрядных слагаемых: 156 = 1 * 10 + 5 * 10 + 6 * 10 Обозначим номер позиции каждой цифры данного числа, начиная с 0-й, справа налево: 210 156 = 1 * 10 + 5 * 10 + 6 * 10 Заметим, что в данном разложении номер позиции каждой цифры совпадает с показателем степени, в которую возведено число 10. Число 10 является основанием десятичной системы счисления (для изображения чисел в ней используется десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Название системы Основание Цифры, используемые в данной системе Двоичная 2 0,1 Восьмеричная 8 0,1,2,3,4,5,6,7 Десятичная 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Шестнадцатерич ная 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F Достоинства позиционной системы счисления простота выполнения арифметических операций ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел. Двоичная система счисления В компьютерах используется двоичная система счисления, т.к. она имеет ряд преимуществ перед другими системами: для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток – нет тока, намагничен – не намагничен и т.п.); представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво; возможно применение аппарата булевой алгебры (логика) для выполнения логических преобразований информации; двоичная арифметика намного проще десятичной. 0 1 Недостаток двоичной системы – быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел. Двоичная система счисления, является минимальной системой, в которой реализуется принцип позиционности в цифровой форме записи числа. В двоичной системе счисления значение каждой цифры по месту при переходе от любого данного разряда к следующему старшему увеличивается вдвое. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления В компьютерах используется также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Числа в этих системах читаются легко, как и десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 соответственно третья и четвёртая степени числа два).