(в-с) Например

Математика
5 класс
Условные обозначения
При работе с обучающей презентацией вы можете
воспользоваться кнопками:
выход
- выход из обучающей презентации;
- переход к главному или подчиненному
меню;
- вызов задачника;
- переход к предыдущему слайду;
- интересные сведения из истории
математики;
развития
- переход к следующему слайду внутри темы.
Если на слайде присутствует демонстрационная
анимация, то она управляется щелком мыши.
Кроме того, обозначаются:
•Определения и понятия, которые нужно знать,
выделены красным цветом.
•Основные правила, которые необходимо
выучить, обозначены значком
.
•Примеры выделены синим цветом.
Натуральные числа
Меры измерения величин
Дробные числа
Решение уравнений
Основы геометрии
выход
Натуральные числа
Понятие
Округление натуральных чисел
Сравнение натуральных чисел
Числовые и буквенные выражения
Сложение и вычитание натуральных чисел
Умножение и деление натуральных чисел
выход
Натуральные числа
Понятие
Для счета предметов или для указания
порядкового номера предмета применяют
натуральные числа.
- Три кубика
- Пять звездочек
- Семь человечков
Пятый человечек
(его порядковый номер -5)
Натуральные числа. Понятие
Любое натуральное число можно
записать с помощью десяти цифр
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Например: 32 ученика, 370 метров, 105 килограммов.
Такую запись чисел называют десятичной. Значение цифры
зависит от ее места в записи числа.
Число разбивается на разряды:
десятков, разряд сотен.
разряд
единиц,
разряд
Например: В числе 583 – 3 единицы, 8 десятков, 5 сотен.
Цифра 0 в числе обозначает отсутствие данного
разряда в десятичной записи числа.
Например: в числе 105 – цифра десятков отсутствует.
Натуральные числа. Понятие
Для чтения многозначных чисел их
разбивают, начиная справа, на группы по
три цифры.
Эти группы называют классами.
Три цифры – класс единиц,
Три цифры – класс тысяч,
Три цифры – класс миллионов,
Три цифры - класс миллиардов, и т.д.
Классы
Миллиардов
Миллионов
Тысяч
Единиц
Единицы
Десятки
Сотни
Единицы
Десятки
Сотни
Единицы
Десятки
Сотни
Единицы
Десятки
Сотни
Разряды
Например: число 15389000286 имеет 286 единиц в классе единиц,
0 единиц в классе тысяч, 389 – в классе миллионов, 15 единиц
в классе миллиардов.
Натуральные числа. Понятие
Числовой ряд, в котором натуральные
числа записаны по порядку, называется
натуральным рядом
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …
Единица является наименьшим натуральным
числом, наибольшего натурального числа
не существует.
Натуральные числа. Понятие
Любое натуральное число можно разложить на разряды:
123 = 1*100 + 2*10 + 3
5 891 = 5*1000 + 8*100 + 9*10 + 1
54 298 = 5*10000 + 4*1000 + 2*100 + 9*10 + 8
5 028 = 5*1000 + 2*10 + 8
30 204 = 3*10000 + 2*100 + 4.
И на оборот:
8*1000 + 3*100 + 5*10 + 2 = 8 352
9*10000 + 7*100 + 3*10 + 5 = 90 735.
Если обозначить буквой n какое-либо натуральное
число, то n-1 – это число, ему предшествующее, а n+1
– это число последующее.
Например: n=15, тогда n-1=14, n+1=16.
Натуральные числа. Понятие
Начертим луч ОХ так, чтобы
направо(сделайте щелк мышью).
0
1
2
3
О
А
В
С
Начало луча принято обозначать буквой
положение числа 0 (сделай щелк мышью).
Отметим на луче какую-нибудь точку А,
1(сделай щелк мышью).
он
шел
слева
Х
О,
она
определяет
над точкой напишем
Отрезок ОА называют единичным отрезком.
Отложим
отрезок
АВ,
равный
отрезку
ОА,
он
будет
соответствовать числу 2, и так далее(сделай щелк мышью). Мы
получили бесконечную шкалу. Ее называют координатным лучом.
Числа 0, 1, 2, 3, …, соответствующие точкам О, А, В, С
называют координатами этих точек.
Пишут: О(0), А(1), В(2).
Натуральные числа. Понятие
С числовыми шкалами в жизни мы встречаемся
часто:
0
1
2
4
0
3
0
2
0
1
0
3
4
шкала линейки
5
шкала термометра
шкала весов, спидометра
10
0
0
0
20
30 40 60
70
80
90
Натуральные числа. Понятие
задачи
1. Определите, какой из этих рядов является рядом натуральных
чисел:
1,2,3
1,2,3,…
0,1,2,3,…
2. Какое разложение соответствует числу 257?
2*100+5+7*10
2*100+5*10+7
2*10+5*100+7*10
3. Какое разложение соответствует числу 1058?
1*1000+5*100+8
1*1000+5*10+8*10
1*1000+5*10+8
4. Какое число соответствует разложению 4*1000+5*100+3?
4053
4530
4503
4350
5. Если n=254, то чему равно n-1?
254
257
253
250
6. Если n=254, то чему равно n+1?
254
257
255
250
7. Если n=254, то чему равно n+3?
254
257
253
250
8. Если n=299, то чему равно n+1?
2910
290
399
300
Натуральные числа. Округление
задачи
1. Округлите число 1058 до десятков.
1058
1060
1100
1050
10000
1050
1100
1050
2. Округлите число 1058 до сотен.
1100
1000
3. Округлите число 1058 до тысяч.
1000
10000
4. Округлите число 74337 до десятков тысяч.
74400
70000
74300
75000
74300
75000
5. Округлите число 74897 до тысяч.
74400
74000
6. 5630 - округлили число до десятков. Какое число могло быть
первоначально?
5631
5638
5635
5628
Натуральные числа
Округление
натуральных чисел
Если при подсчете количества или при измерениях точность не
важна, или число не постоянное, то такое число на практике
округляют.
Например: при переписи населения установлено, что в городе проживает
20115 чел. Но количество людей постоянно изменяется (рождение, смерть,
приезд, выезд). Поэтому говорят, что в городе проживает около 20000
чел.
В данном примере количество жителей указано округленным числом.
Алгоритм округления.
1. Определить разряд, до которого необходимо округлить число;
2. Если после разряда стоит цифра 0,1,2,3,4, то цифра этого разряда
остается без изменения, младшие заменяются нулями;
3. Если после разряда стоит цифра 5,6,7,8,9, то цифра этого разряда
увеличивается на 1, младшие заменяются нулями;
Например.
Необходимо округлить число 5394 до десятков. Получим 5390.
Необходимо округлить число 5394 до сотен. Получим 5400.
Необходимо округлить число 5394 до тысяч. Получим 5000.
Натуральные числа
Сравнение натуральных
чисел
При счете натуральные числа называют по порядку 1, 2, 3, 4, 5, 6,
и т.д.
Из двух натуральных чисел меньше то, которое при счете называют
раньше, и больше то, которое при счете называют позже.
Например: число 4 меньше 7, а число 10 больше 7. Наименьшее натуральное
число 1.
На координатном луче точка с меньшей координатой находится левее,
а с большей – правее.
0
О
1
2
3
4
А
5
6
7
8
9
В
10
С
Х
Например: точка А(4) лежит левее точки В(7), а точка С(10) правее точки В.
Для сравнения чисел используют специальные знаки < (меньше) и >
(больше). Результат сравнения записывают в виде неравенства.
Например 4<7, 10>7.
Можно использовать двойное неравенство,
так 7 больше 4 и меньше 10, то 4<7<10
Натуральные числа. Сравнение
Для сравнения чисел используют следующий алгоритм:
1. если в числах разное количество разрядов, то
больше из них то, в котором количество разрядов
больше;
2. при равных количествах разрядов числа
сравниваются поразрядно, начиная с наибольшего.
Например: 125 689 < 1285
56784<56984
95832>35632.
Сравнивают длины отрезков и записывают АВ>СD
Натуральные числа. Сравнение
Задачи
1. Какой знак сравнения нужно поставить вместо *?
23761 * 487
<
>
2. Какой знак сравнения нужно поставить вместо *?
23761 * 23987
3. Какое из двух чисел больше?
<
>
5689
5869
4. Какое число на координатном луче будет стоять правее?
345
или
365
;
873 или
837
5. Какое число на координатном луче будет стоять левее?
345
или
365
;
873
или
837
6. Как сравнить числа 56, 68, 45?
45<56<68
56<68>45
45>56>68
Натуральные числа
Числовые и буквенные
выражения
При решении задач сначала записывают действия, а выполняют
их потом. Полученные записи называют числовыми выражениями.
Например: (18*3+15)-11
Число, полученное в результате выполнения всех действий, в
числовом выражении называют значением этого выражения. (58)
Если в выражении заменить одно или несколько чисел буквой,
то полученная запись называется буквенным выражением.
Например: (а*в+15)-с
Значение этого выражения будет зависеть от того, какими
будут значения этих букв – переменных.
Например: выражение (2*а+5)-10
имеет значение 1 при а=3,
имеет значение 3 при а=4,
имеет значение 5 при а=5.
Натуральные числа. Числовые и буквенные выражения
Уравнением называют равенство, содержащее букву
(переменную), значение которой нужно найти.
Значение буквы (переменной), при котором из
уравнения получается верное числовое равенство,
называют корнем уравнения. Решить уравнение –
значит найти все его корни или убедиться, что
таковых нет.
В уравнениях принято
величину переменной х.
обозначать
неизвестную
Например:
х+5=11
уравнение,
корнем
является х=6. Проверим: 6+5=11, верно.
которого
Покажем решение уравнения: (49-х)+24=63.
Решение (сопровождайте решение уравнения щелком мыши):
(49-х)+24=63;
найдем неизвестное слагаемое
49-х=63-24;
49-х=39;
найдем неизвестное вычитаемое х=49-39;
х=10.
корнем уравнения является х=10
Натуральные числа.
Буквенные выражения
Задачи
1.Найти значение выражения (402+а):2
207
217
209
при а=16
209
217
207
при а=12
2.На одной полке 16 книг, а на другой на а книг больше. Сколько
книг на двух полках вместе? Какое из приведенных выражений
соответствует решению задачи?
16+а
16+(16+а)
(16+а)+а
Найдите значение этого выражения
20
24
36
при а=4
при а=6
36
22
38
3. Проверьте, какое из предложенных чисел
уравнения
10-х=х+2?
0
1
2
4
4. Проверьте, какое из предложенных чисел
уравнения
0
1
2
4
х+х=6-х?
5. Проверьте, какое из предложенных чисел
уравнения 88+(х-85)=210
120
209
207
210
является
корнем
является
корнем
является
корнем
Натуральные числа
Сложение и вычитание
натуральных чисел
Если прибавить к натуральному числу единицу, то получится
следующее за ним число.
Например, 6+1=7; 99+1=100.
Сложить числа 5 и 3 значит прибавить к числу 5 три раза
единицу. Получим:
5+3 = 5+1+1+1 = 6+1+1 = 7+1 = 8.
Пишут короче: 5+3 = 8
Числа, которые складывают, называют слагаемыми; число,
получающееся при сложении этих чисел, называют их суммой.
В записи 5+3=8 числа 5 и 3 – слагаемые, а число 8 – сумма.
Сложение чисел можно изобразить на координатном луче
(действия подтверждайте щелками мыши).
+3
0
1
5
6
7
8
Натуральные числа. Сложение чисел
Законы сложения
1. Переместительный.
Сумма
перестановки слагаемых
чисел
не
изменяется
от
а+в = в+а
Например: 5+4 = 4+5 = 9
2. Сочетательный. Чтобы прибавить к числу сумму двух
чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а
потом к полученной сумме прибавить второе слагаемое.
а+(в+с) = (а+в)+с = а+в+с
Например: 2+(8+6)=16
(2+8)+6 = 16
3. От прибавления нуля число не изменяется
Например: 5+0=5
а+0=а
Натуральные числа. Вычитание чисел
Рассмотрим задачу. Пешеход за два часа прошел 9 км. Сколько
он прошел за первый час, если его путь за второй час равен
4км?
В этой задаче число 9 является суммой двух чисел, одно из которых
известно и равно 4.
Действие, с помощью
слагаемых
находят
вычитанием.
которого
другое
по сумме и
слагаемое,
одному из
называют
Так как 5+4 = 9, то второе слагаемое равно 5. Пишут 9-4 = 5
Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым, а число
которое вычитают, - вычитаемым. Результат вычитания называют
разностью.
В примере 9-4=5, число 9 – уменьшаемое, 4 – вычитаемое, 5 –
разность.
Разность двух чисел показывает, на сколько первое число
больше второго или на сколько второе число меньше первого.
Покажем на координатном луче процесс вычитания
(действия подтверждайте щелком мыши).
0
1
5
9
-4
Натуральные числа. Вычитание чисел
Законы вычитания
1. Для того, чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала
вычесть из этого числа первое слагаемое, а потом из
полученной разности – второе слагаемое
а-(в+с) = а-в-с
Например: 12-(3+2) = 12-5 = 7
(12-3)-2 = 9-2 = 7
2. Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного
слагаемого, а к полученной разности прибавить другое
слагаемое
(а+в)-с = (а-с)+в = а+(в-с)
Например: (6+3)-2 = 9-2 = 7
6+(3-2) = 6+1 = 7
(6-2)+3 = 4+3 = 7
3. Если из числа вычесть нуль, оно не изменится.
а+0 = а
4. Если из числа вычесть это же число, получится нуль.
а-а = 0
Натуральные числа
Умножение и деление
натуральных чисел
Сумму, в которой все слагаемые равны друг другу,
записывают короче: 25+25+25 = 25*3 = 75.
Например, необходимо решить задачу.
В театре 20 рядов по 40 мест в каждом. Сколько мест в
театре?
Чтобы решить задачу, необходимо
20
число 40 сложить 20 раз.
рядов
40+40+…+40=?.
Это действие можно заменить
умножением 40*20=800
40 мест в каждом
Умножить число m на натуральное число n – значит
найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.
m*n = m+m+m+…+ m (n- раз)
Выражение m* n называется произведением
чисел m и n.
Числа m и n называются множителями.
Натуральные числа. Умножение чисел
Законы умножения
1. Переместительный. Произведение двух чисел не изменяется при
перестановке множителей.
а*в = в*а
Например 5*6=30 и 6*5=30
2. Сочетательный. Чтобы умножить число на произведение двух
чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а
потом полученное произведение умножить на второй множитель.
а*(в*с) = (а*в)*с = а*в*с
Например: 5*(3*2) = 5*6 = 30;
(5*3)*2 = 15*2 = 30;
(5*2)*3 = 30.
3. Произведение любого числа на 1 равно самому числу.
а*1 = а
4. Произведение любого числа на нуль равно нулю.
а*0 = 0
Натуральные числа. Деление чисел
Решим задачу. 48 карандашей разложили поровну в
коробки. Сколько карандашей лежит в каждой коробке?
4
По заданному произведению 48 и одному из множителей 4
необходимо найти неизвестный множитель.
Действие, с помощью которого по произведению и
одному из множителей находят другой множитель,
называют делением. Пишут: 48:4 = 12.
Число, которое делят, называют делимым; число,
на которое делят, - делителем; результат деления
называют частным.
Частое показывает,
делителя.
во
сколько
раз
делимое
больше
Натуральные числа. Деление чисел
Законы деления
1. Ни одно число нельзя делить на нуль
а:0
2. При делении любого числа на единицу получается
само число
а:1 = а
3. При делении числа на себя получается единица
а:а = 1
4. При делении нуля на любое число получается нуль
0:а = 0
Натуральные числа. Умножение и деление чисел
Умножение и деление на
разрядную единицу
Разрядной единицей называются числа, у которых старший разряд
равен 1, а остальные равны 0. Например: 10, 100, 1000, 10000.
При умножении числа на разрядную единицу к числу дописывают
нули столько раз, сколько нулей в разрядной единице.
Например: 548*100 = 54800, 2086*1000 = 2086000
При делении числа на разрядную единицу в числе вычеркивается
столько нулей, сколько нулей в разрядной единице
Например: 54800:100 = 548,
54800:10 = 5480,
2086000:1000=2086,
2086000:100=20860,
2086000:10=208600.
Натуральные числа. Умножение и деление чисел
Выражения (5+4)*3 и 5*3+4*3 имеют одно и то же значение
(5+4)*3 = 9*3 = 27 и 5*3+4*3 = 15+12 = 27
Поэтому справедлив распределительный
относительно сложения.
закон
умножения
Для того, чтобы умножить сумму на число, можно умножить
на это число каждое слагаемое и полученные произведения
сложить.
(а+в)*с = ас+вс
Аналогичен распределительный закон умножения относительно
вычитания.
Для того, чтобы умножить разность на число, можно
умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из
первого произведения вычесть второе
(а-в)*с = ас-вс
Распределительное свойство умножения позволяет
выражения вида: 3а+7а = (3+7)*а = 10а
26х-12х = (26-12)*х = 14х
упрощать
Относительно деления тоже применяется распределительный
закон.
Рассмотрим выражения: (2+4):2 и 2:2+4:2. Они имеют одно и
то же значение (2+4):2=6:2=3 и 2:2+4:2=1+2=3
Аналогично выражения (12-6):3 и 12:3-6:3 имеют одно и то
же значение. (12-6):3 = 6*3 = 2 и 12:3-6:3=4-2=2
Поэтому справедлив распределительный закон.
(а+в):с = а:с+в:с
(а-в):с = а:с-в:с
Распределительное свойство позволяет
вида: 3:а+12:а = (3+12):а = 15:а
26:х-12:х = (26-12):х = 14:х
упрощать
выражения
Натуральные числа. Умножение и деление чисел
Произведение
числа.
числа
n
на
себя
называется
квадратом
n*n =n2
Например: 52 = 5*5 = 25
Произведение числа n на себя три раза называется кубом
числа.
n*n*n =n3
Например: 53 = 5*5*5 = 125
Произведение числа n на себя m раз называется степенью
числа.
n*n*n…*n =nm
Например: 24 = 2*2*2*2 = 16
25 = 2*2*2*2*2 = 32
Единица, возведенная в любую степень, равна 1:
12 = 1*1 = 1;
13 = 1*1*1 = 1;
15 = 1*1*1*1*1 = 1
Если в выражение входят степени чисел, то их значения
вычисляют до выполнения остальных действий.
Например:
(4+3)2*52-83=72*25-512=49*25-512=1225-512=713
Натуральные числа.
Сложение и вычитание натуральных чисел
Задачи
1. Используя переместительное свойство сложения, вычислите:
35+18+25
74
77
78
101
47+24+13
82
84
76
80
2. Используя сочетательное свойство сложения, вычислите:
99+(21+16)
136
100
137
140
25+(13+75)
101
130
112
113
3. Вычислите, выбирая удобный порядок действий:
96
72
80
74
(12+96)-36
37-(37-98)
4. Вычислите:
98
59
13+0
0
13
15-15
0
30
105
5. Вычислить значение выражения (35+а)-23
При а=0
При а=43
При а=15
10
12
3
33
55
50
28
57
1
38
27
54
6. Решите уравнения:
32
85-х=35
х-87=13
99
100
50
х+37=87
55
(х-35)+12=32
124
50
55
41
Натуральные числа.
Умножение и деление натуральных чисел
Задачи
1. Найдите значение выражения:
30
60
15+15+15+15
56
16
8+8+20+20
2. Выполните действия, применив законы умножения:
1200
100 36*17+64*17 1700
170
25*(4*12)
13
130 4*6*25
1600
600
(13*2)*5
3. Укажите правильный ответ:
1
0
15
0
15*0=
15:15=
15:0=
0:15=
0
нельзя
15
0
4. Найдите значение выражения:
(а-12)*8 при а=22
53
80
(а+5):3 при а=28
11
24
5. Решите уравнение:
21
10
42
26х=260
(12+в)*2=84 30
100
54
20
Х:25=4
(95-х):5=15 45
6. Какое из чисел при делении
15
20
6
на 3 дает остаток 2?
на 5 дает остаток 3?
10
21
18
Натуральные числа.
Умножение и деление натуральных чисел на разрядную
единицу
Задачи
1. Найти значение выражения:
2810
2560
256*10=
2547
2560
256*100=
256*1000=
256000
2560
2. Найти значение выражения:
560
560000
56000:10=
5600
560
56000:100=
560
5600
56000:1000=
3. Найти значение выражения:
389*1000:100= 389000 38900
56200:100*100= 5620
56200
4. Выполните действия:
12*60=
72
720
25*400=
10000
100000
5. Решите уравнения:
100
10
3*х=30
11
10
3*(х-1)=30
256
25600
25600
2369
25600
256
5600
56
56
56000
56000
56
389
3890
562
562000
33000:30=
32000:160=
х:7=30
5*(х-1)=1250
110
1100
200
20
210
2100
2510
251
Натуральные числа.
Распределительный закон умножения
Задачи
1. Представьте в виде произведения выражение:
23а+37а= 60a
85в-70в=
60+2a
15b
15-b
49х+х=
32с-с=
49x
50x
31c
32c
2. Вычислите удобным способом:
3850
133
147
38*48+38*52= 3800
(21)*7=
87:15-57:15= 3
19*5=
2
95
101
3. Найдите значение выражения:
6в+5в при в=3
33
25
13х-8х при х=5
25
10
4. Раскройте скобки:
а:5-4
а:5-20
2*(х+3)= 2x+3
(а-20):5=
2x+6
3*(12-х)= 36-3x
(3+2х-х)*7= 21+x
21+7x
36-x
5. Решите уравнения:
8
5
4х+7х=33
3х+2х-8=32
3
11
31х-х=60
15х-5х-8=92
12
10
20
2
Натуральные числа.
Степень натуральных чисел
Задачи
1. Найти значение выражения:
13
25
32+22= 45
62:2+15=
225
15
32*5= 45
52:5-5=
33+23= 158 125 35
(53+15):5=
16
64
23*2= 10
43:8-7=
4
8
16
24=
34=
25
32
10
25=
35=
2. Найдите n, если:
81
9
n2=81 162
n2=121
100 200
n2=100 10
n2=196
9
3
n3=27 54
n3=8
5
15
n3=125 25
n3=216
8
2
n4=16 4
n4=81
25
3
n5=32 2
n6=64
33
24
56
1
0
10
30
16
28
3
0
1
16
81
27
243
125
25
11
21
12
18
13
14
8
2
16
5
36
6
9
3
27
2
4
36
Меры измерения величин
Меры времени
Меры длины
Меры веса
Меры площади
Меры объема
выход
Меры измерения величин
Меры времени
Время измеряется сутками, часами,
минутами, секундами.
1
1
1
1
сутки = 24 часа
час = 60 минут
минута = 60 секунд
секунда = 60 миллисекунд
Например: 2 суток = 48 часов = 48*60 минут = 2880 секунд
6 часов = 6*60 минут = 360 минут
360 минут = 360*60 секунд = 21600 секунд
Меры измерения величин. Меры времени.
Можно сравнивать и части, так
1
24
1 минута =
1 час =
суток
1
60
1 секунда =
часа
1
минуты
60
1 миллисекунда = 1 секунды
60
1
Например: 6 часов = 4
суток = 0,25 суток,
1
12 часов =
суток = 0,5 суток;
2
1
1
30 минут =
часа = 0,5 часа;
30 секунд =
2
2
15 минут =
1
часа = 0,25 часа;
4
15 секунд =
минут
1
4
=0,5 минут;
минут = 0,25 минут.
Меры измерения времени
Задачи
1. Выразите в часах: 2 суток 3ч.
26
51
48
2. Выразите в часах: 540 мин.
54
8
9
3. Выразите в часах: 14400с.
4
36
21
4. Выразите в минутах и секундах: 172с.
5. Выразите в часах и минутах: 150м.
2мин86с
2мин52с
3мин
2ч30м
232м
2ч30с
6. Сравните: 116мин и 2ч.
>
<
7. Сравните: 72ч и 3сут.
=
<
15ч90мин
16ч30мин
17ч
1ч
60ч
6ч
1сут6ч
1сут12ч
3ч
8. Вычислите: 5ч36мин+10ч54мин.
9. Выразите в часах: 360 мин.
10.Выразите в сутках: 36ч.
Меры измерения величин
Меры длины
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
В
Расстояние измеряется в
километрах (км), метрах (м),
дециметрах (дм), сантиметрах (см),
миллиметрах (мм)
7 8 9 10 11 12 13
7 8 9 10 11 12 13
А
20 км
1 сантиметр = 10 мм
1 дециметр = 10 см = 100 мм
1 метр = 10 дм =100 см = 1000 мм
1 километр = 1 000 м = 10 000 дм = 100 000 см = 1 000 000 мм
Например: 2 км
200 м
26 дм
50 см
=
=
=
=
2000 м;
20000 см;
260 см;
500 мм;
5000 м
3600 см
50 см =
2800 мм
=
=
5
=
5 км;
36 м;
дм;
280 см.
Меры измерения величин. Меры длины
Можно сравнивать и части, так
1 метр = 0,001 км
1 дециметр = 0,1 м = 0,0001 км
1 сантиметр =
0,1 дм = 0,01 м
1 миллиметр = 0,1 см =
Например: 5 м = 0,005 км;
0,01 дм = 0,001 м
36000м = 36 км;
20 см = 2 дм = 0,2 м;
36м = 0,036 км;
300 см = 30 дм = 3 м;
580 см = 58 дм =5,8 м;
500 мм = 50 см = 5 дм = 0,5 м
800 м = 0,8 км.
Меры измерения длины
Задачи
1. Выразите в сантиметрах 3м5см.
2. Выразите в метрах 40км3м.
35
305
4030
4003
350
40003
3. Выразите в километрах и метрах 5600м.5км
600м 56км0м 5км6м
4. Выразите в дециметрах: 680см.
6дм8см
68дм
6дм80см
5. Выразите в миллиметрах 548см.
5480
54800
54,8
6. Сравните 3 дм и 23 см.
<
>
7. Сравните 1км и 1002м.
<
>
2км
8. Вычислите 2км 300м + 1200м.
9. Выразите в метрах 2км300м.
1500м
20300м
10.Выразите в сантиметрах 500мм.0,5см
3км500м 2км4200м
23000м
2300м
50см
5см
Меры измерения величин
Меры веса
Вес измеряется в
граммах (г),
миллиграммах (мг),
килограммах (кг), центнерах (ц),
тоннах(т).
1 грамм = 1000 мг;
1 килограмм = 1000 г;
1 центнер = 100 кг ;
1 тонна = 10 ц = 1000 кг;
1
кг
3 кг
5 кг
Например: 2 кг = 2000 г;
200 кг = 2 ц;
26 ц = 2600 кг;
5 т = 5000 кг;
5000 г = 5 кг;
3,6 т = 36 ц = 3600 кг;
500 кг = 5 ц;
28000 мг = 28 г.
Меры измерения величин. Меры веса.
Можно сравнивать и части, так
1 миллиграмм = 0,001 г
1 грамм =
0,001 кг
1 килограмм = 0,01 ц = 0,001 т
1 центнер = 0,1 т
Например: 5 кг = 0,05ц = 0,005 т;
200 г = 0,2 кг;
300 ц = 30 т;
5000 мг = 5 г = 0,005 кг;
36000 г = 36 кг;
36 ц = 3,6 т;
580 кг = 5,8 ц =0,58 т;
800 кг = 0,8 т.
Меры измерения веса
Задачи
1. Сколько килограммов в 40ц?
400
4000
4
2. Сколько центнеров в 800кг?
8000
80
8
3. Выразите в граммах 13кг 200г. 13200
1320
132
4. Выразите в тоннах 1020ц.
102
10200
10,2
65т3ц 6т53ц
5. Выразите в тоннах и центнерах 653ц.
6. Сравните 3ц и 289кг.
=
<
>
7. Сравните 10ц и 1т.
=
<
>
8. Вычислите 15т354кг – 4т 876кг. 10т522кг
653т
10т478кг 11т522кг
9. Выразите в килограммах 1200г.
120кг
12кг
1кг200г
10.Выразите в тоннах 1200кг.
120т
1т200кг
12т
Меры измерения величин
Меры площади
Площадь поверхности измеряется в квадратных единицах:
квадратный километр (кв.км);
квадратный метр (кв.м);
квадратный сантиметр (кв.см); квадратный дециметр (кв.дм);
гектар (га); ар (а).
1 кв.км = 1 000 000 кв.м
1 кв.км = 100 га
12 кв. ед.
14 кв. ед.
1 га = 100 а
1 а = 100 кв.м
1 кв.м = 100 кв.дм
≈ 11 кв. ед.
Меры измерения площади
Задачи
1. Выразите 36дм2 в см2.
36
3600
360
2. Выразите 64000дм2 в м2.
6400
64
640
3. Выразите 24а в м2.
2400
240
24
4. Выразите 5га в м2.
500
50000
50
5. Выразите 600м2 в арах.
6
60
600
6. Выразите 13га в арах.
13
1300
130
7. Сравните 23га и 2300а.
=
<
>
8. Сравните 7а и 700м2.
=
<
>
9. Сравните 5га и 50000м2.
=
<
>
10.Сравните 2800м2 и 28га.
=
<
>
Меры измерения величин
Меры объема
Объем измеряется в кубических единицах:
кубический метр (куб.км); кубический сантиметр (куб.см);
литр (л); декалитр (дкл); гектолитр (гл).
1 куб.м = 1 000 000 куб.см
1 куб.см = 1000 куб.мм
1 гл = 100 л
1 дкл = 10 л
48 куб. ед.
0,2 л
1 л = 1 куб.дм
Меры измерения объема
Задачи
3л6мл
36
360
2. Выразите 5л в см3.
50
500
5000
3. Выразите 0,5л в дм3.
0,5
5
50
4. Выразите 10гл в л.
1
1000
100
5. Сравните 23л и 2300дм3.
=
<
>
6. Сравните 23л и 23дм3.
=
<
>
1. Выразите 36дм3 в литры.
7. Вычислите 2,5л+ 3дм3.
2,8л
8. Вычислите 4800см3 - 1дм3.4,7см3
5,5л
2,53л
3,8дм3
3,8см3
Решение уравнений
Понятие
Левая часть уравнения
представляет собой сумму
Левая часть уравнения
представляет собой разность
Левая часть уравнения
представляет собой произведение
Левая часть уравнения
представляет собой частное
Другие уравнения
выход
Решение уравнений
Понятие
Уравнением называют равенство, содержащее букву
(переменную), значение которой нужно найти.
Значение буквы (переменной), при котором из
уравнения получается верное числовое равенство,
называют корнем уравнения. Решить уравнение –
значит найти все его корни или убедиться, что
таковых нет.
В уравнениях принято обозначать
величину переменными х, y, z.
неизвестную
Например:
х+5=11
уравнение,
корнем
является х=6. Проверим: 6+5=11, верно.
которого
Решение уравнений. Понятие
Задачи
1. Проверьте, является ли корнем уравнения х-20=5
число 3? является нет
число 5? является нет
нет
да
число 35?
2. Какое из чисел является корнем уравнения (х-6)*(7-х)=0?
10
6
0
7
Сколько корней может быть у уравнения х-20=5?
2
1
Нет корней
Сколько корней может быть у уравнения (х-6)*(7-х)=0?
2
1
Нет корней
Сколько корней может быть у уравнения 35:0=0?
2
1
Нет корней
Решение уравнений
Левая часть уравнения
представляет собой сумму
Рассмотрим уравнения, в которых в левой части уравнения
находится сумма неизвестной переменной и числа, а в
правой части уравнения число, например 35+х = 75.
Расположение
слагаемых
не
важно
согласно
переместительному закону сложения 35+х = х+35. Для
нахождения неизвестного рассуждать нужно так:
Как найти неизвестное слагаемое?
Нужно от известной суммы вычесть известное слагаемое.
Например:
х + 35 = 75,
Сопровождайте демонстрацию решения уравнения щелком мыши.
Как найти неизвестное слагаемое х?
От известной суммы 75 нужно вычесть известное слагаемое 35
х = 75 – 35;
Х = 40.
Сделаем проверку.
Проверка:
40 + 35 = 75;
75 = 75, верно.
Ответ: 40.
Решение уравнений. Левая часть уравнений
представляет собой сумму
Аналогично рассуждая можно решить более сложное
уравнение.
Сопровождайте демонстрацию решения уравнения щелком мыши.
Например:
(х +? 25) + 38 = 98
Неизвестным является выражение в скобках (х + 25).
Как найти его?
Отнимем из суммы 98 известное слагаемое 38:
(х ?
+ 25) = 98 – 38;
Х + 25 = 60.
Теперь найдем неизвестное слагаемое х:
Х = 60 – 25;
Х = 35.
Сделаем проверку.
Проверка:
(35 + 25) + 38 = 98;
60 + 38 = 98;
98 = 98, верно.
Ответ: 35.
Левая часть уравнения
представляет собой сумму
Задачи
1. Чем в уравнении х+46=500 является неизвестное?
сумма
слагаемое
разность
2. Решите уравнение 124+х=876.
1000
752
725
3. Решите уравнение 2+20+х=42.
11
62
20
4. Решите уравнение х+24+76=120.
20
140
68
5. Решите уравнение(х+15)+20=65.
55
30
70
6. Решите уравнение 60+(15+х)=120.
195
55
45
Решение уравнений
Левая часть уравнения
представляет собой разность
Рассмотрим уравнения, в которых в левой части
уравнения находится разность неизвестной переменной
и числа, а в правой части уравнения число, например:
35-х = 25 или х - 35 = 65.
В процессе вычитания 25-5=20, число из которого
вычитают называется уменьшаемым (25), число которое
вычитают
называется
вычитаемым
(5),
результат
вычитания называется разностью (20).
Поэтому при решении уравнения необходимо выяснить
чем
является
неизвестное:
уменьшаемым
или
вычитаемым.
В
зависимости
от
этого
рассуждают
следующим образом.
Решение уравнений. Левая часть уравнений
представляет собой разность
Если неизвестным является уменьшаемое (х-35=65),
то к известной разности (65) нужно прибавить
известное вычитаемое (35).
Например:
х - 35 = 65.
Сопровождайте демонстрацию решения уравнения щелком мыши.
Как найти неизвестное уменьшаемое х?
К известной разности 65 нужно прибавить известное
вычитаемое 35.
х = 65 + 35;
Х = 100.
Сделаем проверку.
Проверка:
100 - 35 = 65;
65 = 65, верно.
Ответ: 100.
Решение уравнений. Левая часть уравнений
представляет собой разность.
Если неизвестным является вычитаемое (75-х=65),
то
из известного уменьшаемого (75) нужно
вычесть известную разность (65).
Например:
75 - х = 65.
Сопровождайте демонстрацию решения уравнения щелком мыши.
Как найти неизвестное вычитаемое х?
Из известного уменьшаемого 75 нужно вычесть известную
разность 35:
х = 75 - 65;
Х = 10.
Сделаем проверку.
Проверка:
75 - 10 = 65;
65 = 65, верно.
Ответ: 10.
Решение уравнений. Левая часть уравнений
представляет собой разность
Аналогично рассуждая можно решить более сложное
уравнение.
Сопровождайте демонстрацию решения уравнения щелком мыши.
Например:
(х +? 25) - 32 = 98
Неизвестным является выражение в скобках: (х + 25).
Как найти его, оно является уменьшаемым?
Прибавим к разности 98 известное вычитаемое 32:
(х ?
+ 25) = 98 + 32;
Х + 25 = 130.
Теперь найдем неизвестное слагаемое х:
Х = 130 – 25;
Х = 105.
Сделаем проверку.
Проверка:
(105 + 25) - 32 = 98;
130 - 32 = 98;
98 = 98, верно.
Ответ: 105.
Левая часть уравнения
представляет собой разность
Задачи
1. Чем в уравнении х-15=65 является неизвестное?
уменьшаемое
вычитаемое
разность
2. Чем в уравнении 65-х=25 является неизвестное?
уменьшаемое
вычитаемое
разность
3. Решите уравнение х-15=65.
50
80
40
4. Решите уравнение 65-х=25.
50
80
40
5. Решите уравнение( х+15)-30=80.
95
125
15
6. Решите уравнение 95-(х+43)=45.
2
97
93
Решение уравнений
Левая часть уравнения
представляет собой произведение
Рассмотрим уравнения, в которых в левой части уравнения
находится произведение неизвестной переменной и числа а в
правой части уравнения результат, например 3*х = 36.
Расположение
сомножителей
не
важно
согласно
переместительному
закону
умножения
3*х
=
х*3).
Для
нахождения неизвестного сомножителя рассуждать нужно так:
Как найти неизвестный сомножитель?
Нужно
известное
произведение
разделить
на
известный
сомножитель.
Например:
3 * х = 36.
Сопровождайте демонстрацию решения уравнения щелком мыши.
Как найти неизвестный сомножитель х?
Известное
произведение
36
нужно
разделить
на
известный
сомножитель 3:
х = 36 : 3;
Х = 12.
Сделаем проверку.
Проверка:
3 * 12 = 36;
36 = 36, верно.
Ответ: 12.
Решение уравнений. Левая часть уравнений
представляет собой произведение
Аналогично рассуждая можно решить более сложное
уравнение.
Сопровождайте демонстрацию решения уравнения щелком мыши.
Например:
(х -? 25) * 4 = 60.
Неизвестным является выражение в скобках (х - 25)
Как найти его?
Разделим 64 на известный сомножитель 4:
(х ?- 25) = 60 : 4;
Х - 25 = 15.
Теперь найдем неизвестное уменьшаемое х:
Х = 15 + 25;
Х = 40.
Сделаем проверку.
Проверка:
(40 - 25) * 4 = 60;
15 * 4 = 60;
60 = 60, верно.
Ответ: 10.
Левая часть уравнения
представляет собой произведение
Задачи
1. Чем в уравнении х*15=135 является неизвестное?
делимое
сомножитель
произведение
2. Решить уравнение х*15=135.
9
2025
105
3. Решить уравнение (х+36)*2=120.
204
276
24
4. Решить уравнение 8*(45-х)=160.
65
25
1235
5. Решить уравнение 2х+5х=49.
42
56
7
6. Решить уравнение 3х+68+2х+32=200.
20
95
305
Решение уравнений
Левая часть уравнения
представляет собой частное
Рассмотрим уравнения, в которых в правой части
уравнения находится частное неизвестной переменной и
числа, а в правой части уравнения число, например:
35:х = 5 или х:3 = 12.
В процессе деления 75:3=25, число которое делится
называется делимым (75), число на которое делят
называется
делителем
(3),
результат
деления
называется частным (25).
Поэтому при решении уравнения необходимо выяснить
чем является неизвестное: делимым или делителем. В
зависимости от этого рассуждают следующим образом.
Решение уравнений. Левая часть уравнений
представляет собой частное
Если неизвестным является делимое(х:3=12),
известное
частное
(12)
нужно
умножить
известный делитель (3).
то
на
Например:
х : 3 = 12.
Сопровождайте демонстрацию решения уравнения щелком мыши.
Как найти неизвестное делимое х?
Известный делитель 3 нужно умножить на известное частное
12:
х = 12 * 3;
Х = 36.
Сделаем проверку.
Проверка:
36 : 3 = 12;
12 = 12, верно.
Ответ: 36.
Решение уравнений. Левая часть уравнений
представляет собой частное
Если неизвестным является делитель (75:х=5), то
известное
делимое
(75)
нужно
разделить
на
известное частное (5).
Например:
75 : х = 5.
Сопровождайте демонстрацию решения уравнения щелком мыши.
Как найти неизвестный делитель х?
Известное делимое 75 нужно разделить на известное частное
5:
х = 75 : 5;
Х = 25.
Сделаем проверку.
Проверка:
75 : 25 = 5;
5 = 5, верно.
Ответ: 25.
Решение уравнений. Левая часть уравнений
представляет собой частное
Аналогично рассуждая можно решить более сложное
уравнение.
Сопровождайте демонстрацию решения уравнения щелком мыши.
Например:
(49 ?- х) : 3 = 23
Неизвестным является выражение в скобках (49 - х).
Как найти его, оно является делимым?
Умножим частное 23 на известный делитель 3:
(49? - х) = 23 * 3;
49 - х = 39.
Теперь найдем неизвестное вычитаемое х:
Х = 49 – 39;
Х = 10.
Сделаем проверку.
Проверка:
(49 - 10) : 3 = 23;
39 : 3 = 13;
13 = 13, верно.
Ответ: 10.
Левая часть уравнения
представляет собой частное.
Задачи.
1. Чем в уравнении х:15=9 является неизвестное?
делимое
делитель
частное
2. Чем в уравнении 135:х=9 является неизвестное?
делимое
делитель
частное
3. Решите уравнение х:18=9.
162
2
27
4. Решите уравнение 210:х=7.
1470
30
5. Решите уравнение 15:х=0.Нет
6. Решите уравнение х:37=0.Нет
3
решения
15
0
решения
15
0
7. Решите уравнение (х-25):4=100.
375
0
50
8. Решите уравнение 36:(48-х)=9.
276
52
44
Решение уравнений
Другие виды уравнений
Если в уравнении присутствует выражение с переменными,
то сначала необходимо выполнить действия, упрощающие
выражения.
Все
рассуждения
должны
соответствовать
законам
сложения
и
умножения
(переместительный,
сочетательный и распределительный).
Например:
(3х + 5х) * 3 = 72.
Сопровождайте демонстрацию решения уравнения щелком мыши.
Выполним действия в скобках:
8х * 3 = 72.
Применим переместительный закон умножения:
8*3*х = 72;
24х = 72.
Найдем неизвестный сомножитель:
х = 72:24;
Х = 3;
Сделаем проверку.
Проверка:
(3*3 + 5*3) * 3 = 72;
(9 + 15) * 3 = 72;
24 * 3 = 72;
72 = 72, верно.
Ответ: 3.
Решение уравнений. Другие виды уравнений
Есть уравнения, левая часть которых представляют
собой произведение, а правая часть равна нулю.
Тогда рассуждают следующим образом:
Произведение равно нулю в том случае, если один
или оба сомножителя равны нулю.
Например: х * 25 = 0.
Произведение равно нулю,
может быть равен нулю.
25≠0, значит х=0.
Проверка: 0*25=0;
0=0, верно.
Ответ: 0.
то
каждый
из
сомножителей
Решение уравнений. Другие виды уравнений
Рассмотрим более сложные уравнения:
1. Решить уравнение:(х-5)*63 = 0.
Решение:
(х-5)*63 = 0;
63 ≠0, значит
х-5=0;
Х=5.
Проверка: (5-5)*63=0;
0*63=0;
0=0, верно.
Ответ: 5.
2. Решить уравнение: х * (1 - х) = 0.
Решение:
х * (1 - х) = 0;
Х=0 или
1 - х = 0;
тогда х=0 или
х=1.
Проверка: подставим х=0:
подставим х=1:
0* (1 - 0) = 0;
1 * (1-1) = 0;
0*1 = 0;
1 * 0 = 0;
0=0, верно.
0=0, верно.
Ответ: 0, 1.
В данном уравнении мы получили два решения.
Решение уравнений. Другие виды уравнений
Существуют уравнения, которые имеют
решений.
Так уравнение: х*(2-х)*(5-х) + 12 =
решения:
х*(2-х)*(5-х) = 12 – 12;
х*(2-х)*(5-х) = 0;
Х=0 или х=2 или х=5.
Ответ: 0, 2, 5.
два
12
и
более
имеет
три
Есть уравнения, корнями которых могут быть любые числа.
Например: х*0=0, при любых значениях х.
Говорят: уравнение имеет множество решений.
Может сложиться ситуация когда у уравнения решения нет.
Например: 5 : (х-3) = 0 .
Частное равно нулю, тогда и только тогда, когда
делимое равно нулю, а 5 ≠ 0. Решения нет.
Другие виды уравнений
Задачи
1. Сколько корней будут иметь следующие уравнения:
Множество
один
два
три
(х-4)*(5-х)=0? Нет корней
Множество
один
два
три
х*(5-х)*(1-х)=0? Нет корней
х:38=0?
38:х=0?
х:х=0?
х2=0?
0*х=0?
один
два
три
Множество решений
Нет корней
один
два
три
Множество решений
Нет корней
один
два
три
Множество решений
Нет корней
один
два
три
Множество решений
Нет корней
один
два
три
Множество решений
Х=5
Х=4 или Х=5
3. Решите уравнение (2х+3х-15)*(х-1)=0.
Х=3 или Х=1
Х=3
Х=4 или Х=1
4. Решите уравнение (3х-39)*(х-41)*(125-5х)=0.
Решений нет
Х=13, Х=41 или Х=25
Х=4 или Х=1
5. Решите уравнение х2=0.
Х=0
решений
Нет корней
2. Решите уравнение (х-4)*(5-х)=0.
Х=4
решений
Решений нет
Множество решений
Да, ваш ответ верен
Нет, ваш ответ не верен
Дробные числа
Обыкновенные дроби
Десятичные дроби
выход
Обыкновенные дроби
Понятие
Сравнение обыкновенных дробей
Сложение и вычитание обыкновенных дробей
Смешанные числа. Действия над ними
выход
Обыкновенные дроби
Понятие
Возьмем яблоко и разрежем его на 4 равные части. Эти равные
части называют долями.
Себе возьмем одну долю. Так как яблоко
разрезали на 4 долей, то мы взяли
«одну четвертую часть яблока».
Пишут так: 1 .
4
Если мы возьмем 3 доли, то скажем
«мы взяли три четвертые яблока» и
запишем: 3 .
4
3
2
Записи вида: 4 , 4
называют обыкновенными дробями.
Обыкновенные дроби. Понятие
Причем,
число,
которое
определяет на сколько частей
разделили
называется
знаменателем (пишут его под
дробной
чертой),
а
число,
которое
показывает
сколько
взяли – числителем (пишут его
над дробной чертой).
ЧИСЛИТЕЛЬ
3
4
ЗНАМЕНАТЕЛЬ
Рассмотрим еще пример: торт разрезали
на 8 долей, возьмем 5.
Взяли 5 торта.
8
Дроби можно изображать на координатном луче.
Возьмем на луче отрезок ОА, разделим его на 6 равных отрезков и
отметим 1 , 2 , 3 , И Т.Д.
6
0
1
6
6
2
6
6
3
6
1
4
6
5
6
А
Обыкновенные дроби. Понятие
Если яблоко разрезали на 4
части а взяли 3,
то в дроби 3 числитель 3
4
меньше знаменателя 4, такие
дроби называются
правильными.
Но если взять 4 части или
больше
(5,
6),
то
в
полученных дробях
, 6
числитель
4 , 5
4
4
4
больше знаменателя.
Такие дроби называются
неправильными.
Обыкновенные дроби. Понятие
Разделим 3 одинаковых яблока между четырьмя детьми.
Число 3 не делится нацело на 4.
Поэтому разделим каждое яблоко
на 4 части и дадим каждому
по одной
части от каждого
яблока.
1
4
Каждая часть – это
яблока, а три такие части 1 1 1 3 яблока. Значит, каждый получил 3 .
  
4
4 4 4 4
Дробь получилась при делении 3 яблок на 4 равные
3 .
части:
3: 4 
4
Поэтому дробную черту можно понимать как знак
деления
Обыкновенные дроби. Понятие
С помощью дробей можно записывать результат деления
двух любых натуральных чисел.
Например:
27 : 3 
27
3
5
 9;3 : 1   3;5 : 6 
3
1
6
И наоборот.
Запишем число 3 в виде дроби со знаменателем 5.
Какое число делится нацело на 5, чтобы получилось 3?
15.
15
3

Получим:
5
Любое натуральное число можно записать в виде дроби
с любым натуральным показателем.
Числитель этой дроби будет равен произведению числа
на этот знаменатель.
Закон (а+в):с=а:с+в:с можно записать в виде дроби:
ab
a
b


c
c
c
Внимание!
Обыкновенные дроби.
Понятие
При ответе
указатель мыши
нужно установить
на кнопку так,
чтобы она изменила
свое изображение
на
Задачи
1. Какая часть круга заштрихована?
1
2
2
4
1
8
2
8
2
4
4
4
4
8
1
2
14
34
7
10
7
17
17
7
7
17
4
3
7
10
12
5
5
12
2. Какая часть круга заштрихована?
3. Дробь с числителем 7 и знаменателем 17 записывается так:
4. Какая из данных дробей является правильной?
1
2
1
2
5. Представьте число 5 обыкновенной дробью со знаменателем
12.
60
12
12
60
6. Разделите на 6 человек 3 буханки хлеба.
1
6
3
2
Каждый получит по …
2
3
6
1
6
12
Обыкновенные дроби
Сравнение дробей
Разделим одно яблоко на 4 равные части,
возьмем две. 2
4
Две такие части вместе составляют
1
пол яблока, что соответствует дроби
2
2
1
Говорят, что дроби
и
равны
4
2
1 2
и пишут: 
2 4
2
Сравните
и 1 . Они равны.
4
1 2 8

4 8 4
1
Сравните
и
.
8
2
Они тоже равны.
1 4

2 8
=
.
=
=
Обыкновенные дроби. Сравнение дробей
На координатном луче равные дроби соответствуют одной и
той же точке.
1
В( 2 )
0
1
4
2
4
1
3
4
А
Будем сравнивать дроби с равными знаменателями.
5
Пирог разрезали на 8 частей. Гости съели
8
осталось.
,
3
8
-
<
Что больше?
3
5

8
8
Из двух дробей с одинаковым знаменателем меньше та, у
которой меньше числитель, и больше та, у которой больше
числитель.
На координатном луче правее находится дробь, которая
больше.
1
0
3
8
5
8
А
Обыкновенные дроби.
Сравнение
Задачи
1. Сравните дроби
1 и 3.
=
<
4
4
7
8
и
4
8
14
34
и
>
.
=
<
>
4
.
34
=
<
>
1
2
1
3
и
2
6
.
=
<
>
7
10
и
10
.
10
=
<
>
1
5
и
1.
=
<
>
5
5
и
1.
=
<
>
Обыкновенные дроби
Сложение и вычитание
обыкновенных дробей
Научимся складывать и
равными знаменателями.
вычитать
обыкновенные
дроби
с
Яблоко разрезали на 4 части, взяли 1 часть, потом еще две.
Сколько всего взяли частей?
Всего получается 3 части, значит:
1 2 3
 
4 4 4
=
+
Аналогично,
2 3 5
 
8 8 8
+
=
Обыкновенные дроби. Сложение и вычитание обыкновенных дробей
При сложении дробей с одинаковыми знаменателями
числители складывают, а знаменатель оставляют
тот же.
a b ab
 
c c
c
Научимся вычитать дроби с одинаковыми знаменателями.
На тарелку положили 5 частей торта, разрезанного на
8 частей. Гости съели 2 части. Сколько осталось?
Осталось 3 доли.
8 5 3
 
8 8 8
При
вычитании
дробей
с
знаменателями
из
числителя
вычитают числитель вычитаемого,
оставляют тот же.
a b a b
 
c c
c
=
одинаковыми
уменьшаемого
а знаменатель
Обыкновенные дроби.
Сложение и вычитание
Задачи
1. Выполните сложение дробей:
2 3
 
4 4
4
4
5
4
5
8
1
4
3 4
 
8 8
8
8
7
8
7
16
1
н
4
1 4
 
5 5
5
5
5
10
5
25
11
2 1
 
3 3
1
3
2
3
10 7
 
10 10
1
1 
5
2
5
3
0
3
10
3
5
5
5
4
5
32
44
x
43
43
12
43
76
43
12
0
13 31

67 67
18
67
44
134
44
67
2. Выполните вычитание дробей:
1
2
3. Решите уравнение:
x
1
н
0
Внимание!
При ответе
указатель мыши
нужно установить
на кнопку так,
чтобы она изменила
свое изображение
на
Обыкновенные дроби.
Смешанные числа.
Действия над ними
Разделим 5 яблок между 4 детьми. Можно это сделать так –
разделим каждое яблоко на 4 части,
тогда каждый ребенок получит
5
по 5 частей, т.е
.
4
Поступим по другому: дадим каждому по целому яблоку и
оставшееся яблоко разделить на 4 части.
Тогда каждый получит 1  1 яблока.
4
1
1
Сумму 1 
принято записывать короче 1 .
4
4
Запись читают так: «Одна целая и одна четвертая».
Такое число называется смешанной дробью,
1
в которой 1 называют целой частью, а
- его дробной
4
частью.
И в первом и во втором случае мы смогли поровну разделить
яблоки между детьми. Таким образом получается,
5
что числа 5 и 1 равны: 1
.
1
1 
4
4
4
4
Обыкновенные дроби. Смешанные числа. Действия над ними
Число, которое будет характеризовать данную
часть запишем 2 3 ,
3
где 2 – целая часть числа,
4
4
- дробная часть
числа. По другому это же число можно получить
делением 11 на 4, т.е. 11
4
Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо:
1. Разделить числитель на знаменатель с остатком;
2. Неполное частное будет целой частью
3. Остаток дает числитель, а делитель – знаменатель дробной
части.
47
Например: Запишем неправильную дробь
в виде смешанного числа.
9
Делим 47 на 9. Неполное частное равно 5, а остаток равен 2.
Значит, 47  5 2 .
9
9
Чтобы представить смешанное число в виде неправильной
дроби, надо:
1. Умножить его целую часто на знаменатель дробной части;
2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части;
3. Записать полученную сумму числителем, а знаменатель дробной
части оставить без изменения.
2
Например: Запишем смешанное число 5 9
в виде неправильной дроби.
Делим 5 умножим на 9, получим 45. полученному произведению прибавим
2 – 47. Получим дробь 47
.
9
Обыкновенные дроби. Смешанные числа. Действия над ними
Рассмотрим как нужно поступать если необходимо сложить
два смешанных числа.
Напомним,
что
операция
сложения
переместительному закону сложения.
подчиняется
2
И так на тарелке 2 4 яблок. Сколько будет лежать яблок,
если на нее положит еще 1 1 ?
4
Так как смешанные числа представляют собой сумму целой
и дробной части, то мы можем отдельно сложить целые и
дробные части: 2 1
2
1
2 1
3
3
2 1  2  1  2 1   3   3
4
4
4
4
4 4
4
4
+
=
Если в процессе сложения дробная часть будет собой
представлять неправильную дробь, то необходимо выделить
целую часть и добавить ее к имеющейся.
5 6
11
3
3
2 1  3   3 1  4
8 8
8
8
8
Обыкновенные дроби. Смешанные числа. Действия над ними
При вычитании смешанных чисел нужно поступить согласно
закону вычитания.
Так как смешанные числа представляют собой сумму целой
и дробной части, то мы можем отдельно вычесть целые и
отдельно вычесть дробные части числа.
-
=
3
3
4
И так, на тарелке
яблок. Сколько будет лежать
яблок, если с нее забрать 1 1 ?
4
3 1
3
1
3 1
2
3  1  (3  )  (1  )  (3  1)  (  )  2
4 4
4
4
4 4
4
Если
при
вычитании
смешанных
чисел
дробная
часть
уменьшаемого меньше дробная часть вычитаемого, то необходимо
из целой части уменьшаемого выделяют одну единицу.
1
2
1
2
5
2
3
3  1  (2  1  )  (1  )  (2  )  (1  )  1
4 4
4
4
4
4
4
1 2
5 3 2
3

1

2
или короче: 4 4 4  1 4  1 4
Аналогично вычитают смешанные числа из натуральных.
5
8 5
3
4 1  3 1  2
8
8 8
8
Обыкновенные дроби.
Смешанные числа. Действия над ними
Задачи
1. Выполните сложение дробей:
2
1
1 3 
4
4
4
3
8
4
3
4
2
3
4
1
9
8
1
1
8
2
1
8
1
4
2 
5
5
2
5
5
3
4
5
2
1
13  2 
3
3
11
1
9

8
3
2. Выполните вычитание дробей:
2
1 7
 
10 10
1
1 
5
1
3
11
6
10
1
4
10
1
5
1
1
5
2
1
0
1
3
12
1
1
10
4
5
3. Выполните действия удобным способом:
(
17 2 26 5
 
 
43 11 43 11
50
54
48 1
3
 )

45 9 45
1
1
9
43 7
43 11
1
7
11
46
9
46
45
Внимание!
При ответе
указатель мыши
нужно установить
на кнопку так,
чтобы она изменила
свое изображение
на
Десятичные
дроби
Понятие
Сравнение десятичных дробей
Сложение и вычитание десятичных дробей
Приближенное значение. Округление чисел
Умножение десятичных дробей
Деление десятичных дробей
Проценты
выход
Десятичные дроби
Понятие.
0
1
4
0
3
0
2
3
0
1
0
0
0
5
Например: 1 метр содержит 100 сантиметров,
10 дециметров; 1 килограмм содержит 1000 грамм и т.д.
Тогда,
2
4
Все
единицы
мер,
которые
используются в жизни соотносятся
между
собой
десятыми,
сотыми,
тысячными долями.
1
10
наоборот
дециметра,
1
сантиметр
составляет
1
килограмма,
1000
1 копейка составляет 1
гривны и т.д.
100
1 грамм составляет
Знаменатели этих дробей числа 10, 100, 1000
и т.д.
1
100
метра,
Такие дроби у которых знаменателем являются числа
10, 100, 1000 принято называть десятичными и
записывают их особым образом:
десятичные дроби. Понятие.
целую часть отделяют от дробной части запятой.
Например: вместо
десятых»).
Так 6 дм 3 см= 6
6
3
10
пишут 6,3 (читают: «6 целых 3
3
17
дм=6,3дм; 4 гр. 17 коп= 4
р.=4,17 гр.
100
10
Если
десятичная
дробь
правильная
(ее
целая
часть
отсутствует , то перед запятой пишут 0: 57 =0,57(читают:
100
«ноль целых 57 сотых).
Числитель дробной части должен иметь столько же цифр,
сколько нулей в знаменателе. Тогда, если цифр меньше, то
их приписывают слева.
Например: 7 21  7 021  7,021
1000
6кг 24 г  6
1000
24
024
кг  6
кг  6,024кг
1000
1000
Десятичные дроби.
Понятие.
Задачи.
1. Какая десятичная дробь соответствует обыкновенной:
2

10
0,02
0,2
0,20
5

100
0,05
0,5
0,005
50

100
0,05
0,50
0,5
1
2

10
1,2
1,02
417
 0,417 4,17
100
5417
 5,417 541,7
100
0,12
41,7
54,17
2. Какая десятичная дробь соответствует частному:
47:10=
4,7
0,47
0,047
9:10=
0,9
0,09
90
6827:100= 6,827 68,27 0,6827
33:100=
3,3
0,33
0,033
123:10= 0,123 1,23 12,3
15:1000= 1,5 0,15
0,015
3. Какая обыкновенная дробь соответствует десятичной:
0,2=
2
5
1
5
2
10
0,25=
1
4
25
10
25
100
0,5=
1,05=
5
10
105
100
1
2
105
10
10
5
105
1000
4. Какую десятичную дробь можно представить в виде суммы
разрядных слагаемых:
88,8
808,08 80,808
8
8 *100  8 
100

Десятичные дроби
Сравнение десятичных
дробей.
Если взять отрезок АВ, длиной 6см=60мм и сравнить его
длину в дециметрах:
6см = 0,6дм, 60мм =
60
100
дм = 0,60дм.
Таким образом, десятичные числа 0,6 и 0,60 выражают
длину одного и того же отрезка, эти дроби равны:
0,6=0,60.
А
60мм = 6см = 0,6дм
В
Если в конце десятичной дроби приписать нуль или
отбросить нуль, то получится дробь, равная
данной.
Например:
0,87=0,870;
0,5400=0,54;
21=21,0=21,00.
десятичные дроби. Сравнение десятичных дробей.
Сравним две десятичные дроби: 3,596 и 3,57.
Десятичные дроби сравнивают по разрядам начиная со старшего.
Сравнивать надо начиная со старших разрядов 3=3; 0,5=0,5;
0,09>0,07 – тогда 3,596 > 3,57
Проверим
сравнение
чисел
с
помощью
сравнения
обыкновенных дробей. Уравняем число знаков после запятой:
3,596 и 3,570. Сравним эти дроби, представив их в виде
570
3570
596
3596
3

;
неправильных: 3 1000  1000 ; и
.У
этих
дробей
1000 1000
одинаковые знаменатели, значит из них больше та, у которой
числитель больше: 3596>3570 тогда 3596  3570
и 3,596>3,57
1000
1000
Чтобы сравнить две десятичные дроби, можно сначала уравнять у
них число десятичных знаков, а потом отбросив запятую,
сравнить получившиеся натуральные числа
или сравнивать по разрядам начиная со старшего.
На координатном луче равные дроби будут определять одну и ту же
точку, большая дробь располагается правее меньшей.
Сравним на координатном луче числа: 0,4 , 0,6 , 0,60 и 0,8
,разделив единичный отрезок на 10 частей, каждую из которых еще
на 10. Таким образом:0,4 < 0,6 < 0,8.
1
0,4
0,6=0,60
0,8
о
В
С
Д
А
Десятичные дроби.
Сравнение.
Задачи.
1. Сравните десятичные дроби:
=
<
=
>
<
0,3 и 0,4
0,6 и 0,59
=
<
=
<
>
0,59 и 0,587
0,79 и 0,8
=
<
17,99 и 18
0,53 и 0,5209
=
>
<
2. Какую цифру можно поставить вместо звездочки, чтобы
неравенство было верным:
1
любую
1
0
0
2,*1 < 2,02
6,413 > 6,4*8
0,3982 < 0,3*84 8
1,892 < 1,*0765 8
любую
9
9
4,5*8 > 4,493
5*,683 < 50,6*1 7
9
0
1
любую
3. Сравните числа, не восстанавливая цифры:
=
>
<
4,3** и 4,7**
**,412 и *,9*
=
<
95,0** и 94,*3* <
*,*** и **,**
<
>
=
<
4. Какие натуральные числа стоят между числами
18,5
18;19
нет
3,7 и 5,03 3;4;5 4;5 3,9;4 18,2 и 18,9
4,7 и 6,6 5;6 4;5;6 Нет
43,5 и 45,42 нет
44,5
44;45
>
>
>
2
0
0
>
>
Десятичные дроби
Сложение и вычитание
десятичных дробей.
Чтобы прибавить десятичные дроби 3,7 и 2,651, сначала
уравняем количество цифр после запятой:3,7=3,700. Запишем
числа столбиком, записав числа так, чтобы запятая была под
запятой, разряды под разрядами и сложим каждый разряд,
запятую оставим на месте:
3,700
+ 2,651
6,351
Проверим сложение, сложив эти дроби в виде обыкновенных:
3,7  3
Значит,
700
651
;2,651  2
.
1000
1000
700
651
700  651
1351
351
3,7  2,651  3
2
5
5
6
 6,351.
1000
1000
1000
1000
1000
Мы получили один и тот же результат.
десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей.
Найдем разность тех же чисел 3,7 и 2,651, сначала уравняем
количество цифр после запятой:
3,7=3,700. Запишем
числа столбиком, записав числа так, чтобы запятая была
под запятой, разряды под разрядами и вычтем каждый
разряд, запятую оставим на месте:
3,700
- 2,651
1,049
Проверим вычитание, найдя разность этих дробей в виде
обыкновенных:
3,7  2,651  3
700
651
700  651
49
049
2
1
1
1
 1,049.
1000
1000
1000
1000
1000
Мы получили один и тот же результат.
Алгоритм сложения (вычитания) десятичных дробей:
1. Уравнять в этих дробях количество знаков после
запятой;
2. Записать их друг под другом так, чтобы запятая
была под запятой;
3. Выполнить
сложение
(вычитание),
не
обращая
внимание на запятую;
4. Поставить в ответе запятую под запятой
десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей.
Любую десятичную дробь можно расписать как сумму ее
разрядов:
число 0,296=0,2+0,09+0,006, тогда
цифра 2 определяет десятые,
9 – сотые,
6 – тысячные доли.
Поэтому первый разряд после запятой называют разрядом
десятых, второй – разрядом сотых, третий – разрядом
тысячных. Саму запись числа в виде суммы разрядов
называют разложением числа по разрядам.
Например число 36,578 = 30 + 6 + 0,5 + 0,07 + 0,008,
тогда в числе 3 десятка, 6 единиц, 5 десятых, 7 сотых,
8 тысячных.
Десятичные дроби складывают, вычитают и сравнивают по
разрядам.
Сравним 2,684 и
старших разрядов
2,684<2,69.
2,69. Сравнивать надо начиная со
2=2; 0,6=0,6; 0,08<0,09 – тогда
Десятичные дроби.
Сложение и вычитание.
Задачи.
1. Вычислите:
3,81 4,8 3,711 2,87-0,64=
3,7+1,1=
7,53+2,46= 7,776 7,532 9,99 10-0,25=
7,55+2,46= 10,01 9,101 9,11 68,3-23,8=
2. Вычислите удобным способом:
7,78 6,78 7,73
0,27+1,78+5,73=
9,14-5,67-2,33=
5,7 5,8
1,14
1,777+9,878+2,223= 14,223 13,878 8
37,45-(26,45+8,88)= 2,12 19,88 14,78
23,63+9,78-2,63=
23,63 33,78 30,78
6,73-(4,73-2,87)=
6,87 4,87 0,87
3.Решите уравнения:
х+7,54=8,24
15,78 0,78
0,7
3,99-х=0,88
3,11 4,87 4,11
х-16,53=14,47
2,06
31
21,06
2,56 2,814 2,23
10,75 9,75 9,25
44,5 65,92 45,5
Десятичные дроби
Приближенное значение
чисел. Округление.
2
2
Длина отрезка АВ больше, чем 4см
меньше, чем 5см. Если обозначить х
В длину отрезка, то 4<x<5.
А
0
На рисунке видно, что арбуз весит больше,
чем 3 кг и меньше, чем 4 кг. Обозначим
вес арбуза буквой х, то 3<x<4. Число 3
называют
приближенным
значением
х
с
недостатком, а число 4 – приближенное
значение х с избытком.
1
2
3
4
5
и
-
Если
a<x<b,
то
а
называют
приближенным значением числа х с
недостатком, а b – приближенным
значением х с избытком.
В
А
0
1
2
3
4
5
Длина отрезка АВ ближе к 5см, чем к
4см. Говорят, что длина отрезка
приблизительно равна 5 см. Длина
отрезка округлена до целых.
Если отрезок измерить более точно, то заметим, что его длина больше,
чем 4,5 , но меньше чем 4,6 и ближе находится к числу 4,6 мы
округлили число до десятых. Говорят: «Длина отрезка АВ приблизительно
равна 4,6». Обозначают знаком ≈.
Алгоритм округления.
1. Определить разряд, до которого необходимо округлить число;
2. Если после разряда стоит цифра 0,1,2,3,4, то цифра этого
разряда остается без изменения, младшие заменяются нулями,
если они целые и отбрасываются , если они дробные: десятые,
сотые, тысячные;
3.Если после разряда стоит цифра 5,6,7,8,9, то цифра этого
разряда увеличивается на 1, младшие заменяются 0, если они
целые и отбрасываются , если они дробные: десятые, сотые,
тысячные;
Например:
необходимо
необходимо
необходимо
необходимо
округлить
округлить
округлить
округлить
число
число
число
число
53,846
53,846
53,846
53,846
до
до
до
до
целых. Получим 54.
десяток. Получим 50.
десятых. Получим 53,8.
сотых. Получим 53,85.
Десятичные дроби.
Приближенное значение. Округление.
Задачи.
1. Округлите 0,909:
0,9
0
1
до единиц
до десятых
0,9
0,91
1
до сотых
1
0,91
0,90
2. Округлите 81,0054:
81
80
8
до десяток
до десятых 80
до единиц
до сотых
81
82
80
81,00
3. Найдите приближенное значение числа 1,25
1,25
1,3
1,2
с недостатком
c избытком
1
1,3
1,2
4. Какое из чисел соответствует неравенству: 4<a<6
6
6,1
5
4,8
3,9
4
81,1
81
81,01
81
5,99
5. Решите уравнение 25x-9x=12 и результат округлите
1
10
0
0,7
до десяток
до десятых 0,8
1
до единиц
10
0
0,75
Десятичные дроби
Умножение десятичных
чисел
Умножим десятичное число 1,83 на 4 в столбик не обращая
внимания на запятую. А в полученном
1,83
результате запятой отделим столько цифр справа,
Х
4
сколько их в десятичном числе (два знака).
7,32
Проверим наши действия.
Умножить любое число на натуральное, это равносильно
сложению.
Так: 1,83*4=1,83+1,83+1,83+1,83=7,32.
Мы получили тот же результат.
Алгоритм умножения десятичного числа на натуральное:
1. Умножить числа, не обращая внимания на запятую;
2. В полученном произведении отделить запятой столько
цифр
справа,
сколько
их
отделено
запятой
в
десятичной дроби.
1,83
1,83
Умножим десятичное число 1,83 на 10.
Х 10
Х 100
На справа нули можно не писать,
18,30
183,00
тогда 1,83*10=18,3
Умножим десятичное число 1,83 на 100. Аналогично
1,83*100=183.
Заметим, что при умножении десятичной дроби на 10,
100, 1000 и т.д. число остается без изменения, но
переносится запятая вправо на столько цифр, сколько
нулей стоит в множителе.
Например:
Мы перенесли запятую
на 1 знак вправо.
Мы перенесли запятую
на 2 знака вправо.
0,0063*10=0,063
0,0063*100=0,63
0,0063*1000=6,3
Мы перенесли запятую
на 3 знака вправо
Чтобы
умножить десятичное число на 10, 100, 1000 и
т.д., надо в этом числе перенести запятую на
столько
цифр
вправо,
сколько
нулей
стоит
в
множителе после единицы.
Алгоритм умножения десятичного числа на десятичное:
1. Умножить числа, не обращая внимания на запятую;
2. В полученном произведении отделить запятой столько
цифр справа, сколько их отделено запятой в обоих
множителях вместе.
Например: 0,254*0,03=0,00762.
В произведении получилось цифр
меньше,
чем
надо
отделить
запятой, тогда нули дописывают.
0,254
x 0,03
0,00762
Умножить число на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. – то же самое, что
разделить число на 10, 100, 1000.
Поэтому воспользуемся правилом:
Чтобы
умножить десятичное число на 0,1; 0,01; 0,001 и
т.д., надо в этом числе перенести запятую на столько
цифр влево, сколько нулей стоит в множителе перед
единицей.
Например:
6,3*0,1=0,63
Мы перенесли запятую
на 1 знак влево.
6,3*0,01=0,063
Мы перенесли запятую
на 2 знака влево.
Десятичные дроби.
Умножение.
Задачи.
1. Выполните умножение:
0,08
8
0,8
0,01
1
0,1
4*0,2=
5*0,2=
8*0,05=
7*0,04=
0,4
0,04
4
32
3,2
0,32
2. Выполните умножение на разрядную единицу:
135
1001 100,1 10,1
13,5*10= 1350 1,35
10,01*10=
1,3*100= 13
1,3*1000=
130
1300
1300
130
13
3. Выполните умножение на десятичные разряды:
0,013
1,3
0,13
9*0,001=
0,9
0,09
0,009 0,13*0,1=
1
0,1
10
1,32 0,132 0,0132
100*0,001=
1,32*0,01=
4. Выполните умножение:
0,18
1,9*0,6= 1,14 11,4 114
0,6*0,03= 0,018 1,8
14,3 1,43
1,3*1,1= 143
0,12*0,4=
0,48 0,048
4,8
0,42=
0,13=
0,016
1,6
0,16
0,001 0,01 0,0001
5. Выполните умножение удобным способом:
193 2,5*1,47*4=
147
1,47 14,7
(19,3*5)*20= 19,3 1930
0,2*3,87*0,5= 0,387 3,87 38,7 (1,25*4)*0,8=
40
4
0,4
Десятичные дроби
Деление десятичных чисел на
натуральные числа.
Разделим десятичную дробь на натуральное число не
обращая внимания на запятую. Причем как только
закончиться
целая
часть
в
частном
поставим
запятую.
19,2
8
-16
2,4
32
-32
0
2,4
Проверим деление умножением частного на делитель:
Х 8
19,2
Мы получили верный результат.
2,88
4
Если целая часть меньше делителя,
-0
0,72
28
то в частном целая часть равна нулю. -28
8
-8
0
Чтобы разделить десятичное число на 10, 100, 1000 и
т.д., надо в этом числе перенести запятую на
столько цифр влево, сколько нулей стоит в делителе
после единицы.
Например:
6,3:10=0,63
Мы перенесли запятую
на 1 знак влево.
6,3:100=0,063
Мы перенесли запятую
на 2 знака влево.
6,3:1000=0,0063
Мы перенесли запятую
на 3 знака влево
Обыкновенную дробь можно перевести в десятичную делением
числителя на знаменатель:
3 4
1 2
-0 0,75
Проверьте и запомните некоторые
-0 0,5
30
10
значения обыкновенных дробей.
-28
-10
20
1
1
3
1
0
-20
 0,5.
 0,25.
 0,75.
 0,125.
0
2
4
4
8
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную нужно:
1. В делимом и делителе перенести запятую вправо на
столько цифр, сколько их после запятой в делителе
2. Выполнить деление десятичного числа на натуральное.
Например: разделим 2,88 на 0,8.
Для этого перенесем запятую вправо
цифру: 2,88:0,8=28,8:8.
28,8
-24
Теперь разделим в столбик
48
и получим 2,88:0,8=3,6
-48
в
числах
8
3,6
на
1
0
Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и
т.д. это все равно, что умножить на 10, 100, 1000.
Таким образом запомните правило:
Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001
и т.д., надо перенести в ней запятую вправо на
столько цифр, сколько в делителе стоит нулей перед
единицей.
Например: 0,0063:0,1=0,063 Мы перенесли запятую
на 1 знак вправо.
0,0063:0,01=0,63 Мы перенесли запятую
на 2 знака
вправо.
Десятичные дроби.
Деление.
Задачи.
1. Выполните деление:
3
0,3
2,3
0,23
23
1,8:6= 0,03
6,9:3=
4,8:2= 2,4
1,44:12= 1,2 0,12 0,012
2,04 0,24
2. Выполните деление на разрядную единицу:
0,06
0,6
6
6:100=
10,01:10= 0,1001 100,1 1,001
1,3:100= 1,3 0,13 0,013 1,3:1000= 1300 0,0013 0,13
3. Выполните деление на десятичные разряды:
9:0,001= 0,009 9000 90 0,13:0,1=
13
1,3 0,013
100:0,01= 10000 1000 0,001 1,32:0,01= 13,2 0,0132 132
4. Выполните деление :
30
3
0,2
2
20
1,8:0,6= 0,3
0,6:0,03=
нет
2
0,2
нет
20
1,4:0,4= 3,5
0,12:0,6=
0,35
35
5. Вычислите удобным способом:
7,2
0,72
72
6,6
(7,7*6):7= 0,66 66
(8,8*9):11=
5,8
0,58
(17:25):4= 1,7 0,17 17
(6,4*5,8):64= 58
Десятичные дроби
Проценты.
Так как мы все вычисления производим в десятичной системе
счисления, то часто мы встречаем сотую часть числа.
Так: 1 сантиметр – это сотая часть метра,
1 копейка – сотая часть гривны,
сотую
соткой.
часть
гектара
принято
называть
аром
или
Введено понятие – процент.
Процентом называют одну сотую часть. Обозначают знаком %.
Говорят: «В классе 75% учеников написали контрольную
работу по математике на достаточный и высокий уровень»,
« Банк ежегодно выплачивает 12% от вложенной суммы».
Если 1% равен сотой части числа,
то все число составляет 100%.
Рассматривают три типа задач.
1.Известно число, необходимо
числа по его проценту.
определить
часть
Известно: число и процент
части
Найти: часть.
Алгоритм решения:
1. число разделить на 100
2. Результат умножить на
процент
Решение:
Так как 320 кг конфет – это 100%, то, чтобы найти 1% нужно
320 разделить на 100, получим 3,2 кг. Чтобы найти, чему
равны 75% конфет нужно умножить 3,2 на 75. 75*3,2=240.
Так, 240 кг составляют шоколадные конфеты.
Например:
В магазин завезли 320кг
конфет, из которых 75% шоколадных.
Сколько килограмм составляют
шоколадные конфеты?
В результате рассуждений мы заданное число (320) умножили на
проценты (75) и результат разделили на 100.
(320:100*75=240.)
Известно все число
320 кг
Известен процент
75% части
Найти часть
числа
2. Известна часть числа и ее процент, необходимо
определить само число.
Например:
Известно: часть числа и ее
За контрольную по
процент.
математике 12 учеников
Найти: само число.
получили оценку
Алгоритм решения:
«высокого уровня»,
1. Часть числа разделить на
что составляет 30%.
его процент
Сколько учеников в классе? 2. Результат умножить на 100
Решение:
Узнаем чему равен 1%. Для этого 12 разделим на 30. 12:30=0,4.
Значит 1% равен 0,4. Все ученики класса составляют 100%.
Умножим 0,4*100=40. В классе 40 учеников.
В результате рассуждений мы часть числа (12) разделили на его
проценты (30) и результат умножили на 100. (12:30*100=40.)
Найти все число
?
Известен процент
30% части
Известна
часть числа
12
3. Известно
число и часть числа. Необходимо узнать
какой процент составляет эта часть от числа.
Известно: число и его
часть.
Найти: какой процент
Например:
составляет часть от
числа.
Вся площадь поля составляет
Алгоритм решения:
1800га, картофелем засажено
558га.
1. Часть числа разделить на
само число
Какой процент поля засажен?
2. Результат умножить на 100
Решение:
Определим какую часть от общего поля составляет засаженная
площадь картофеля, для этого 558 разделим на 1800.
558:1800=0,31. Значит, картофелем засажена 31 сотая часть
поля, т.е. 1%. Умножим 0,31 на 100%. 0,31*100=31%.
В результате рассуждений мы часть числа (558) разделили на
все число (1800) и результат умножили на 100.
(558:1800*100=31.)
Известно все число
?
Найти процент
1800
Известна
часть 558
Десятичные дроби.
Проценты
Задачи.
1. Выразите проценты в виде десятичного числа:
100
0,1
0,01
0,75
750
1%=
75%= 7,5
20%= 0,2
100%= 0,1
0,02
2
10
1
50%= 0,05
120%= 1,2
0,5
5
0,12 0,012
2. Выразите десятичные числа в процентах:
20
200
125
0,02= 2
1,25= 1,25 12,5
460
46
0,5=
4,6= 0,46
500
5
50
0,17= 1,7
6,006= 0,6006 60,06 600,6
17
0,17
3. Найдите 1% от:
156
15,6
1,56
20
156
2
20
0,2
140
68,25 6825 0,6825 6,825
1,4
14
0,14
Десятичные дроби.
Нахождение части числа по его проценту.
Задачи.
1. Найдите
2% от числа 210
0,42
42
4,2
125% от числа 40
0,5
н
50
н
5
7,5
0,75
15% от числа 500 75
0,5% от числа 15 7,5 0,75 0,075
2. Масса Земли 5975 квинтиллионов тонн. Масса воды составляет
9%. Какова масса воды земли?
5377,5 кв.т
53,775 кв.т
537,75 кв.т
3. Яблоки при сушке теряют 84% своей массы. Сколько получится
сушеных яблок из 300 кг свежих?
48
480
18,75
4. В классе 30 учеников, из них 20% учатся в музыкальной школе,
50% посещают спортивные секции, а остальные посещают кружки
иностранных языков. Сколько учащихся посещают кружки
иностранных языков?
6
9
10
Десятичные дроби.
Нахождение числа по его части и ее проценту
Задачи.
1. Найдите число, если:
5% его равны 30
1,5
60
600
8% его равны 40
3,5
50
9
90
10% его равны 90 900
125% его равны 250 312,5 200
2. Из зеленого чайного листа получают 4% чая. Сколько надо
чайного листа, чтобы получить 5,6 кг чая?
14
0,224
500
20
140
3. Ромашка при сушке теряет 84% свей массы. Сколько надо взять
свежей ромашки чтобы получилось 32 кг сухой?
200
5,12
38,09
4. Ученик в первый день прочитал 15% всей книги, что составляет
60 станиц, во второй день он прочитал 200 страниц. Сколько
ему осталось прочитать?
10
200
30
Десятичные дроби.
Нахождение процента по числу и части.
Задачи.
1. Сколько процентов составляет:
28 от 40
70%
7%
700%
63 от 75
8,4%
84%
840%
5%
200%
102 от 425 240% 2,4% 24%
500 от 250 50%
2. Если в стакан чая (200г) положить 2 чайные ложки сахара
(по 10г), то какова будет концентрация сахара в чае?
1%
10%
0,1%
3. Поверхность Земли 510,1 млн км2. Суша занимает 149,2 млн
км2, остальная поверхность покрыта водой. Сколько
процентов поверхности Земли покрыто водой?
70%
20%
7%
4. Стоимость товара понизилась от 400 грн до 360 грн. На
сколько процентов снизилась стоимость товара?
111%
90%
10%
Основы геометрии
Точка. Отрезок.
Плоскость. Прямая. Луч.
Угол. Измерение углов.
Многоугольники.
Периметр и площадь многоугольников.
Окружность и круг.
Прямоугольный параллелепипед.
Понятие объема.
выход
Основы геометрии
Точка. Отрезок.
Возьмем в руки простой карандаш и поставим
точку, над ней напишем букву А. Это – точка,
она не имеет размер. Точки называют буквами
латинского алфавита.
А
В
А
Если к точкам А и В приложить линейку и
соединить их линией, то получится отрезок АВ
или ВА. Точки А и В называют концами отрезка
АВ.
Любые две точки можно соединить одним и только одним отрезком.
O
Существуют точки принадлежащие (E, K) и не
В
принадлежащие (O, M) заданному отрезку АВ.
K
E
А
M
Отрезки можно сравнивать
с помощью циркуля
и измерять с помощью линейки.
B
A
D
C
В
А
0 1 2 3 4 5
Так, отрезок АВ
длиннее отрезка CD
и короче отрезка EM.
A
M
E
Возьмем отрезок длиной 1см. Если отложить такой
отрезок АВ, что его длина состоит из пяти
единичных отрезка, то говорят длина отрезка АВ
равна 5 см. Длину отрезка можно измерять линейкой.
А
В
1см
А
В
0
1
2
3
4
5
B
Возьмем несколько отрезков
разной длины и соединим их,
получим ломанную линию.
C
B
F
E
A
D
Если концы ломанной линии соединить, то получиться
многоугольник. Так образуются треугольники,
O
четырехугольники, пятиугольники и т.д.
F
E
B
C
D
A
В треугольнике отрезки
треугольника, а точки
треугольника.
N
AB, BC,
A, B и
CA
С
K
называются
называются
T
L
P
сторонами
вершинами
Чтобы назвать многоугольник перечисляют по порядку все его
вершины.
Например говорят: «треугольник ABC»,
«пятиугольник OTLPN».
Точка. Отрезок.
Задачи.
1. Сколько отрезков изображено на рисунке?
8
6
7
10
2. Сколько отрезков изображено на рисунке?
10
6
7
8
3. Какие точки принадлежат отрезку АВ?
E
D
C
K
А
L
E
D
C
K
A
L
В
4. Точка К принадлежит отрезку АВ. АК=5см, АВ=16см, чему
равна длина отрезка КВ?
А
К
В
21
11
12
Основы геометрии
Плоскость. Прямая.
Луч.
Посмотрите на поверхность стола или доски, оконного стекла
тетради. Если представить что эти поверхности бесконечно
простираются во всех направлениях, то это и даст вам
представление о плоскости. У плоскости края нет.
O
А
E
K
На плоскости можно расположить
точку, несколько точек. Любые две
точки можно соединить отрезком.
В
M
Все построения, которые мы будем
выполнять в тетради или на доске,
мы выполняем на плоскости.
А
В
Начертим отрезок АВ и продолжим его
по линейке в обе стороны. Получим
прямую. Говорят: «прямая АВ»
Через любые две точки проходит единственная
прямая. Прямая не имеет концов, она неограниченно
продолжается в обе стороны.
А
На плоскости есть точки, которые
принадлежат прямой (А и В) и точки
не принадлежащие прямой (С).
С
С
В
А
Д
Две прямые могут
пересекаться, тогда они имеют
одну общую точку.
Если прямые имеют две общие
точки, то они совпадают.
А
В
С
д
В
А
С
В
Д
Если прямые не пересекаются и не
совпадают, т.е не имеют общих точек,
то они параллельны.
(противоположные края стола
параллельны, углы стен параллельны).
На прямой АВ возьмем точку О.
О
Она делит прямую АВ на две
А
В части. Каждая из этих частей
имеет начало ( точка О), но не
имеет конца.
С
А
О
Это и называют лучом. Говорят:
«луч ОА», «луч ОВ».
Д
Точка С принадлежит лучу ОА,
точка Д не принадлежит лучу
ОА.
Лучи, образованные точкой на
одной прямой называют
дополнительными друг другу.
Например: Луч ОА является
дополнительным лучу ОВ и
наоборот.
А
О
В
Плоскость. Прямая. Луч.
Задачи.
1. Сколько лучей изображено на рисунке?
6
4
2
3
2. Какие лучи пересекаются?
В
с D
А
E
F
BE и FK
K
N
BE и CN
BE и AD
AD и FK
CN и FK
AD и CN
3. Какие прямые параллельны?
A
B
C
K
D
CD и KL
L
AB и KL
AB и CD
4. Какие точки принадлежат прямой АВ?
L
A
C
D
M
B
N
N
C
M
L
A
5. Определите, на сколько частей прямые разбивают плоскость.
6
9
10
Основы геометрии
Угол. Измерение угла.
А
О
Два луча, выходящие из одной точки
разбивают плоскость на две полуплоскости.
Сами лучи и одна из этих полуплоскостей
образуют фигуру, которую называют углом.
В
Тогда, лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а
общая точка – вершиной угла.
Углы называют по названию лучей, с вершиной внутри.
Так, на рисунке изображен угол АОВ, со сторонами ОА и ОВ,
вершиной О. Для обозначения используют специальный знак
Так,
ОАВ, или
О.
А
Д
М
Есть точки, которые лежат внутри
С
угла АОВ (С), точки, которые лежат О
вне угла (Д) и точки, лежащие на
В
сторонах угла (М)
.
Углы можно сравнивать методом
наложения.
CА
KО
FВ
Если при наложении углов вершины
и стороны углов совпадут, то
углы называют равными.
Пишут:
АОВ= CKF
А
Наложим углы так, чтобы вершины совпали
и одни стороны совпали, то тот угол
который будет находиться внутри другого
назовем меньшим.
О
C
K
В
F
В нашем примере
АОВ и CKF расположили так, что вершины О и
К совпали и стороны ОВ и FK совпали. Видно, что
CFK лежит
внутри
АОВ, тогда
CFK <
AOB
А
Возьмем лист бумаги и согнем его
пополам.
Угол, образованный
стороной листа
называется развернутый.
Такой угол можно получить
дополнительными лучами.
О
В
Угол
АОВ – развернутый.
Два дополнительных луча
образуют развернутый угол.
Сложим лист еще пополам. Образовался угол. Если
развернуть лист бумаги, то видим, что таких угла
образовалось 4. Каждый из них равен половине
развернутого. Такие углы называются прямыми.
Прямым углом называется угол, равный половине
развернутого.
О
А
Чтобы изобразить
прямой угол используют
чертежный треугольник.
Угол
АОВ – прямой.
1
2
3
4
5
В
В жизни мы часто видим и используем прямые углы:
углы стола, углы стен и т.д.
6
7
8
9
Для измерения углов применяют
транспортир. Шкала транспортира
располагается по окружности. Центр
этой полуокружности обозначен на
транспортире черточкой.
Углы измеряются в градусах.
Полуокружность транспортира разделена на 180 равных частей.
Принято считать, что градусная мера развернутого угла равна
180°.
Тогда градусом называют
А
С
В
О
Например:
АОВ=50°,
1
-ю долю развернутого угла.
180
Чтобы измерить угол нужно совместить
вершину угла с меткой центра
полуокружности транспортира, а одну
из сторон угла с нулевой отметкой
(началом отсчета), на продолжении
второй стороны угла нужно увидеть
отметку, которая и определит размер
угла.
СОВ=120°
Равные углы имеют равную градусную меру, меньший угол
имеет меньшую градусную меру.
Транспортир применяют для построения
углов заданной градусной меры.
А
Развернутый угол имеет градусную меру 180°.
Прямой угол равен 90°.
С
А
Углы меньше 90° называются
острыми.
О
АОВ=45° - острый.
Например:
45°
В
Углы больше 90° называются
тупыми.
С
135°
Например:
K
F
CKF=135° - тупой.
Угол. Измерение угла.
Задачи.
1. Какие из углов тупые?
AOK
AOB
AOC
BOC
BOK
А
COK
AOB
AOC
С
К
2. Какие из углов острые?
AOK
В
О
COK
BOK
BOC
3. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов в 3ч?
1350
450
900
4. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов в 6ч?
1800
1200
900
5. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов в 20ч?
1200
2400
1800
6. Сколько углов изображено на рисунке?
А
В
С
К
3
6
4
О
7. Луч ОК делит развернутый угол АОВ на два угла так, что
АОК=1200. Найдите ВОК.
3000
600
400
Основы геометрии.
Многоугольники. Периметр и площадь
многоугольников.
Если концы ломанной линии соединить, то получиться
многоугольник. Так образуются треугольники,
O
четырехугольники, пятиугольники и т.д.
F
E
B
C
D
A
В треугольнике отрезки
треугольника, а точки
треугольника.
N
AB, BC,
A, B и
CA
С
K
называются
называются
T
L
P
сторонами
вершинами
Чтобы назвать многоугольник перечисляют по порядку все его
вершины.
Например говорят: «треугольник ABC»,
«пятиугольник OTLPN».
Геометрия изучает несколько основных фигур.
Более сложные фигуры можно получить из основных.
К основным фигурам относятся: треугольники,
несколько видов четырехугольников, круг и
его части.
Фигура, полученная соединением нескольких отрезков
называют многоугольником. К многоугольникам относятся:
треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т.д.
Рассмотрим многоугольник, образованный тремя отрезками. B
5см
Например возьмем отрезки длиной 5см, 3см,
7см. Из данных отрезков построим
7см
треугольник АВС.
A
Возьмите отрезки 5см, 1см и 2 см.
Попробуйте построить треугольник.
1см
Треугольник не получиться.
5см
И так, не всякие отрезки определяют
треугольник.
3см
C
2см
Если соединить четыре отрезка, то получим
четырехугольник.
К основным четырехугольникам
относятся: параллелограммы и трапеции.
Рассматривают частные случаи параллелограмма – это
прямоугольники, квадраты, ромбы.
Сумму длин сторон многоугольника называют его периметром.
Периметр обозначают латинской буквой Р
Например: найдите периметр треугольника со
сторонами 5см, 7см, 3см.
Решение: Р=5см+7см+3см=15см
Найдите периметр прямоугольника со
сторонами 2см и 5см (у прямоугольника
стороны попарно равны)
Решение:
Р=2см+5см+2см+5см=2*(2см+5см)=14см
Найдите периметр квадрата со стороной 5см.
(у квадрата все стороны равны)
Решение:
Р=5см+5см+5см+5см=4*5см=20см
B
3см
5см
7см
A
B
C
C
2 см
A
B
C
5 см
A
D
5 см
D
За единицу измерения площади фигуры принята площадь
одного квадрата со стороной 1см.
Пишут: 1см2 и говорят: «один квадратный сантиметр».
Многоугольник можно разбить на несколько квадратов со
стороной 1см2 . Если фигуру разбили на р квадратов, то
ее площадь равна р см2
Площадь обозначают буквой S.
12 кв.
ед.
Для основных фигур выведены формулы.
14 кв.
ед.
Для нахождения площади
прямоугольника:
а
S=а*в
в
≈ 11 кв.
ед.
Для квадрата:
S=а*а=а2
а
1
Для треугольника: S= 2 а*h,
где h – высота треугольника,
опущенная к стороне а.
h
а
1. Найдите площадь квадрата со стороной 5см.
Решение: S=52=25см2
2. Найдите площадь прямоугольника
со стороной 3см и 5см.
B
B
C
А
D
5 см
C
3см
S=5*3=15см2
Решение:
3. Найдите площадь треугольника со
стороной 7см и высотой 5см.
Решение: S= 1 *5*7=17,5см2
2
А
5см
5см
А
B
4. Найдите площадь произвольного
многоугольника
Решение:
А
Способ1. Можно воспользоваться палеткой,
разделенной на квадраты со стороной 1см2
и подсчитать их количество: S≈8,3см2
Способ2. Можно разбить фигуру на основные,
найти их площади и сложить. В данном случае
фигура состоит из квадрата и прямоугольника
S=4*1,5+1,5*1,5=6+2,25=8,25см2
Площадь любой фигура равна сумме
ее составляющих.
B
D
C
7см
C
D
E
F
B
D
E
C
А
F
Многоугольники. Периметр и
площадь многоугольников
Задачи.
1. Чему равен периметр многоугольника?
5см
3см
3см
19
14
16
15
3см
2. Какая из данных фигур имеет площадь 24см2?
3 см
8 см
6 дм
6 дм
3 см
6 см
4 см
3. Найти периметр треугольника АВС у которого
АВ=2дм3см, ВС=15см, СА=17см.
2дм 35см
5дм
4. Может ли существовать треугольник
да
со сторонами: 3см, 5см и 1см?
5. Площадь прямоугольника составляет 40см2,
одна из его сторон равна 5см.
26
Найти периметр прямоугольника.
6. Сколько треугольников на рисунке?
2 см
4дм 5см
5см
нет
13
8
40
6
2
Основы геометрии.
Окружность и круг.
Установим ножку циркуля с иглой в точку О, а с
карандашом будем вращать вокруг этой точки. Тогда
карандаш опишет замкнутую линию, которую называют
окружностью.
Окружность делит плоскость на две части. Та часть
плоскости, которая находится внутри окружности
называется кругом.
Точку О называют центром окружности.
Все точки окружности находятся на одинаковом
расстоянии от центра, которое называется радиусом.
R
O
Д
О
С
В
А
Если соединить две любые точки окружности
получится отрезок, который называют хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности
называется диаметром, по длине он равен двум
радиусам.
Хорда отделяет от окружности две дуги.
Основы геометрии.
Прямоугольный параллелепипед.
Понятие объема.
B’
A’
D’
c
B
A
D
a
В жизни мы часто имеем дело с объемными
фигурами: дома, коробки, деревянные бруски,
кирпич.
Эти
примеры
дают
понятие
о
прямоугольном параллелепипеде.
Поверхность
прямоугольного
параллелепипеда
состоит из 6 прямоугольников, которые называются
гранями. Противоположные грани прямоугольного
параллелепипеда равны.
Стороны граней называют ребрами параллелепипеда,
C’а вершины граней – вершинами параллелепипеда.
У прямоугольного параллелепипеда 6 граней, 12
ребер и 8 вершин.
Прямоугольный параллелепипед измеряется тремя
измерениями: шириной (a), длиной (b) и
высотой (c).
B’
C’
Частный случай прямоугольного
A’
D’
параллелепипеда – куб, у него
C
все измерения равны.
a
b
B
A
a
a C
D
Чтобы сравнить объемы двух сосудов, нужно
один из них наполнить водой, а затем
перелить в другой. Если вода останется, то
первый сосуд больше второго, если вся вода
войдет во второй и полностью его заполнит,
то объемы сосудов равны.
1 дм
1 дм
1 дм
Единицей измерения объема принят
1л=1дм3, т.е. такой куб, у которого
все стороны равны 1дм.
Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нужно
выяснить сколько кубиков с единичной стороной (1см, 1дм)
войдет в него.
Сколько кубиков в каждом слое? (4*3=12).
А сколько во всех слоях? (12*4=48)
B’
C’
A’
D’
с
B
в
A
а
C
Объем обозначают буквой V.
Формула объема прямоугольного
параллелепипеда: V=а*в*с
У куба все ребра равны,
тогда объем куба равен: V=а3.
48 куб. ед
B’
C’
A’
D’
a
D
B
A
a
a C
D
Прямоугольный параллелепипед.
Понятие объема.
Задачи.
1. Найдите площадь поверхности прямоугольного
C’параллелепипеда.
B’
A’
512
D’
C
4см
A
12см
B’
A’
C’
D’
B
A
D
C
608
416
2. Чему равен объем этого параллелепипеда?
16 см
B
480
608
768
512
480
3. Сколько сантиметров проволоки надо взять для
изготовления каркаса этого параллелепипеда?
128
64
32
608
4. Объем куба равен 27см3. Чему равна площадь
поверхности? 128
64
54
36
5. Какое решение соответствует 4-ой задачи,
если сторону квадрата обозначить а?
D
а2=27, S=6*а3
а3=27, S=9*(2*а)
а3=27, S=6*а2
Исторические сведения
системы счисления
Человечеством было придумано много способов счета.
Первым счетным инструментом у человека были пальцы
рук, затем палочки, камешки. Для обозначения чисел
каждый народ придумывал свои знаки.
Так в Древней Руси обозначали числа буквами, над
которыми ставили знак титло
Современная десятиричная система записи чисел была
заимствована европейцами у арабов, которые в свою
очередь переняли ее у индусов. Поэтому цифры,
которыми мы сейчас пользуемся, европейцы называют
«арабскими», а арабы – «индийскими».
До сих пор используются и римские цифры, которые
употреблялись в Древнем Риме уже около 2500 лет тому
назад (I-1, V-5, X-10, L-50, C-100, D-500, M-1000).
Кроме этих систем счисления существовали «пятиричные»,
«двенадцатиричные», «шестидесятиричные» и др.
В Древней Руси в качестве единиц измерения
длины применялись: косая сажень (248см)расстояние от пальцев левой ноги до конца
пальцев поднятой правой руки, маховая
сажень (176см)-расстояние между концами
пальцев расставленных в сторону рук,
локоть (45см)-расстояние от концов пальцев
до локтя согнутой руки.
Немецкого ученого Карла Гаусса называли королем
математиков. Его математическое дарование
проявилось уже в детстве. Рассказывают, что в
трехлетнем возрасте он удивил окружающих, поправил
работу своего отца с каменщиками. Однажды в школе
(Гауссу в то время было 10 лет) учитель предложил
классу сложить все числа от 1 до 100. Пока он
диктовал задание, у Гаусса уже был готов ответ. На
его грифельной доске было написано: 101*50=5050
В наше время почти все народы пользуются счетом десятками,
сотнями, тысячами, то есть десятичной системой счисления. В
ней, как вы уже знаете, значение цифры зависит от места
(позиции), которое она занимает в записи числа. Поэтому
такую систему счисления называют позиционной.
Раньше некоторые народы применяли другие системы счета. В
теплых странах Африки и Америки, где люди ходили босыми,
для счета применялись не только пальцы рук, но и пальцы
ног. Получался счет двадцатками. А пять тысяч лет назад в
некоторых странах Востока пользовались шестидесятеричной
системой счисления, т.е. системой счисления с основанием
60. Эта система была первой позиционной системой.
Следы шестидесятеричной системы счисления сохранились до
сих пор: мы и сей час делим час на 60 минут, а минуту – на
60 секунд.
Использование числа 10 как основания системы счисления
связано с тем, что у людей на руках 10 пальцев, которые
удобнее всего было использовать при счете. Но основание
системы счисления, конечно, может быть любым числом.
Например, современные ЭВМ (электронно-вычислительные
машины) считают в двоичной системе (основание 2), так как
при этом используются только два состояния: «есть сигнал» и
«нет сигнала».
Первые единицы длины как в России, так и в других странах
были связаны с размерами частей тела человека. Таковы сажень,
локоть, пядь. В Англии и США до сих пор используется
«ступня»-Фут (31см), «большой палец»-дюйм (25мм) и даже ярд
(91см)-единица длины, появившаяся почти 900 лет назад. Она
была равна расстоянию от кончика носа короля Генриха I до
конца пальцев его вытянутой руки.
Для измерений больших расстояний на Руси использовали единицу
«поприще», замененную позже верстой (в разных местностях
версту считали по разному-от500 до 750 сажен).От восточных
купцов пошла единица «аршин» (тоже означает «локоть»)существовали турецкий аршин, персидский аршин и др. Поэтому и
возникла поговорка «мерить на свой аршин».
Множество единиц существовало и для измерения массы. Наиболее
древняя русская мера-«гривна», или «гривенка» (около 410 г),
Позднее появились золотники, фунты, пуды.
В старину площади земельных участков измеряли в десятинах
(это площадь квадрата со стороной, равной десятой части
версты).
Во многих Западных странах использовалась единица площади
акр. Акр примерно равен 4047 квадратных метров.
На Руси использовались в качестве измерения объема ведро
(около 12 л), штоф (десятая часть ведра). В США, Англии и
других странах используются баррель (около 159 л), галлон
(около 4 л), бушель (около 36 л), пинта (от 470 до 568
кубических сантиметров).
Соотношения между мерами были сложны, существовали разные
определения для единиц измерения. Это и затрудняло
развитие науки, торговли между странами. Поэтому назрела
необходимость введение единой системы мер, удобной для
всех стран.
Такая система - ее назвали метрической системой мер - была
разработана во Франции. Основную единицу длины 1 метр (от
греческого слова «метрон»-мера) определили как
сорокамиллионную долю окружности Земли, основную единицу
массы 1 кг - как массу 1 кубический дм чистой воды.
Остальные единицы определялись через эти две, соотношения
между единицами одной величины равнялись10,100,1000 и т.д.