Лектор: доцент Семкина Л.И. 2

Лектор:
доцент Семкина Л.И.
2
ЭЙЛЕР (Euler) Леонард (170783), математик, механик, физик и
астроном. По происхождению
швейцарец.
В 1726 был приглашен в Петербургскую АН и
переехал в 1727 в Россию. С 1766 академик
Петербургской АН (с 1742-66 иностранный
почетный член). С 1741-66 работал в Берлине, член
Берлинской АН
Эйлер — ученый необычайной широты интересов и
творческой продуктивности. Автор св. 800 работ по
математическому анализу, дифференциальной геометрии,
теории чисел, приближенным вычислениям, небесной
механике, математической физике, оптике, баллистике,
кораблестроению, теории музыки и других, оказавших
значительное влияние на развитие науки.
Маятник Обербека
m
r
R
Меняем P, m, R, r.
m
О
m
m
Из эксперимента: ε
прямо пропорциональна
R и P и обратно
пропорциональна m
грузов и r2.
Fr – момент силы М = ƒ (P,R).
P=mg
Момент инерции J= ƒ(m,r).3
§1 Момент силы относительно оси.
0/
0/
0/
F
F1
F
R
0
0
R
0
R
F2
F
Вращение
Покой
Вращение
F = F1+F2
4
Cила лежит в плоскости ┴ к оси 00'
F
Fτ
F = Fτ + Fn
α
r
0
L
Fn
М = FL
М = Fr sinα
M = [r F]
(1)
5
Векторное произведение обладает следующими
очевидными свойствами:
АА = 0,
А(В + С) = АВ + АС,
АВ = – ВА,
ii = jj = kk = 0,
ij = k, jk = i, ki = j;
здесь i, j и k – единичные векторы соответственно
вдоль осей x, y и z.
C = [A B]
C
(2)
B
α
А
Правило правой руки.
6
F╨
0'
F
М
r
А
F┴
Общий случай –
F направлена
произвольно.
F = F ┴ + F╨
r = r┴ + r╨
r╨
Плоскость ┴
оси оо'
0
M=[r┴F┴]
(3)
r
r┴
M = [r F] = [r┴F┴] =
[r┴F╨] = [r╨F┴]=
[r╨F╨] = [r┴F┴]
7
§2.Работа внешних сил при
вращении твёрдого тела.
dA = F┴dS = FdS cosβ =
= FdS sinα.
F┴
о
r
dφ ds
В
β
F
dS = r sindφ.
α
F╨
dA = Fr sinφ = Mdφ.
φ
A=∫0 Mdφ
(4)
8
§3 Кинетическая энергия (К) и момент
инерции твердого тела ( I ).
Т.к. ω=const:
где: I-момент инерции.
Моментом инерции
называется:
(5)
9
Если вещество распределено в теле
непрерывно, то, разбив тело на бесконечно
малые элементы dm(r), получим:
I   r dm( r ).
2
(6)
V
Интегрирование выполняется по всему объему,
занимаемому телом.
10
Полная кинетическая энергия
движущегося
поступательно
вращающегося:
K полн.
2
mυ c
Icω


2
2
тела,
и
2
(7)
Здесь Ic – момент инерции относительно
мгновенной оси вращения, проходящей через
центр инерции, движущийся с υс.
11
§4 Теорема Штейнера
0’
центр
масс
R
0
12
Задача: найти момент
инерции I произвольного
тела массой M
относительно некоторой
оси 0, 0'
если известен момент
инерции I0 этого тела
относительно оси, AA’
проходящей через центр
масс тела, параллельно
исходной (на расстоянии a )
A
центр
масс
0
a
r'i
mi
ri
0'
где ri’– расстояние от центра масс тела
M
А’
13
Теорема Штейнера
A
0
I = I0 + Ma2
центр
масс
a
r'i
mi
ri
где:
0'
M
A’
момент инерции тела относительно оси,
АА’ проходящей через центр масс
14
Теорема Штейнера
I = I0 + Ma2
Момент инерции I относительно
произвольной оси ОО’ равен сумме момента
инерции тела I0 относительно оси AA’,
проходящей через центр масс, параллельно
данной и плюс произведение массы тела М
на квадрат расстояния между осями a2.
15
§5 Расчет моментов инерции
1.Тонкий однородный стержень
В
0
A
L/2
IA = I0+ m ( L/2)2
I0 = I0А+ I0B=
L/2
IA = kmL2
(9)
(8)
K – зависит от
формы тела
(10)
16
(11)
С учётом (8) следует: k=1/3.
(12)
IA= 1/3mL2.
(13)
I0=1/12mL2
(14)
17
2 Однородный диск
dr
r
d I  r 2 dm( r ).

(6)
V
Sкруга= πr2, V = πr2d.
dV = 2πrd dr
ρ = m/V dm = ρdV.
18
I = 1/2mr2
(15)
19
Моменты инерции некоторых тел
(ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС)
Обруч
или
кольцо
MR2
Концентричес Твердый Сфери Диск
кое кольцо с
шар
ческая (относи
внешним
оболоч тельно
радиусом R и
ка
края)
внутренним r1
3
1
2
2
2
2
2
2
2
m R  r1
mR
mR
mR
2
2
3
5


20
§6 Основной закон динамики
вращательного движения
Действует несколько сил (F1 F2 F3 …Fn),
→
→
dA = dK = d(Iω2/2), dA = M dφ,
dφ = ω dt
Mω dt = I/2 d(ω2), Mω dt = Iω dω или:
M dt = I dω,
a
M = I dω/dt = Iε
21
M = Iε
(16)
M и ε направлены по оси вращения.
Основные законы динамики ( законы Ньютона)
сравним
M = Iε
F = ma
22
M = d (Iω)/dt .
M = dL/dt, где L= Iω – момент импульса.
(17)
M = dL/dt -уравнение моментов.
(18)
Iω=mr2 (υ/r) = r mυ = r p
L= [ r,p ]
L = r mυ sinα
(19)
(20)
23
Уравнение (18) эквивалентно трём
скалярным уравнениям:
P = mυ
L
α
0
r
24
§7 Закон сохранения момента
импульса
Если M = 0, то dL/dt = 0,
т.е.L = Iω = const
L = const
(21)
(22)
Закон сохранения момента импульса –
момент импульса замкнутой системы тел
относительно любой неподвижной точки не
изменяется с течением времени.
25
Ещё раз о направлении векторов
0/
L
ω, φ, ε, M, L – направлены
по оси вращения
ε M
ω
φ
υi
R
mi
ri
0
ω, М , L – правило
правой руки, правило
правого винта.
Если:а) ω↑↓ε – движение
равнозамедленное;
б) ω↑↑ε – движение равноускоренное;
26
в) ω↑↑М – вращение тела ускоряется;
г)ω↑↓М – вращение тела замедляется.
27
Знать:
Определения: момента силы, момента
инерции, момента импульса.
Теорему Штейнера
Основной закон динамики вращательного
движения.
Закон сохранения импульса.
28
Уметь:
Определять: а) направление
векторов:
ω, φ, ε, M, L;
б) работу сил при вращении тел;
г) полную кинетическую энергию вращ. тела ;
д) рассчитывать моменты инерции для диска,
стержня, обруча.
29
30
Коперник (Nicolaus) ( 1473 — 1543)
— знаменитый астроном,
преобразователь этой науки и
положивший начало современному
представлению о системе мира.
Главное и почти единственное сочинение К., плоды более чем
30-ти летней его работы это: «De revolutionibns orbium
coelestium».
В первой части говорится о шарообразности мира и Земли, а
во второй даются основания сферической астрономии и
правила вычисления видимых положений звезд и планет на
небесном своде
В третьей говорится о прецессии или предварении
равноденствий. В четвертой — о Луне, в пятой о планетах
вообще, и в шестой — о причинах изменения широт планет.