СЛАУ

Системы линейных
алгебраических
уравнений (СЛАУ)
Систему m линейных уравнений с n
неизвестными будем записывать в следующем
виде:
a11x1  a12 x2  a13x3  ...  a1n xn  b1

a21x1  a22 x2  a23x3  ...  a2n xn  b2

.......... .......... .......... .......... .......... .....
am1 x1  am 2 x2  am3 x3  ...  am nxn  bm
Здесь x1, x2,…, xn – неизвестные величины, aij (i
= 1,2,…, m; j =1,2,…, n) – числа, называемые
коэффициентами системы (первый индекс
фиксирует номер уравнения, второй — номер
неизвестной), b1, b2,…, bm – числа, называемые
свободными членами.
Решением системы будем называть
упорядоченный набор чисел x1=c1, x2=c2,
…, xn=cn, обращающий каждое уравнение
системы в верное равенство.
Решить систему — значит найти все ее
решения или доказать, что решений нет.
Система, имеющая решение, называется
совместной.
Если система имеет только одно решение,
то она называется определенной.
Система, имеющая более чем одно
решение, называется неопределенной
(совместной и неопределенной).
Если система не имеет решений, то она
называется несовместной.
Система, у которой все свободные члены
равны нулю (b1 = b2 =…= bn = 0), называется
однородной.
Однородная система всегда совместна, так как
набор из n нулей удовлетворяет любому
уравнению такой системы. Нулевое решение
однородной
системы
называется
тривиальным.
Если число уравнений системы совпадает с
числом неизвестных (m=n), то система
называется квадратной.
Две системы, множества решений которых
совпадают, называются
эквивалентными или равносильными.
Преобразование,
применение
которого
превращает систему в новую систему,
эквивалентную
исходной,
называется
эквивалентным
или
равносильным
преобразованием.
Опр.: Матрица А, состоящая из
коэффициентов при неизвестных
называется основной матрицей СЛАУ.

 11

A   21
 ...

 m1
a a
a a
12
22
...
a a
m2
...
...
...
...

1n 

2n 
... 

mn 
a
a
a
Опр.: Матрица состоящая из
коэффициентов при неизвестных, в
которой в качестве последнего столбца
записан столбец свободных
коэффициентов называется
расширенной матрицей СЛАУ.
 a11 a12

 a 21 a 22
*
A 
...
 ...
 a m1 a m 2

a1n b1 
... a 2 n b2 

...
... 
... a mn bm 
...
Всякое решение системы можно
записать в виде матрицы-столбца:
 c1 
 
 c2 
C  
...
 
c 
 n
Теорема Кронекера-Капелли
Для того, чтобы СЛАУ была совместна
необходимо и достаточно,
ранг А = рангу А*.
Если система совместна и
1) ранг системы равен числу
неизвестных (r(A)=n), то система
имеет единственное решение;
2) ранг системы меньше числа
неизвестных (r(A)<n), то система
имеет бесчисленное множество
решений.
Методы решения СЛАУ:
• матричный метод,
• метод Гаусса,
• метод Крамера.
Матричный способ решения
СЛАУ
СЛАУ запишем в виде АХ=В.
Если det A≠0 (А - невырожденная),
то для матрицы А существует
обратная А-1.
Умножим обе части СЛАУ слева на
А-1:
А-1А  Х = А-1  В;
Е  Х = А-1  В;
Х = А-1  В.
Получили решение СЛАУ в
матричном виде.
Метод Крамера
Если в СЛАУ n=m и det≠0, то СЛАУ имеет
единственное решение.
1

1
det A
x
x
2

2
det A
x
n
n

det A
Где 1, 2 ,…, n получены из определителя
матрицы системы заменой последовательно 1го, 2-го и n -го столбцов на столбец свободных
коэффициентов.
- Если det A= 0 и все i = 0, то СЛАУ
имеет множество решений и
применяется метод Гаусса.
- Если det A = 0, а хотя бы 1 из i ≠ 0,
то СЛАУ несовместна.
Метод Гаусса
Метод основан на последовательном
исключении неизвестных из уравнений:
• Если в 1-ом уравнении а11≠ 0, то с
помощью элементарных преобразований
х1 исключается из оставшихся уравнений
(кроме первого).
• Если в новой системе а22≠ 0, то во всех
уравнениях начиная с 3-го исключаются
х2 и так далее, пока не прейдем к
треугольному виду.
Если процессе приведения системы к
треугольному виду появятся нулевые
уравнения (равенства вида 0=0), то их
отбрасывают. Если же появится
уравнение вида 0=bi, а bi0, то данная
система несовместна.
Решение треугольной системы
Если в последнем уравнение новой системы
содержится одно неизвестное, то исходная система
имеет единственное решение. Из последнего уравнения
находим xn, из предпоследнего уравнения – xn-1, далее
поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные
неизвестные.
Если в последнем уравнение новой системы
содержится более чем одно неизвестное, то исходная
система имеет множество решений. Из последнего
уравнения выражаем первое неизвестное через
остальные неизвестные. Затем подставляем в
предпоследнее уравнение и выражаем второе
неизвестное и т.д. Придавая свободным неизвестным
произвольные значения (Cj), получим множество
решений системы.
Рассмотрим квадратную
систему:
 x1  x2  3x3  2 x4
4 x  6 x  x
 1
2
3

3
x

2
x

2
x

x
1
2
3
4

5 x1  x2  2 x3  x4
 11
 1
 3
 2
(1)
Проведем
следующие
элементарные
преобразования системы:
1) поскольку a11≠ 0, первое уравнение оставим
без изменений;
2) вместо второго уравнения запишем
уравнение, получающееся, если из второго
уравнения вычесть первое, умноженное на 4;
3) вместо третьего уравнения запишем разность
третьего и первого, умноженного на 3;
4) вместо четвертого уравнения запишем
разность четвертого и первого, умноженного на
5.
Полученная новая система эквивалентна
исходной и имеет во всех уравнениях, кроме
первого, нулевые коэффициенты при x1 (это и
являлось целью преобразований 1 – 4):
 x1  x2  3x3  2 x4  11
 10 x  13x  8 x  45

2
3
4

5
x

7
x

7
x


30
2
3
4

 4 x2  13x3  9 x4  53
(2)
Замена любого уравнения системы
новым, получающимся прибавлением к
данному уравнению любого другого
уравнения системы, умноженного на
любое число, является эквивалентным
преобразованием системы.
Далее:
1) первые два уравнения оставим без
изменения, поскольку элемент a22  0;
2) вместо третьего уравнения запишем
разность между вторым уравнением и
удвоенным третьим;
3) четвертое уравнение заменим разностью
между удвоенным вторым уравнением и
умноженным на 5 четвертым.
Получили:
 x1  x2  3x3  2 x4  11

 10 x2  13 x3  8 x4  45

x3  6 x4  15


39 x3  29 x4  175
Теперь исключим неизвестную x3 из четвертого
уравнения:
1) первые три уравнения оставим без изменения,
т. к. a33 ≠ 0;
2) четвертое уравнение заменим разностью
между третьим, умноженным на 39, и
четвертым:
 x1  x2  3 x3  2 x4  11

 10 x2  13 x3  8 x4  45

x3  6 x4  15


205 x4  410

 x1  x2  3 x3  2 x4  11

 10 x2  13 x3  8 x4  45

x3  6 x4  15


x4  2

Из последнего уравнения этой системы
получаем x4 = 2. Подставив это значение в
третье уравнение, получим x3 = 3. Теперь из
второго уравнения следует, что x2 = 1, а из
первого - x1 = –1. Очевидно, что полученное
решение единственно (так как единственным
образом определяется значение x4, затем x3 и т.
д.).
Другой способ решения
Исходную систему (1) можно представить в
виде расширенной матрицы:







1  1 3 2 11

4 6  1 0  1

3 2 2 1 3


5 1 2
1 2
(3)
С помощью элементарных преобразований
приведем основную матрицу к треугольному
виду.
Системе (2) соответствует расширенная
матрица:







1
0
0
0
1
3
10  13
5 7
4
 13
2
11

 8  45 
 7  30 


 9  53 







1
0
0
0
1
3
10  13
0
1
0
39
2
11

 8  45 
6
15 

29 175 







1
0
0
0
1
3
10  13
0
1
0
0
2
11

 8  45 
6
15 


205 410 
Полученная матрица соответствует системе:
 x1  x2  3x3  2 x4  11

 10 x2  13 x3  8 x4  45

x3  6 x4  15


205 x4  410
Итак,
x1 = –1
x2 = 1
x3 = 3
x4 = 2
Назовем элементарными
преобразованиями матрицы
следующие преобразования:
1) перемена местами двух строк;
2) умножение строки на число, отличное
от нуля;
3) замена строки матрицы суммой этой
строки с любой другой строкой,
умноженной на некоторое число.
Те переменные, коэффициенты при которых стоят
на главной диагонали трапецеидальной матрицы
(это значит, что эти коэффициенты отличны от
нуля), называются базисными.
Остальные неизвестные называются свободными.
Если
свободным
неизвестным
приданы
конкретные числовые значения и через них
выражены базисные неизвестные, то полученное
решение называется частным решением.
Если свободные неизвестные выражены через
параметры, то получается решение, которое
называется общим решением.
Если всем свободным неизвестным приданы
нулевые значения, то полученное решение
называется базисным.
Если получены два различных набора
базисных
неизвестных
при
различных
способах нахождения решения одной и той же
системы, то эти наборы обязательно содержат
одно и то же число неизвестных, называемое
рангом системы.
Однородные СЛАУ
a11 x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  0

a21 x2  a22 x2  a23 x3  ...  a2 n xn  0

..........
..........
..........
..........
..........
.....

am1 x1  am 2 x2  am3 x3  ...  amn xn  0
Однородная система всегда совместна
(r(A)=r(A*)), она имеет нулевое решение
x1 = x2 =…= xn = 0.
Для того, чтобы однородная система
имела ненулевые решения необходимо и
достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы
был меньше числа n неизвестных (r<n).
Если число уравнений m системы совпадает с
числом неизвестных n (m = n), то основная
матрица системы является квадратной, в этом
случае условие r<n означает, что определить
основной матрицы системы =0.
Пример: Решить систему уравнений
x1  2 x 2  x3  0
2 x1  9 x2  3 x3  0
x1  2 x2  x3  0
5 x2  x3  0
Получили две ненулевые строки,
поэтому r(A)=r(A*)=2.
Число неизвестных в системе
уравнений =3, r<n, поэтому данная
система имеет ненулевые решения.
Из второго уравнения выразим x2 через
x3, при этом x3 – свободная переменная.
1
x 2  x3
5
x2 подставляем в первое уравнение и
выразим x1 через x3:
1
3
x1  x3  2  x3 , x1  x3
5
5
Пусть x3=c, тогда общее решение
системы будет:
3
x1  c
5
1
x2  c
5
x3  c
Пример: Решить систему уравнений
3 x1  2 x2  x3  0
2 x1  5 x2  3 x3  0
3 x1  4 x2  2 x3  0
3 x1  2 x2  x3  0
11 x2  7 x3  0
2 x2  x3  0
3 x1  2 x2  x3  0
11 x2  7 x3  0

3 x3  0
x3 = 0, x2 = 0, x1 = 0 – единственное
решение.
Это также вытекает из того, что
r(A)=3, n=3.