Эконометрика

Эконометрика
Литература





Доугерти К. Введение в эконометрику. - 3-е изд. - М.: ИНФРАМ, 2010. - XIV, 465 с.
И.И.Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др.
Эконометрика: учебник. - М.: Финансы и статистика , 2008.576 с.
Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: учебник для
студентов вузов. - 2-е изд.,стереотип. - М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2008. - 311 с.
Новиков А. И. Эконометрика: учебное пособие для студентов
вузов / - 2-е изд., испр. и доп. - М.: ИНФРА-М, 2011. - 144 с.
Н. П. Тихомиров, Е. Ю. Дорохина .Эконометрика: учебник для
студ. вузов, обучающихся по спец. "Математические методы в
экономике" - М. : Экзамен, 2007. - 512 с.
Тема 1.
Парная линейная
регрессионная модель
Фрэнсис Га́льтон
• 16 февраля 1822 — 17 января
1911) — английский исследователь,
географ, антрополог и психолог.
Родился в Бирмингеме, в Англии.
Регрессия (лат. regressio - обратное движение, переход от
более сложных форм развития к менее сложным) - одно из
основных понятий в теории вероятности и математической
статистике, выражающее зависимость среднего значения
случайной величины от значений другой случайной
величины или нескольких случайных величин.
Термин "регрессия" был введён Фрэнсисом Гальтоном (англ)
в конце 19-го века. Гальтон обнаружил, что дети родителей с
высоким или низким ростом обычно не наследуют
выдающийся рост и назвал этот феномен "регрессия к
посредственности". Сначала этот термин использовался
исключительно в биологическом смысле. После работ Карла
Пирсона этот термин стали использовать и в статистике.
Регрессионная модель
y  f (x)  
x
- независимая переменная,
y
- зависимая переменная,

- случайная составляющая.
Выбор вида f (x)
• экономическая теория
• опыт, интуиция исследователя
• эмпирический анализ данных
Поле корреляции
8
120
100
80
4
Y
Y
6
60
2
40
0
0
5
10
15
20
20
0
5
10
X
X
15
Поле корреляции
80
0.4
60
0.3
Y
Y
40
0.2
20
0.1
0
0.0
-20
0
5
10
X
15
0
5
10
X
15
Парная линейная регрессионная
модель
y    x  
Пусть есть набор значений двух переменных
Меры отклонения функции
набора наблюдений
1) F 
f (x )
2
(
y

f
(
x
))
 t
t
n
t 1
F   yt  f ( xt )
n
2)
t 1
3) F 
 g ( y  f ( x ))
n
t
t
t 1
Пример. Функция Хубера
 x 2 , x  c,

g ( x)  2cx  c 2 , x  c,
 2cx  c 2 , x  c.

от
Метод наименьших квадратов
• Задача: найти оценки a, b
параметров  ,  такие, что
  y  f ( x )
2
i
i
i
e
или
 min,

ei  yi  y x
2
i
i
где

y  a  bx
i
 min
МНК (продолжение)
S 
i


yi  y xi
    y  a  b  x
2
2
i
Необходимые условия экстремума:
 n  a  b x   y

2
a  x  b  x   y  x
система
нормальных
уравнений
МНК (продолжение)
• Решение системы нормальных уравнений
 ( x  x )( y  y )
n
yx  y  x
b 2

2
x x
i
i
i 1
2
(
x

x
)
 i
n

i 1
a  y b x
• где cov (х, у) — ковариация признаков
2

•
x — дисперсия признака х
Cov( x, y )

2
x
Интерпретация уравнения регрессии
• b – коэффициент регрессии
• Показывает среднее изменение результата с
изменением фактора на одну единицу
• a – может не иметь экономического смысла
Адекватность модели
• Наличие связи между переменными
• Оценка значимости уравнения в целом
– Анализ дисперсии
– F-критерий Фишера
• Выдвигается нулевая гипотеза H0:
– коэффициент регрессии равен нулю,
т. е. b = 0, и, следовательно, фактор х не
оказывает влияния на результат у.
• Оценка значимости коэффициентов
модели
Теснота связи
• Показатель тесноты связи rxy – линейный
коэффициент корреляции
 x covx, y  yx  y  x
rxy  b


y
 x y
 x y
 1  rxy  1
  D( x) ,
x
D( x)  M  x  M ( x)  ,
Cov( x, y )  M x  M ( x)  y  M ( y ) .
2
Анализ дисперсии
 y  y
2

=  yx  y +
Общая сумма
квадратов
отклонений
= Сумма квадратов
отклонений
объясненная
регрессией
RSS
2
•
•
•
•
•
TSS
TSS – total sum of squares,
RSS – regression sum of squares,
ESS – error sum of squares.
+
 2
 y  yx 
Остаточная
сумма
квадратов
отклонений
ESS
Коэффициент детерминации
Коэффициентом детерминации или долей
объясненной нашим уравнением дисперсии
называется величина
RSS
ESS
R 
 1
.
TSS
TSS
2
2
0  R 1
Число степеней свободы
(df— degrees of freedom)
• df - число свободы независимого
варьирования признака
 y  y
2
2

 2
  yx  y   y  yx 
n  1  1  (n  2)
Дисперсии на одну степень свободы
y  y


2
Dобщ
Dфакт 
Dост 
n 1

2
  yx  y 
1
 2
  y  yx 
n2
F-критерий
• F-отношение
F
Dфакт
Dост
Вывод по F-критерию
• Fфакт > Fтабл
H0 отклоняется
• Fфакт < Fтабл
уравнение
регрессии считается статистически
незначимым и Н0 не отклоняется
• Величина F-критерия связана с
2
коэффициентом детерминации R
2
R
F
 (n  2)
2
1 R
доказательство

2
2
2
  yx  y  R  y  n
 2
2
2
  y  yx   (1  R )  y  n
Средняя ошибка аппроксимации
• Средняя ошибка аппроксимации среднее отклонение расчетных
значений от фактических:

1
yy
A 
 100%
n
y
• Допустимый предел значений - не
более 8-10%.
Пример: по группе предприятий, выпускающих один и тот же
вид продукции, рассматривается функция издержек .
№
предприятия
1
2
3
4
5
6
7
Итого
Выпуск
продукции,
тыс. ед. (х)
1
2
4
3
5
3
4
22
Затраты на
производство, млн
руб. (у)
30
70
150
100
170
100
150
770
ух
x2
y2
30
140
600
300
850
300
600
2820
1
4
16
9
25
9
16
80
900
4900
22500
10000
28900
10000
22500
99700

yx
31,1
67,9
141,6
104,7
178,4
104,7
141,6
770,0
Пример (продолжение)
• Система нормальных уравнений будет иметь
вид
 7a  22b  770

22a  80b  2820
• Тогда
а = - 5,79; b= 36,84.
• Уравнение регрессии

y x  5,79  36,84 x
• r2 = 0,982
Пример (продолжение)
• общая сумма квадратов
y  y
2
  y 2  n  y 2  99700  7  110 2  15000
• факторная сумма квадратов



2
2
2
2
2






y

y

b

x

x

36
,
84

80

7
22
/
7
 14735
 x

• остаточная сумма квадратов
 2
  y  y x   15000  14735  265
Пример (продолжение)
Dфакт  14735
Dостат  265 / 5  53
F  14735 / 53  278
F 0, 05  6,61; F 0, 01  16,26
• Вывод: уравнение регрессии значимо
Fфакт >Fтабл
Дисперсионный анализ результатов
регрессии
Источники
вариации
Общая
Объясненная
Остаточная
Число степеней свободы
Сумма квадратов отклонений
Дисперсия на
одну степень
свободы
6
1
5
15000
14735
265
-14 735
53
F-отношение
фактическое
табличное
при α=0,05
-278
--
-6,61
--