С Ч I ТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА.

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА.
Часть I
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ
В ДЕФОРМИРУЕМЫХ
СИСТЕМАХ
внешних (опорные реакции)
Силовые факторы – реакции связей
внутренних
статический
кинематический
энергетический
Методы определения
силовых факторов
между дисками
в сечениях элементов
(внутренние силовые факторы)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ)
СТАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Сущность статического метода – непосредственное использование
уравнений равновесия системы в целом и/или её частей.
Уравнения равновесия в случае
линейно деформируемой системы:
q
F1
B
A
l
M
l/2
l/2
HA
A
VC q
q
C C
HC
h
h
C
F2 F1
A*S + BF = 0
l
MA
VC
B
F2
M
VB
l/2 l/2
VA n = 3*2 = 6 = n ;
D
yp
M A 
nc = nS = 6
 VA 
Вектор искомых
 
реакций связей: S  H A
 VB 
 VC 
 HC 
дифференциальные уравнения
для бесконечно малого элемента
линейные алгебраические уравнения
для системы элементов конечных
размеров ( дискретной системы )
S – вектор искомых усилий;
А – матрица коэффицентов
при неизвестных S
в уравнениях равновесия;
ВF – вектор «грузовых» членов
уравнений равновесия
(от заданных нагрузок).
Для системы в целом:
– число искомых усилий nS = nc ;
– количество уравнений nyp= nD .
В случае статически определимой
cистемы (W = 0) nD=nc
nyp= nS
Силовые факторы – реакции связей
Методы определения
силовых факторов
внешних (опорные реакции)
внутренних
статический
кинематический
энергетический
между дисками
в сечениях элементов
(внутренние силовые факторы)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ)
СТАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Сущность статического метода – непосредственное использование
уравнений равновесия системы в целом и/или её частей.
Уравнения равновесия в случае
линейно деформируемой системы:
A*S + BF = 0
h
( AC )
m
VC q
 0 Уравнения
Уравнения
равновесия:
A
q

( AC )
2
равновесия:
F2
F
y 0
M
1
C C
B
 A (VACC) l  HC  h  F1  h  ql /2  0
VC  
q 0l  0
V
A x
HC
M
H A  HC  F1  0
2
V
M

V

l

H

h

F

h

ql
/2

0
VB
A
C
C
1
C

l
2
A
VCM
q 
l F20 l  ql /8  0
VBA l/2
H  H
l/2 l/2
MA
HA

F
q 0l/2  0
VB A VC C F2 1 
VA n = 3*2 = 6 = n ;
CB0
)
 Hm
C (
0
C
D
yp

M A 

(CB)
n
=
n
=
6
y

0
c
S

 VA 
Вектор искомых
  x(CB)  0
 

реакций связей: S  H A
 VB 
VB  l/2  M  F2  l  ql 2/8  0

 VC 
VB  VC  F2  q  l/2  0
 HC 
 HC  0
дифференциальные уравнения
для бесконечно малого элемента
линейные алгебраические уравнения
для системы элементов конечных
размеров ( дискретной системы )
S – вектор искомых усилий;
А – матрица коэффицентов
при неизвестных S
в уравнениях равновесия;
ВF – вектор «грузовых» членов
уравнений равновесия
(от заданных нагрузок).
Для системы в целом:
– число искомых усилий nS = nc ;
– количество уравнений nyp= nD .
В случае статически определимой
cистемы (W = 0) nD=nc
nyp= nS
Силовые факторы – реакции связей
Методы определения
силовых факторов
внешних (опорные реакции)
внутренних
статический
кинематический
энергетический
между дисками
в сечениях элементов
(внутренние силовые факторы)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ)
СТАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Сущность статического метода – непосредственное использование
уравнений равновесия системы в целом и/или её частей.
Уравнения равновесия в случае
линейно деформируемой системы:
A*S + BF = 0
VC q
Уравнения равновесия:
q
2
F2
F
M A  VC  l  HC  h  F1  h  ql /2  0 1
C C
B

VA  VC  q  l  0и достаточное
необходимое
HC
M
HC  F1  0 условие
H A статическое
V
VB
C
геометрической
l
2
A
VB  l/2  M  F2  l  ql /8  0
неизменяемости

l/2 l/2
MA
HA
 q  l/2  0
VB  VC  F2системы
VA n = 3*2 = 6 = n ;
 HC  0
D
yp
2
M A 
  F1h  ql /2 
 1 0 0 0  l  h
nc = nS = 6
 VA 


0 1 0 0  1 0
 ql
Вектор
искомых
 




F1
реакций связей: S  H A
A   0 0 1 0 0 1  BF  
2 
 VB 
0 0 0 l/2 0 0
M  F l  ql /8
  F 2 ql/2 
1
0 0 0 1 1 0
 VC 
2
S


A
B


 0 0 0 0 0  1
F
 HC 
0




h
Det ( A)  0
дифференциальные уравнения
для бесконечно малого элемента
линейные алгебраические уравнения
для системы элементов конечных
размеров ( дискретной системы )
S – вектор искомых усилий;
А – матрица коэффицентов
при неизвестных S
в уравнениях равновесия;
ВF – вектор «грузовых» членов
уравнений равновесия
(от заданных нагрузок).
Для системы в целом:
– число искомых усилий nS = nc ;
– количество уравнений nyp= nD .
В случае статически определимой
cистемы (W = 0) nD=nc
nyp= nS
Силовые факторы – реакции связей
Методы определения
силовых факторов
внешних (опорные реакции)
внутренних
статический
кинематический
энергетический
между дисками
в сечениях элементов
(внутренние силовые факторы)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ)
СТАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Сущность статического метода – непосредственное использование
уравнений равновесия системы в целом и/или её частей.
Уравнения равновесия в случае
линейно деформируемой системы:
A*S + BF = 0
Универсальная процедура формирования
системы уравнений равновесия
( концепция конечных элементов )
1. Разделение системы на элементы и узлы
сечениями по концам стержневых элементов
( концевыми сечениями ).
2. Запись уравнений:
– 1-я группа – уравнения равновесия элементов
в локальных (собственных) осях координат –
стандартная процедура;
– 2-я группа – уравнения равновесия узлов
( включая опорные ) в общей ( глобальной )
системе координат;
– 3-я группа – статические характеристики
связей в узлах.
линейные алгебраические уравнения
для системы элементов конечных
размеров ( дискретной системы )
S – вектор искомых усилий;
А – матрица коэффицентов
при неизвестных S
в уравнениях равновесия;
ВF – вектор «грузовых» членов
уравнений равновесия
(от заданных нагрузок).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ)
СТАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Универсальная процедура формирования
системы уравнений равновесия A*S + BF = 0
( концепция конечных элементов )
b2
Пример
q e2 b 4
2
Реакции опор Усилия в концевых сечениях
(6)
элементов (21)
a
a
1. Разделение системы на элементы и узлы
e1
2
3 b3 4
сечениями по концам стержневых элементов
F
( концевыми сечениями ).
1
3
2. Запись уравнений:
– 1-я группа – уравнения равновесия элементов
1 b1
в локальных (собственных) осях координат –
4 e3
стандартная процедура;
D
C
l
l /2
– 2-я группа – уравнения равновесия узлов
( включая опорные ) в общей ( глобальной )
Me2 Qe2
q
Q q
Qb2
Mb4 b4
M
системе координат;
b2
3
2
F
– 3-я группа – статические характеристики Q
Ne2
Nb4
Nb2
e1
2 M b1  Qe2
4
Qb4
связей в узлах.
Me1 Ne1
 Qb1 
N
yj У р а в н е н и я 1-й г р у п п ы:
Qb3 b3
Qb3 Mb3
Qe1
 N b1 
 M e1 
Qbj
q
  m(bjj)  0
Mej
 Qe1 

( j)
Nbj
F
x
 N e1 
x

0
3
1
ej Nej j   j
j lj
Mb bj


(
j
)

Qej
  yj  0
M b4 
j
Вектор

Qe3
Qb1
искомых  Qb4 
j = 1, 2, 3, 4  Mbj  Mej  Qej  l j  Mbj(F j )  0
Me3 Ne3
Mb1 Nb1 усилий S   N b4 

Количество
(F j )



N

N

X

0
M

e4
bj
ej
уравнений
Qb1
Qe3
 Qe4 
(F j )
HA
HB
1-й группы – 12 
Qbj  Qej  Y  0
MB
 N e4 
1 MA
4



от нагрузки
MC
VA
VB
У р а в н е н и я 2-й г р у п п ы:


Общее
V
  m(tt)  0 t = 1, 2, 3, 4
M
 HC 
число
Mb1 Nb1
F 2 b2N y
У равнения HA = 0
 MC 
(t )
Qb1 
Количество
уравнений
b2
D
x

0
Qe1


V 
27
уравнений
3-й группы MB = 0
HA
Q
MA
D
(t )



2-й
группы
–
12
1
Me1 N b2
y

0
( 3 ):
nyp= nS  H D 
x
Me2 = 0
VA

e1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ)
СТАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
В случае статически неопределимой системы
W<0
nD < nc
nyp< nS
Недостающие уравнения в количестве nc – nD = nл.с. – геометрические:
AD* D + D = 0 – условия совместности перемещений
(например, описание перемещений по направлениям лишних связей)
Объединённая система уравнений:
A* S + BF = 0
AD* D + D = 0
Из физических зависимостей ( закон Гука и др. ):
D = D(S) – выражения перемещений через усилия
Разрешающие уравнения в усилиях:
A0* S + B0 = 0
Необходимое и достаточное аналитическое условие
геометрической неизменяемости системы: Det ( A0)  0
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ
(СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ)
КИНЕМАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
В основе метода – принцип возможных перемещений
(принцип Лагранжа):
если механическая система находится в равновесии,
то сумма работ внешних сил, приложенных к системе,
и соответствующих им внутренних сил
на возможных (виртуальных) перемещениях
равна нулю:
Wext + Wint = 0
Возможные (виртуальные)
перемещения –
а) бесконечно малые ( для линейно
деформируемых систем – конечные,
но малые в сравнении с габаритами
системы );
б) не противоречащие условиям
совместности деформаций
( перемещений ) и кинематическим
граничным условиям ( условиям
закрепления );
в) отсчитываемые от исследуемого
положения равновесия.
F1
q
Fn
F1 = a1F , …, Fn = anF , q = xF
F – обобщённая нагрузка ( параметр
группы активных внешних сил )
Обязательная процедура –
выявление подлежащего определению
силового фактора S ( реакции связи ):
cвязь удаляется, её реакция S
переходит в категорию внешних сил.
F1
F
1
q
q
Fn
F
n
Системе с удалённой связью,
сохраняющей равновесие после
приложения реакции S, задаётся
возможное ( виртуальное ) перемещение.
Возможная работа внешних сил Wext
складывается из работ нагрузки
и реакции связи S: Wext = WF + WS ,
где WF = F * dF , WS = S * dS ,
Правило знаков:
перемещения dF и dS положительные,
если совпадают по направлению соответственно с F и S ( возможная работа
F на dF или S на dS положительная ).
dF – обобщённое ( групповое ) перемещение,
SS
соответствующее обобщённой нагрузке F;
dS – перемещение по направлению удалённой
связи ( по направлению реакции S ).
Алгоритм
определения реакции связи
кинематическим методом
1. В системе, находящейся в равновесном деформированном
состоянии при заданной нагрузке, удаляется связь, реакцию
которой S требуется определить. Взамен удалённой связи
прикладывается её реакция S, обеспечивающая сохранение
неизменным состояния равновесия системы.
2. Системе с удалённой связью, находящейся по-прежнему
в равновесном деформированном состоянии при действующей
нагрузке и реакции S, задаётся возможное (виртуальное)
перемещение.
3. Определяются (с точностью до общего неопределённого
множителя d0 ) перемещения dF и dS – соответственно
по направлениям заданной нагрузки F и искомой реакции S.
4. Из уравнения возможных работ Wext + Wint = 0 определяется
искомый силовой фактор S (реакция связи):
F  δF  Wint
S 
δS
Алгоритм
определения реакции связи
кинематическим методом
1. В системе, находящейся в равновесном деформированном
состоянии при заданной нагрузке, удаляется связь, реакцию
которой S требуется определить. Взамен удалённой связи
прикладывается её реакция S, обеспечивающая сохранение
неизменным состояния равновесия системы.
2. Системе с удалённой связью, находящейся по-прежнему
в равновесном деформированном состоянии при действующей
нагрузке и реакции S, задаётся возможное (виртуальное)
перемещение.
3. Определяются (с точностью до общего неопределённого
множителя d0 ) перемещения dF и dS – соответственно
по направлениям заданной нагрузки F и искомой реакции S.
4. Из уравнения возможных работ Wext + Wint = 0 определяется
искомый силовой фактор S (реакция связи):
F  δF  Wint
S 
δS
F
А
B
S
Требуется
Исследуемое
определить
Равновесие
равновесное
реакцию
связи RA
системы
деформированное
( S  RA )
ссостояние
удалённой
связью
системы
Примечание: F следует рассматривать как модель
обобщённой (произвольной) нагрузки
F
A1
B
А
B1
S
Возможные
(виртуальные)
перемещения
Направление
реакции S
F
B
B1
b
dS
a A1
А
dF
S
Перемещения dF и dS
δS  AA1 cos a
по направлениям
δF нагрузки
 BB1 cos
F β
и реакции связи S
Удаление внутренних связей .
Смысл перемещения dS
1. Удаление внутренней угловой связи
для определения изгибающего момента
в сечении ( S  M )
ds
dВозможная
q
+
q
–
S = dM =
l
r
работа реакции
Возможное
угол
взаимного
удалённой
связи:
(виртуальное)
(относительного)
WM = M* ql + M* qr =
поворотаперемещение
сечений
= M* ( qблизко
бесконечно
l + qr ) =
слева
от
= иMсправа
* dM
введённого шарнира
ql
M
M
M
M q
r
ql > 0, qr > 0
dM
dS > 0
Удаление внутренних связей .
Смысл перемещения dS
2. Удаление внутренней линейной связи
для определения поперечной силы
в сечении ( S  Q )
ds Q
Q
Q
Q
Удаление внутренних связей .
Смысл перемещения dS
2. Удаление внутренней линейной связи
для определения поперечной силы
в сечении ( S  Q )
dS = dQ работа
= dl +реакции
dr –
Возможная
Q
b1
удалённой
связи:
взаимное
(относительное)
Параллельно
нормальное
к оси стержня
Возможное
W
=
Q
*
d
Q
l + Q* dr =
a b
линейное
перемещение
(виртуальное)
d
сечений
a
и
b
)
=
Q
* ((точек
d
+
d
)
=
l
l
r
перемещение
a1
бесконечно близко
Q * dQот введённого
Q
слева и=справа
поступательного шарнира
dl > 0, dr > 0
dS = dQ
dr
dS > 0
Удаление внутренних связей .
Смысл перемещения dS
3. Удаление внутренней линейной связи
для определения продольной силы
в сечении ( S  N )
ds
N
N
N
N
Удаление внутренних связей .
Смысл перемещения dS
3. Удаление внутренней линейной связи
для определения продольной силы
в сечении ( S  N )
dВозможная
dl + dреакции
S = dN =работа
r –
удалённой
связи:
взаимное
(относительное)
Возможное
по касательной
к
оси
стержня
WN = N* d(виртуальное)
+
N
* dr =
l
линейное перемещение
сечений
( точек
=N
* (перемещение
dl a+иdbr )) =
N
бесконечно близко слева и
* dN
справа=отNвведённого
поступательного шарнира
d > 0,
l
dNS = dN
dr dl
a1
N
b1
ab
dr > 0
dS > 0
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ)
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Силовой фактор S в линейно деформируемой системе
определяется как производная потенциальной энергии
упругой деформации U (ПЭУД) по соответствующему
перемещению DS по направлению S
( т е о р е м а Л а г р а н ж а ):
S  dU
dΔ S
Контрольные
вопросы
( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы;
для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*);
для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши
и выбрать «Перейти к слайду 22» )
1. Какие силовые факторы определяются в расчётах сооружений и конструкций? ( 2 )
2. Перечислить основные методы определения силовых факторов. ( 2 )
3. В чём сущность статического метода определения реакций связей и внутренних
усилий? ( 2 )
4. Какими уравнениями описывается равновесие
а) дифференциально-малого элемента ( 2 )
б) дискретной ( конечно-элементной ) линейно деформируемой системы? ( 2 )
5. Каково соотношение между числом уравнений равновесия и количеством искомых
силовых факторов в случае статически определимой системы? ( 2 )
6. В чём суть универсальной процедуры формирования уравнений равновесия,
реализующей концепцию конечных элементов? ( 5 )
7. Из каких групп состоит система уравнений равновесия, формируемых с помощью
универсальной процедуры? ( 4 ) ( 6 )
8. Какие особенности имеет применение статического метода к статически
неопределимым системам? ( 7 )
9. Каково необходимое и достаточное аналитическое ( статическое ) условие
геометрической неизменяемости системы? ( 4 ) ( 7 )
10. На чём основан кинематический метод определения реакций связей ( силовых
факторов )? – дать формулировку принципа Лагранжа. ( 8 )
11. Что такое возможные ( виртуальные ) перемещения? – три их свойства. ( 9 )
12. Какая обязательная процедура предшествует заданию виртуальных перемещений
при реализации кинематического метода определения реакции некоторой связи? ( 10 )
13. Что такое обобщённая нагрузка и обобщённое перемещение? ( 10 )
_____________________________________________________
*) Только в режиме «Показ слайдов»
Контрольные
вопросы
( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы;
для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*);
для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши
и выбрать «Перейти к слайду 23» )
14. Изложить алгоритм определения реакции связи кинематическим методом. ( 11 )
15. Основная формула кинематического метода для определения
силового фактора S – ? ( 11 )
16. Что такое dF и dS в основной формуле кинематического метода? ( 10 )
17. Каково правило знаков для перемещений dF и dS? ( 10 )
18. Какие связи должны удаляться при определении внутренних силовых факторов
кинематическим методом? ( самостоятельно )
19. Какая связь удаляется при определении кинематическим методом изгибающего
момента в определённом сечении стержневого элемента? Что появляется в сечении
в результате удаления связи? ( 16 )
20. Какой смысл имеет величина dS в случае определения изгибающего момента М ? ( 16 )
21. Какая связь удаляется при определении кинематическим методом поперечной силы
в сечении стержневого элемента? Что появляется в сечении в результате удаления
связи? ( 17 )
22. Какой смысл имеет величина dS в случае определения поперечной силы Q ? ( 18 )
23. Какая связь удаляется при определении кинематическим методом продольной силы
в сечении стержневого элемента? Что появляется в сечении в результате удаления
связи? ( 19 )
24. Какой смысл имеет величина dS в случае определения продольной силы N ? ( 20 )
25. На чём основан энергетический метод определения силовых факторов
в деформируемых системах? ( 21 )
26. Аналитическая запись энергетической теоремы Лагранжа для определения силового
фактора S – ? ( 21)
_____________________________________________________
*) Только в режиме «Показ слайдов»