Document 4788520

Основы теории управления
Раздел 3. Математическое описание
объектов и систем управления
Лекция 4. Описание систем в
динамическом режиме
Лектор
Цветков Александр Владимирович, к.т.н., доцент кафедры
автоматики и информационных технологий УГТУ-УПИ
Авторы-разработчики :
• Цветков А.В.
• Ванеева Л.А.
• Страшинин Е. Э.
Екатеринбург 2007
Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и
систем управления, лекция 4
2
Цель лекции
Изучение лекции 4 даёт представление об:
• описании объектов и систем в
динамическом режиме
(дифференциальные уравнения);
• о линеаризации уравнений;
• видах записи линеаризованных
уравнений.
Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и
систем управления, лекция 4
3
Содержание лекции
• Описание объектов и систем в динамическом
режиме
• Основные понятия: объект, модель
• Тезисы относительно модели
• Линеаризация уравнений движения
• Векторно-матричное описание линейных
систем
• Линеаризация векторно-матричных
уравнений
Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и
систем управления, лекция 4
4
Формы записи уравнения движения
Динамика – изменение во времени координат системы
Существует две формы записи уравнения движения:
1. Дифференциальное уравнение (ДУ) n-го порядка
2. Система дифференциальных уравнений первого
порядка. Векторно-матричные дифференциальные
уравнения.
Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и
систем управления, лекция 4
5
Основные понятия: объект, модель
Составление уравнений движения происходит по
правилам конкретной технической дисциплины, которая
занимается данным классом устройств.
Например:
двигатели – электродинамика;
электрические цепи – электротехника;
летательные аппараты – аэродинамика и т.д.
Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и
систем управления, лекция 4
6
Тезисы относительно модели
1. Модель есть известное понятие, определяемое
жизненной практикой.
2. Модель является приближенной, часто
уточняющейся по мере исследования системы.
3. Построение модели – творческий процесс.
4. Проверка правильности модели осуществляется на
практике.
Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и
систем управления, лекция 4
7
Описание одномерной системы
Электрическая цепь с индуктивностью, активным
сопротивлением и конденсатором
L
y (t )  q (t ) - заряд конденсатора
R
e(t )  u L (t )  u R (t )  uC (t )
C
e(t)
u C (t ) 
i (t ) 
u
e(t)
y
q(t)
q (t )
C
dq (t )
dt
u R (t )  R  i (t )  R 
uL  L
di(t )
dt
dq (t )
dt
d 2 q(t )
dq(t ) 1
L

R
 q(t )  e(t )
dt
C
dt 2
Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и
систем управления, лекция 4
8
Описание одномерной системы
В общем случае уравнение будет иметь вид:
d n y (t )
dy(t )
d m u (t )
du (t )
an





a

a
y
(
t
)

b




b
 b u (t )


m

n
m
dt
dt
dt
dt
n – порядок.
Для физически реализуемых систем n ≥ m.
F ( y((tm) ) ,..., y(t ), u((tm) ) ,..., u(t ), t )   - используется и неявная
запись уравнения. В общем случае уравнение является
нелинейным, т.е. может содержать произведения
координат, нелинейные функции от координат и т.п.
Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и
систем управления, лекция 4
9
Линеаризация уравнений движения
Уравнения движения являются нелинейными.
Уравнение содержит входные и выходные сигналы.
F ( y ( n ) (t ),..., y () (t ), y (t ), u ( m ) (t ),..., u (t ), t )  
 


в ыходные
в ходные
Для упрощения проводят линеаризацию.
В основе линеаризации лежит разложение функции в
ряд Тейлора. Учитываются только первые два члена
ряда.
1 df
1 d2 f
f ( x0  x)  f ( x0 ) 
x  x0 x 
2
1
!
dx
2
!
dx


2

x
 
x  x0
tg 1
y0  y  y0  a1x
1  tg
y  a1x
Коэффициент  1 зависит от рабочей точки.
Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и
систем управления, лекция 4
10
Линеаризация уравнений движения
Графическая иллюстрация линеаризации
y
f(x0)
α
x0
x
Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и
систем управления, лекция 4
11
Линеаризация уравнений движения
Пусть неявная функция содержит вторую и первую
производные выхода, тогда:
F ( y ( 2) (t ), y (1) (t ), y(t ), u (t ))  0
u (t )  u 0  u(t )
y(t )  y0  y(t )
y (1) (t ) 
dy (t )
 y (t )
dt
y ( 2) (t )  y(t )
F (y(t ), y (t ), y0  y (t ), u0  u (t )) 
 F 
 F 
 F 
 y(t )  
 y (t )  
 F (0,0, y0 , u0 )  
 u (t ) 




y

y

u

0

0

0
(*)
 смешан. произв.  произв. 2порядка  ...  0
Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и
систем управления, лекция 4
12
Линеаризация уравнений движения
В качестве базового решения принимается
статика u 0  const и y0  const .Вычтем из уравнения (*)
уравнение статики F (0,0, y0 , u 0 )  0 , пренебрегаем
элементами второго и более высокого порядка малости:
a2 y(t )  a1y (t )  a0 y(t )  b0 u(t )  0
где y и u - приращения (отклонения);
F (y(t ), y (t ), y0  y (t ), u0  u (t )) 
 F 
 F 
 F 
 y(t )  
 y (t )  
(*)   F (0,0, y0 , u0 )  
 u (t ) 
y  0
y  0
u 0






 смешан. произв.  произв. 2порядка  ...  0
Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и
систем управления, лекция 4
13
Виды записи линеаризованных
уравнений
1.
Стандартная форма записи дифференциальных
уравнений
d 2 y (t )
dy (t )
a2
 a1
 a0 y (t )  b0 u (t )
2
dt
dt
u
y
Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и
систем управления, лекция 4
14
Виды записи линеаризованных
уравнений
b0
a2
a1
y(t ) 
y (t )  y(t )  u (t )
2. С использованием постоянных
a0
a0
a0
времени
постоянная  a1
 a1 
 a1   y 
T

 y
   сек времени
 
 a0
 a0 
 a0  сек
вторая

 a2 

y
 a2 
2
 y
 
   сек постоянная  a 2  T 2
2
a
сек

 0
2
 a0 
a
 0
времени

y  0 и y  0
В установившемся режиме
b0
 b  y
y  u (t )  0  
a0
 a0  u 
b0
 k,
a0
где k-коэффициент передачи
T22 y(t )  T1 y (t )  y(t )  ku(t )
Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и
систем управления, лекция 4
15
Векторно-матричное описание
линейных систем
u
Звено,
система
x
y
u – вектор входа, размерностью m;
x – вектор состояния, размерностью n;
y – вектор выхода, размерностью r.
Система описывается в общем случае нелинейными
уравнениями:
.
x(t )  f [ x(t ), u (t ), t ] – векторное дифференциальное
уравнение состояния;
y (t )  g[ x(t ), u (t ), t ] – векторное уравнение выхода.
Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и
систем управления, лекция 4
16
Линеаризация векторно-матричных
уравнений
u 0 (t ) – входная переменная,
x0 (t ) – известное решение, удовлетворяет уравнению
.
x(t )  f [ x(t ), u (t ), t ]
u (t ) , x (t )
– малые отклонения (приращения) координат
системы.
u(t )  u 0 (t )  u(t )
x(t )  x0 (t )  x(t )
x(t 0 )  x0 (t 0 )  x(t 0 )
Подставим эти значения в уравнение состояния и
разложим в ряд Тейлора:
x 0 (t )  x (t )  f [ x0 (t ), u0 (t ), t ]  J x [ x0 (t ), u0 (t ), t ]x(t )  J u [ x0 (t ), u 0 (t ), t ]u(t )  h(t )
Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и
систем управления, лекция 4
17
Линеаризация векторно-матричных
уравнений
Где
( J x ) ij  f i / x j  A(t ) – матрица из частных производных от
функции f по переменным состояния, dim A  n  n ;
( J u ) ij  f i / u j  B(t ) – матрица из частных производных
функции f по входной переменной, dim B  n  m ;
h(t ) –
члены второго и более высокого порядка малости.
Вычитаем базовое решение, пренебрегаем малыми
элементами и получаем линейную связь для
отклонений:
x (t )  A(t )x(t )  B(t )u (t )
Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и
систем управления, лекция 4
18
Линеаризация векторно-матричных
уравнений
Линеаризация уравнения выхода:
y(t )  y0 (t )  y(t )
y0 (t )  g[ x0 (t ), u 0 (t ), t ]
y 0 (t )  y (t )  g[ x0 (t ), u 0 (t ), t ]  J yx [ x0 (t ), u 0 (t ), t ]x(t )  J yu [ x0 (t ), u 0 (t ), t ]u (t )  h y (t )
Где
- матрица частных производных
функции выхода по состоянию, dim C  r  n ,
( J yu ) ij  g i / u j  D(t ) - матрица частных производных
функции выхода по переменным входа, dim D  r  m.
После вычитания базового решения, исключения
компонент малости получим уравнение выхода:
( J yx ) ij  g i / x j  C (t )
y (t )  C (t )x(t )  D(t )u (t )
Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и
систем управления, лекция 4
19
Линеаризация векторно-матричных
уравнений
Графическое представление векторно-матричных
дифференциальных уравнений
D
u
B
x
∫
x
C
y
A
А – матрица динамики системы, её собственные
значения определяют характер процессов в системе;
В – матрица входа;
C – матрица выхода;
D – матрица обхода.
Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и
систем управления, лекция 4
20
Выводы и заключение
1.
2.
3.
Динамический
режим
описывает
поведение
системы
во
времени
с
использованием
дифференциальных уравнений.
Для упрощения уравнений проводят линеаризацию
которая справедлива для малых приращений
переменных.
Линеаризованные уравнения записываются в виде
дифференциальных уравнений n-го порядка, либо
системы из n уравнений первого порядка (векторноматричные дифференциальные уравнения )
Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и
систем управления, лекция 4
21
Перечень источников, список
дополнительной литературы
•
•
•
•
Юревич Е.И. Теория автоматического управления: Учебник для
вузов. СПб.: БХВ-Петербург, 2007. 560 с. (Допущено Министерством
образования и науки в качестве учебника для студентов вузов).
Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные
системы: Учебное пособие для вузов. СПб.: Питер, 2005. 336 с.
(Рекомендовано УМО по университетскому политехническому
образованию в качестве учебного пособия).
Никулин Е.А. Основы теории автоматического управления.
Частотные методы анализа и синтеза систем: Учебное пособие для
вузов. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 640 с. (Допущено УМО по
университетскому политехническому образованию в качестве
учебного пособия).
Страшинин Е.Э. Основы теории автоматического управления. Часть
1: Линейные непрерывные системы управления: Учебное пособие.
Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2000. 214 с.
Основы теории управления, Раздел 3 Математическое описание объектов и
систем управления, лекция 4
22